emph_f

Оглавление

1.2.3.Дифференциальные уравнения небесной механики. Законы Кеплера как следствие закона тяготения Ньютона 15

§1.3. Математические модели гравитационного и электростатического поля. Уравнение Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1.Модели гравитационного поля . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2.Модели электростатического поля . . . . . . . . . . . . 26

1.4.1.Модели переноса тепла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.2.Модели конвекции-диффузии вещества . . . . . . . . . 35

§1.5. Математические модели движения жидкости и газов . . . . 38

1.5.1.Феноменологический подход к построению математических моделей движения жидкости . . . . . . . . . . 38

1.5.2.Общий закон сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.5.3.Модели движения идеальной жидкости . . . . . . . . . 40

1.5.4.Модели движения вязкой жидкости. Шестая проблема тысячелетия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.5.5.Модель стационарного безвихревого движения несжи-

451

1.6.4.Гармонические звуковые волны. Уравнение Гельмгольца 59

§1.7. Математические модели электромагнитного поля . . . . . . 62

1.7.1.Основные величины и уравнения, описывающие электромагнитные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.7.2.Векторное волновое уравнение в непроводящей среде. Уравнение диффузии в сильно проводящей среде . . 64

1.7.3.Граничные условия и условия сопряжения для электро-

магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.7.4.Гармонические электромагнитные поля . . . . . . . . . 69

1.7.5.Статические электромагнитные поля. Модель электро-

§1.8. Обзор других математических моделей . . . . . . . . . . . . 76

1.8.1.Модели колебательных процессов в сосредоточенных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.8.2.Модели процессов колебания струны, стержня и мем-

1.8.4.Телеграфное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.8.5.Уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.8.6.Уравнение переноса излучения . . . . . . . . . . . . . . 83 ГЛАВА 2. Общие вопросы теории уравнений в частных производных 85

§2.1. Основные понятия теории уравнений в частных производных 85

2.1.1.Уравнения в частных производных и их решения . . . 85

2.1.2.Типы уравнений второго порядка . . . . . . . . . . . . 88

2.1.3.Корректно и некорректно поставленные задачи . . . . 92

2.1.4.Теорема Ковалевской . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.2.3.Метод энергетических неравенств . . . . . . . . . . . . 117

2.2.4.Начально-краевая задача для двумерного уравнения переноса в прямоугольнике . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.2.5.Однородное стационарное уравнение переноса с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

452

§2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка139

2.3.1.Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . 139

2.3.2.Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными . . . . . 142

§2.4. Постановка задачи Коши. Характеристики уравнения вто-

рого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2.4.1.Постановка задачи Коши. Характеристическая поверхность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2.4.2.Примеры нахождения характеристик . . . . . . . . . . 154 ГЛАВА 3. Уравнения гиперболического типа и волновые процессы

3.1.2.Задача Коши для одномерного волнового уравнения . 164

3.1.3.Устойчивость решения задачи Коши к исходным дан-

3.1.5.Начально-краевая задача для однородного волнового уравнения на вещественной полуоси . . . . . . . . . . 176

§3.2. Волновое уравнение и бегущие волны. Обзор физических понятий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.2.1.Бегущие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

3.2.2.Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца . . . . . 186

3.2.3.Волны с дисперсией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

§3.3. Однородное волновое уравнение в R3 и R2 . . . . . . . . . . 189

3.3.1.Трехмерное волновое уравнение. Решение задачи Ко-

3.3.3.Физическая интерпретация решения задачи Коши в R3 195

3.3.4.Физическая интерпретация решения задачи Коши в R2 199

§3.4. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения . . . 201

3.4.1.Задача Коши в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3.4.2.Задача Коши в R2 и R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3.4.3.Качественный анализ решений неоднородного волново-

453

3.5.1.Теорема единственности решения задачи Коши для волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.5.2.Область зависимости, область влияния и область опре-

§4.1. Одномерное волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.1.1.Применение метода Фурье для уравнения свободных

колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.1.2.Обоснование метода Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.1.3.Физический анализ решения . . . . . . . . . . . . . . . 217

4.1.4.Вынужденные колебания струны, закрепленной на кон-

цах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

4.1.5.Вынужденные колебания струны с подвижными концами222

4.1.6.Некоторые замечания о методе Фурье . . . . . . . . . . 223

§4.2. Одномерное волновое уравнение с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

4.2.1.Постановка задачи. Применение метода Фурье . . . . . 224

4.2.2.Некоторые свойства решения спектральной задачи . . 225

4.2.3.Представление решения в виде ряда Фурье . . . . . . . 229

4.2.4.Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле231

§4.3. Многомерное волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . 234

4.3.1.Постановка задачи. Применение метода Фурье. Сведе-

ние к многомерной спектральной задаче . . . . . . . . 234 4.3.2. Двумерное волновое уравнение в прямоугольной обла-

сти. Свободные колебания прямоугольной мембраны . 238

4.3.3.Физический анализ решения волнового уравнения в прямоугольнике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

4.3.4.Двумерное волновое уравнение в круге. Свободные ко-

4.4.1.Постановка задачи об излучении звука колеблющейся сферой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

4.4.2.Простейшие сферические функции. Полиномы Лежандра251

4.4.3.Присоединенные функции Лежандра . . . . . . . . . . 253

4.4.4.Фундаментальные сферические функции . . . . . . . . 256

454

5.3.3.Обоснование метода Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . 282

5.3.4.Задача Коши для неоднородного уравнения. Понятие о методе интегральных преобразований . . . . . . . . . 284

5.3.5.Физический анализ решения . . . . . . . . . . . . . . . 287 ГЛАВА 6. Элементы теории эллиптических уравнений и гармони-

6.1.1.Определение гармонической функции . . . . . . . . . . 291

6.1.2.Сингулярные решения оператора Лапласа . . . . . . . 292

6.1.3.Физический смысл сингулярного решения. Потенциалы монополей, диполей и мультиполей . . . . . . . . . . . 295

6.1.4.Объемные потенциалы. Потенциалы простого и двой-

ного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

6.1.5.Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

§6.2. Формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

6.2.1.Формулы Гаусса–Остроградского, Грина и Стокса . . . 307

6.2.2.Интегральное представление функции из класса C2 . . 312

§6.3. Простейшие свойства гармонических функций . . . . . . . . 316

6.3.1.Случай функций одной переменной . . . . . . . . . . . 316

6.3.2.Основные свойства гармонических функций в простран-

455

§7.1. Объемные потенциалы и их свойства . . . . . . . . . . . . . 353

7.1.1.Определение объемного потенциала. Непрерывная диф-

7.1.2.Существование производных второго порядка от объемного потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

7.1.3.Обзор дополнительных свойств объемного потенциала.

Эллиптическая регулярность . . . . . . . . . . . . . . 359

§7.2. Элементы теории потенциалов простого и двойного слоя . . 363

7.2.1.Определение потенциала двойного слоя . . . . . . . . . 363

7.2.2.Теорема о скачке для потенциала двойного слоя. . . . 367

7.2.3.Потенциал простого слоя. Теорема о скачке производ-

ных от потенциала простого слоя. . . . . . . . . . . . 370

7.2.4.Обзор дополнительных свойств потенциалов простого

идвойного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

8.1.1.Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . 391

8.1.2.Прямые произведения и свертки . . . . . . . . . . . . . 397

8.1.3.Обобщенные функции медленного роста и преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

§8.2. Классическое, слабое и фундаментальное решения уравне-

456