ovta-zbirnyk-zadach

8.40.Показати: якщо сила F – центральна, тобто напрямлена до нерухомої точки О й залежить тільки від відстані до цієї точки, то вона потенціальна. Знайти відповідний потенціал.

8.41.Показати: якщо сила F у кожній точці напрямлена перпендикулярно до деякої прямої (напр., z) і залежить тільки від

відстані ρ до цієї прямої, то вона потенціальна. Знайти відповідний потенціал.

8.42.Знайти потенціал гравітаційного поля, що створюється точковою частинкою масою m.

8.43.Знайти потенціал гравітаційного поля, що створюється

системою точкових частинок із масами mі (1-i -n) і радіусвекторами ri , відповідно.

8.44.Довести, що векторне поле A = αr/r3 є соленоїдальним у довільній області, якій не належить початок координат.

8.45.За якої умови дивергенція векторного поля A = ϕ(r)r

дорівнює нулю?

8.46.Довести, що векторне поле A = ϕ(r)r – безвихрове.

8.47.Довести, що векторне поле A = u(r ) × v(r ) – соленоїдальне, якщо функції u і v – диференційовні.

8.48.Довести, що розв'язок рівняння rot rot A = k2 A, який задовольняє умови соленоїдальності, також задовольняє рівняння

Гельмгольца A + k2 A = 0.

8.49. У сферичних координатах оператор Лапласа має вигляд

відмінна від нуля тільки у початку координат. Відомо, що потік

вектора A через деяку замкнену поверхню, яка охоплює початок координат, дорівнює Π.

61

Розділ 9 Векторний аналіз

у криволінійних координатах

9.1. Криволінійні ортогональні координати

Використання замість декартових координат інших систем координат, природно пов'язаних із певною задачею, спрощує розв'я- зок багатьох фізичних задач. Наприклад, для задач із аксіальною симетрією зручно користуватися циліндричною системою координат, для задач із центральною симетрією – сферичною.

Система криволінійних координат ставить у відповідність кожній точці простору впорядковану трійку дійсних чисел q1, q2, q3. На практиці як функції криволінійних координат q1, q2, q3 задають декартові координати точки х, у, z:

Функції (9.1) однозначні та неперервно диференційовні, причо-

= ∂(x, y, z) ≠

му якобіан переходу I ∂(q1,q2 ,q3 ) 0, тобто існують й обер-

нені формули qi = qi (x, y, z). Між прямокутними декартовими

координатами х, у, z і криволінійними координатами q1, q2, q3 існує взаємно однозначна відповідність.

Візьмемо довільну точку M (q10 , q02 , q03 ) (рис. 9.1). Зафіксуємо q2, q3, змінюватимемо q1. Тоді радіус-вектор r = r (q1, q02 , q03 )

опише q1-координатну лінію. Аналогічно можна отримати q2-, q3-координатні лінії, і таким чином через кожну точку можна провести три різні координатні лінії.

є вектором, дотичним до q1-координатної лінії. Таким чином, у кожній точці простору можна побудувати трійку векторів

Їх можна прийняти за вектори базису, який змінюватиметься від точки до точки, тобто одержуємо поле базисів або поле реперів12. Нумерація координат звичайно вибирається так, щоб базисні вектори e1,e2 ,e3 утворювали праву трійку векторів.

y

х

Рис. 9.1

Таким чином, у кожній точці простору, заданій радіусвектором r = r (q1, q2 , q3 ) , існує пов'язаний із криволінійною сис-

темою координат базис, що називають локальним, вектори якого

є дотичними до qі-координатних ліній, що проходять через точку r = r (q1, q2 , q3 ) . Напрямок вектора локального базису відпо-

відає напрямку зростання відповідної координати, а диференціал радіус-вектора має вигляд dr = eidqi .

Поряд з "основним" локальним базисом {ei} (9.3) корисним є

12Французькою repère означає мітка, зарубка, орієнтир.

64

Розкладання довільного вектора A за ортами ei записують у вигляді A = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3 ≡ Ai ei або, використовуючи век-

Кронекера. Як і вектори, тензори в криволінійній системі координат можна задавати коваріантними або контраваріантними компонентами за кожним із індексів. Відповідно одержуємо різні типи компонент та інваріантних представлень для одного тензора. Так тензор другого рангу, в якого два індекси, у криволінійній системі координат можна задавати чотирма наборами

опише координатну поверхню. Тобто умова qі = const визначає qі-координатну поверхню.

у

Рис. 9.2

х

Координатні поверхні, що відповідають різним значенням однієї і тієї самої координати qі, не перетинаються в області D. Дві координатні поверхні, що відповідають різним координатам

65

qі, qj, перетинаються по координатній лінії, що відповідає третій координаті qk, тобто, розв'язавши систему двох рівнянь qі = const, qj = const, знайдемо рівняння для qk-координатної лінії.

Криволінійні системи координат, для яких базисні вектори ортогональні ( ei e j = 0 , якщо i ≠ j ) у будь-якій точці простору,

називаються ортогональними криволінійними системами координат.

Саме такі криволінійні системи координат мають широке застосування у прикладних фізичних задачах.

Характерною рисою ортогонального базису є те, що вектори локального та взаємного базису мають однакові напрямки, але відрізняються довжиною та фізичною розмірністю (оскільки координати хі та qj можуть мати різну розмірність). Саме тому розмірність різних компонент одного й того самого вектора, розкладеного за векторами цього базису, може бути різною, що створює незручності при розв'язуванні фізичних задач. У такому випадку корисно ввести ортогональний базис із одиничних векторів e(α) , e(α) e(β) = δαβ (позначатимемо їх нижніми індексами

у круглих дужках), так званий "фізичний" базис, що виражається через вектори локального базису як

Тут сума за повторюваними індексами, позначеними грецькими літерами, відсутня, через Hα (α=1,2,3) позначено параметри Ламе,

означені як довжини відповідних векторів локального базису

Таким чином, вектори фізичного базису утворюють ортонормовану праву трійку векторів, яка змінюється від точки до точки, але в довільній точці мають місце співвідношення

e(i) e( j) = δij , e(i) e( j) = εijk e(k ).

Щоб розрізняти вектори локального та фізичного базису, індекс векторів фізичного базису взято в дужки, але в прикладних фізичних задачах замість індексу у вигляді цифри у круглих дужках як індекс використовують літеру, що позначає відповідну

66

Аналогічні вирази мають місце для елементів дуг інших координатних ліній dl2 = H2dq2e(2) , dl3 = H3dq3e(3) .

Векторний елемент площі на q3-координатній поверхні визначається формулою

(dS )3 = dl1 ×dl2 = e1 ×e2dq1dq2 = H1H2dq1dq2e(3) .

Аналогічні вирази мають місце для елементів інших координат-

них поверхонь

(dS )2 = dl3 ×dl1 = e3 ×e1dq3dq1 = H1H3dq1dq3e(2) , (dS )1 = dl2 ×dl3 = e2 ×e3dq2dq3 = H2 H3dq2dq3e(1) .

Шість координатних поверхонь, що відповідають точкам (q1, q2, q3) та (q1 + dq1, q2 + dq2, q3 + dq3), обмежують елемент

об'єму (паралелепіпед) dV = (dl1, dl2 , dl3 )

dV = (e1,e2 ,e3 )dq1dq2dq3 = H1H2 H3dq1dq2dq3 ,

тобто якобіан переходу від прямокутних декартових до криволінійних координат визначається добутком параметрів Ламе I = H1H2H3 . Якобіан переходу можна обчислити також через

визначник фундаментальної матриці I = g, де g = det(ei ej ).

У простих випадках (задачі 9.1–9.3) елементи довжини, поверхні та об'єму визначають із суто геометричних міркувань. Наведені формули можна застосувати для пошуку параметрів Ламе (див. вказівку до задачі 9.1).

що є наслідком умови паралельності малого елемента dr векторної лінії і вектора A(r ), тобто A(r ) ×dr = 0.

9.1. У циліндричній системі координат (ρ, ϕ, z) із формулами переходу x = ρcos ϕ, y = ρsin ϕ, z = z визначити:

68

а) параметри Ламе Нρ, Нϕ, Нz; б) зв'язок базисів ( ex , ey , ez ) та ( eρ , eϕ , ez ); в) зв'язок компонент вектора A у цих базисах;

г) координатні лінії і поверхні. Знайти вектори локального базису та параметри Ламе геометрично, не користуючись прямокутною декартовою системою координат.

9.2. У сферичній системі координат (r, θ, ϕ) із формулами пе-

реходу x = r sin θcos ϕ, y = r sin θsin ϕ, z = r cos θ визначити:

а) параметри Ламе Нr, Нθ, Нϕ; б) зв'язок базисів ( ex , ey , ez ) та ( er , eθ , eϕ ); в) зв'язок компонент вектора A у цих базисах;

г) координатні лінії і поверхні. Знайти вектори локального базису та параметри Ламе геометрично, не користуючись прямокутною декартовою системою координат.

9.3. У параболічній системі координат (u, v, ϕ) із формулами

г) координатні лінії і поверхні.

9.4. Знайти параметри Ламе Нξ, Нη, Нα у бісферичній (або біполярній) системі координат (ξ, η, α):

де а – сталий параметр, −∞ < ξ < +∞ , 0 ≤ η≤ π та 0 ≤ α < 2π.

9.5. Знайти параметри Ламе Нρ, Нξ, Нη у тороїдальній системі координат (ρ, ξ, η):

де а – сталий параметр, 0 ≤ ρ < +∞ , 0 ≤ α < 2π та −π < ξ ≤ π .

9.6.Виразити вектори циклічного базису e± = ex ±iey , e0 = ez через вектори базису циліндричної системи координат (eρ,eϕ,ez ) .

9.7.Виразити вектори циклічного базису e± = ex ±iey , e0 = ez через вектори базису сферичної системи координат (er ,eθ,eϕ).

69

9.8.Записати закон перетворення компонент симетричного

тензора другого рангу tij, заданого у циліндричній системі координат, при переході до декартових координат.

9.9.Перейти до циліндричної системи координат у виразі

A = xi + yj + zk . x2 + y2 + z2

9.10. Перейти до циліндричної системи координат у виразі

u= 2xy + x2 − y2 . x2 + y2

9.11.Перейти до циліндричної системи координат у виразі

A = xzi + yz j − z x2 + y2 k .

9.12.Перейти до сферичної системи координат у виразі

ϕ= 2xy(z2 − x2 − y2 ).

x2 + y2

9.13.Перейти до сферичної системи координат у виразі

(у сферичній системі координат).

9.17. Знайти лінії векторного поля E = err3 (електричне поле точкового заряду).

70