Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практическое руководство для студ. экон. спец. 1 ч

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.03.2016

Размер:

603.35 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

9 Скалярное, векторное и смешанное произведениявекторов

9.1 Расположение векторов по базисным векторам

Пусть задана прямоугольная система координат в пространстве (рисунок 9.1). Введём в рассмотре-

ние единичные векторы i, j,k координатных осей

Ох, Оу, Оz, соответственно. Вектор i одинаково направлен с осью Оx, j – с осью Оу, k – с осью Оz. Векторы i, j,k называются базисными вектора-

ми системы координат или ортами.

Пусть a = (х0, у0, z0) – произвольный вектор про-

Рисунок 9.1

странства. Отложим из начала координат О вектор OM = a . По свойствам координат OM = (х0, у0, z0). Пусть числу х0 на оси Ох соответствует точка Мх, числу у0 на Оу – Му и числу z0 на оси Оz – точка Мz. То-

гда OMx ix0 , OM y jy0, OM z kz0 .

Так как OM – диагональ прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах OMx , OM y и OMz , то нетрудно заметить, что

OM = OMx + OM y + OMz ,

откуда

a = OM = ix0 + jy0 + kz0 .

Последняя формула даёт разложение вектора a по базисным векторам i, j,k .

9.2 Скалярное произведение векторов

Определение 9.1. Скалярным произведением двух векторов a и b назы-

вается число, равное произведению их модулей на косинус угла между векто-

рами. Обозначение

b .

Итак, по определению

cosφ,

где φ – угол между

Свойства скалярного произведения

2 =

cos0 =

2 .

Свойство коммутативности:

Действительно,

cosφ =

cosφ.

Векторы

перпендикулярны тогда и только тогда, когда

= 0.

Косинус угла φ между векторами

вычисляется по формуле

cosφ =

(

α) = (

)α , (

α)

(

β) = (

)(αβ).

(

) =

Теорема 9.1. Если векторы a = (х1; у1; z1) и b = (х2; у2; z2), то

a b = х1х2 + у1у2 + z1z2.

Доказательство. Запишем разложение векторов a и b по базисным векто-

рам i, j,k :

a = ix1 + jy1 + kz1, b = ix2 + jy2 + kz2 .

Тогда, используя свойства скалярного произведения, имеем

св.6

a b = (ix1 + jy1 + kz1 )(ix2 + jy2 + kz2 ) (ix1)(ix2) + ( jy1)(ix2) + (kz1 )(ix2) +

св.5

+ (ix1 )( jy2 ) + ( jy1 )( jy2 ) + (kz1 )( jy2 ) + (ix1 )(kz2 ) + ( jy1 )(kz2 ) + (kz1 )(kz2 ) = i2 (х1х2) + ( j i )у1х2 + (k i )z1x2 + (i j)x1y2 + j2 (y1y2) + (k j)z1y2 + (i k )x1z2 + + ( j k )y1z2 + k 2 (z1z2).

Теперь, по свойству 1:

2│ = 1,

2 = 1,

= │i

= 1.

По свойству 3: i

j =

j i

= k

= i k =

j k

= k

j = 0.

Следовательно,

= х1х2 + у1у2 + z1z2.

Следствие 9.1. Если

= (х1; у1; z1) и

= (х2; у2; z2), то косинус угла между

векторами

вычисляется по формуле

cosφ =

x1x2 y1y2 z1z2

x 2

2 z 2

2 y

Следствие 9.2. Векторы a = (х1; у1; z1) и b = (х2; у2; z2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда х1х2 + у1у2 + z1z2 = 0.

Пример. Найти угол между векторами a = (7; 2; –8) и b = (11; –8; –7). Решение. По следствию 9.1

cosφ =	77 16 56		117		1	.	Тогда φ =	.

	49 4 64 121 64 49	117 2		2			4

9.3 Векторное произведение векторов

9.3.1 Правая и левая система координат

Три некомпланарных вектора

, b ,

взятых в указанном порядке назы-

вают тройкой векторов. Пусть векторы

отложены из одной точки.

Будем смотреть с конца вектора

на плоскость, в которой лежат векторы

. Если кратчайший поворот от

совершается против часовой стрелки,

то тройка векторов a , b , c называется правой тройкой (рисунок 9.2). Если же указанный поворот совершается по часовой стрелке, то тройка векторов a , b , c называется левой (рисунок 9.3).

Рисунок 9.2

Рисунок 9.3

Декартовая прямоугольная система координат Охуz называется правой, если тройка её базисных векторов i, j,k является правой, и левой, если тройка i, j,k – левая. В основном используют правые прямоугольные системы координат.

9.3.2 Векторное произведение векторов

Определение 9.2. Векторным произведением вектора

на вектор

на-

зывается вектор

, который удовлетворяет следующим условиям:

1) │

│ = │

││

│sinφ, где φ – угол между векторами

;

вектор

перпендикулярен каждому из векторов

;

тройка векторов

– правая.

Свойства векторного произведения

0 для любого вектора

2. Векторы

коллинеарны тогда и только тогда, когда

= 0.

3.Площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах a и b , равна │a × b │.

4.Площадь треугольника, построенного на неколлинеарных векторах a

и b , равна 1 │a × b │.

5. a × b = – (b ×a ).

6. (a + b )× c = a × c + b × c . 7. (a α) × (b β) = (a × b )(αβ).

Теорема 9.2. Если

= (х1; у1; z1) и b

= (х2; у2; z2), то

−

= i

+ k

Доказательство. Запишем

разложение

векторов

по базисным

векторам:

a = ix1 + jy1 + kz1 , b = ix2 + jy2 + kz2 .

Составим таблицу векторных произведений базисных векторов, используя рисунок 9.4:

- j

-i

Рисунок 9.4

Теперь

св.6

a × b = (ix1 + jy1 + kz1 ) × (ix2 + jy2 + kz2 ) (ix1 )×(ix2 ) + ( jy1 )×(ix2 ) + (kz1 )×(ix2 ) +

св.7

+ (ix1 )×( jy2 ) + ( jy1 )×( jy2 ) + (kz1 )×( jy2 ) + (ix1 )×(kz2 ) + ( jy1 )×(kz2 ) + (kz1 )×(kz2 )

св.7

(i ×i )x1x2 +( j ×i )y1x2 +(k ×i )z1x2 +(i × j )x1y2 +( j × j )y1y2 +(k × j )z1y2 + (i ×k )x1z2 +

по

таблице

)y1z2 +(

)z1z2

−

(y1x2 )+

(z1x2 )+

(x1y2 )−i

(z1y2 )− j (x1z2 )+i (y1z2 ) =

) = i

y1 z1

− j

x1 z1

x1 y1

(y z

−z y

)− j (x z

−z x

)+k (x y

−y x

x y z

x2 z2

x2 y2

x y z

Следствие 9.3.

Площадь параллелограмма,

построенного на неколлинеар-

ных векторах

= (х1; у1; z1) и

= (х2; у2; z2) равна модулю векторного произве-

дения

, т. е.

Sпаралл. = │

× b │=

Следствие 9.4.

Площадь треугольника,

построенного на неколлинеарных

векторах

= (х1; у1; z1) и

= (х2; у2; z2) вычисляется по формуле

Sтреуг.

Пример. Найти площадь треугольника АВС, если А(–1; –1; 1), В(1; –3; 4),

С(3; –1; –5).

Решение. Найдём координаты векторов AB и AC:

	AB = (2; –2; 3),										AC = (4; 0; –6). Тогда

		×				=		i				j		k
	AB		AC					2			2			3
	AB		AC					2			2			3		= i	12 +		j 24 + k 8,			т. е. AB × AC = (12; 24; 8).
								4			0			6
Следовательно,
SABC =				1	│				×				│=		1					1			2		= 14. (кв. ед.).
				1			AB			AC					1	122 242		82		1	42 (32	62 22 )		9 36 4
							AB			AC						122 242		82			42 (32	62 22 )		9 36 4
2														2				2

Ответ: 14.

9.4 Смешанное произведение векторов

Определение 9.3. Пусть даны три вектора

, b

. Умножим вектор

на

векторно, а затем, векторное произведение

умножим скалярно на

В результате получим число (a × b ) c , которое называют смешанным произведение трёх векторов a , b и c .

Теорема 9.3. Смешанное произведение (a × b ) c трёх некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c , связанному со знаком «+», если тройка a , b , c правая, и со знаком «−», если

Рисунок 9.5

эта тройка – левая.

Доказательство. Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах a , b и c (рисунок 9.5).

Построим вектор a × b и пусть e – единичный вектор, одинаково направленный с вектором a × b . Так как │a × b │= S – площадь параллелограмма OBDA, построенного на векторах a и b , то a × b = e S.

Возьмём ось ℓ, одинаково направленную с век- тором e . Тогда по свойствам проекции векторов преc = c соsφ, где φ – угол между c и осью ℓ. Тогда │преc │= h, где h – высо-

та параллелепипеда. Отметим, что если тройка a , b , c правая (рисунок 9.5), то h = преc = c соsφ. Если же тройка a , b , c левая, то h = − преc = − c соsφ.

Теперь,

(a × b ) c =(e S) c = (e c )S = ec cosφ S = S c соsφ = S h = Vпараллелепипеда,

причём знак «+» берётся, если a , b , c – правая тройка, и знак «−», если она левая.

Следствие 9.5. Векторы a , b и c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение (a × b ) c = 0.

Доказательство.

Рисунок 9.6

Отметим, что если тройка

правая, то тройка

также правая

(рисунок 9.6, а), а если тройка

левая, то тройка

также левая

(рисунок 9.6, б).

Очевидно, что параллелепипед, построенный на векторах

и векто-

рах

– один и тот же. Поэтому

(

)

= Vпарал.,

(

)

= Vпаралл..

Так как тройки a , b , c и b , c , a либо обе правые, либо обе левые, то знак перед V выбирается в обоих произведениях одинаково. Поэтому

(a × b ) c = (b × c ) a = a (b × c ).

Ввиду следствия 9.5 смешанное произведение векторов a ,b ,c ещё обозначают a b c .

Теорема 9.4. Если a = (х1; у1; z1), b = (х2; у2; z2), c = (х3; у3; z3),

x3 y3 z3

Доказательство.

= (

)

= х3

− у3

+ z3

Пример.

Найти

объём

параллелепипеда,

построенного

на

векторах

= (3; 1; 2),

= (2; 2; 3),

= (1; 3; 1).

Решение.

│= │6 + 12 + 3 – 4 – 27 – 2│= │−12│= 12 (куб. ед.).

V = │

Ответ: 12.

Вопросы для самоконтроля

1.Что называют базисными векторами?

2.Что называется скалярным произведением двух векторов? Каковы его свойства?

3.Какие системы координат называют правыми (левыми)?

4.Что называется векторным произведением двух векторов? Каковы его свойства?

5.Что называется векторно-скалярным (смешанным) произведением векторов? Каковы его свойства?

Литература

1.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2004. – 280 с.

2.Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов / Н. Ш. Кремер. – М. : «Юнити». 1997 г. – 439 с.

3.Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минор-

ский. – М., 1978. – 352 с.

4.Яблонский, А. И. Высшая математика /А. И. Яблонский. – Мн. : Высшая школа, 2000. – 351 с.

5.Гусак, А. А. Задачи и упражнения по высшей математике / А. А. Гусак. – Мн. : Высшая школа, 1988. – 544 с.

6.Гурский, Е. И. Руководство к решению задач по высшей математике / Е. И. Гурский. – Мн. : Высшая школа, 1989. – 348 с.

7.Александров, П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П. С. Александров. – М. : Наука, 1979. – 512 с.

8.Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии / А. А. Бурдун [и др.]. – Мн. : Университетское, 1999. – 302 с.

9.Милованов, М. В. Алгебра и аналитическая геометрия / М. В. Милованов, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. – Мн. : Вышэйшая школа, 1984. – 269 с.

10.Гусак, А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие по решению задач / А. А. Гусак. – Мн. : ТетраСистемс, 2001. – 288 с.

11.Тер-Крикоров, А. М. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – М. : Наука Гл. ред. физ.-мат.

Лит., 2001. – 672 с.

12.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов / Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1970. – 560 с.

13.Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функция комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Наука,1981. – 506 с.

14.Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Р. Ф. Апатенок [и др.]. – Мн. : Вышэйшая школа, 1986. – 272 с.

15.Выготский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выготский.

–М. : Наука, 1966. – 872 с.

16.Справочник по высшей математике / А. А. Гусак [и др.]. – Мн. : Тетра-

Системс, 2000. – 638 с.

Производственно-практическое издание

БУЗЛАНОВ Александр Васильевич БОРОДИЧ Елена Николаевна БОРОДИЧ Руслан Викторович БОРОДИЧ Тимур Викторович

Высшая математика: алгебра и аналитическая геометрия

на плоскости

Практическое руководство

для студентов экономических специальностей вуза

Редактор В. И. Шкредова Корректор В. В. Калугина

Подписано в печать 18.11.2011. Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 2,8. Уч.-изд. л. 3,0. Тираж 30. Заказ № 534

Издатель и полиграфическое исполнение: учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

ЛИ № 02330/0549481 от 14.05.2009. Ул. Советская, 104, 246019, г. Гомель.

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА:

алгебра и аналитическая геометрия на плоскости

Гомель

2011

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.03.201541.47 Кб19Практическая грамматика_КР1.doc
#
15.11.2019240.13 Кб5Практическая работа № 3.doc
#
25.03.2015221.18 Кб167ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ по психологии семьи.doc
#
25.03.20155.92 Mб95Практический психолог в школе.pdf
#
25.03.20151.57 Mб9Практическое пособие по вирусологии.pdf
#
09.03.2016603.35 Кб4Практическое руководство для студ. экон. спец. 1 ч.pdf
#
09.03.2016621.5 Кб6Практическое руководство для студ. экон. спец. 2 ч.pdf
#
09.03.2016573.73 Кб9Практическое руководство для студ. экон. спец. 3 ч.pdf
#
09.03.2016264.7 Кб32Практическое руководство к семинарским занятиям ч.1.doc
#
09.03.201680.15 Кб20Практическое руководство к семинарским занятиям ч.2.docx
#
06.08.201969.12 Кб7превращения веществ.doc