Teoriya_veroyatnostey_Nosovskaya

61

IV. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЯ.

1.Игральная кость подброшена 10 раз. Найти вероятность выпадения единицы 7 раз.

2.30% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность, что 4 из них высшего сорта?

3.Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретя 8 облигаций, выиграет по 6 из них?

4.В урне 10 белых и 5 черных шаров. Чему равна вероятность того, что, вынув наудачу с возвращением 14 шаров, получим белых не менее 12?

5.Приняв вероятность рождения мальчика равной 0,515, найти вероятность того, что среди 10 новорожденных будет 4 девочки.

6. Из последовательности чисел 1, 2, …, 99, 100 выбирают наугад с возвращением 10. Чему равна вероятность того, что среди них кратных 7 будет не более двух?

7.В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.

8.Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в цель была больше чем 0,9?

9.В шести ящиках содержится по 7 стандартных деталей и по

3бракованных. Из каждого ящика наудачу берут по одной детали. Вычислить вероятность того, что число стандартных деталей равно 4.

10.В мастерской работает 7 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева за смену составляет 0,6. Вычислить вероятность следующих событий: 1) перегреется 3 мотора; 2) перегреется от 3 до 5 моторов.

62

11.В электроприборе установлено 10 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность перегореть после 1000 часов работы одинакова и равна 0,3. Если перегорят не менее 4 предохранителей, то электроприбор потребует ремонта. Найти вероятность того, что электроприбор после 1000 часов работы потребует ремонта, если предохранители перегорают независимо один от другого.

12.Прорастание пшеницы равно 90%. Посеяно 12 зерен. Вычислить вероятность следующих событий: 1) из 12 посеянных зерен прорастет не менее 5 и не более 10; 2) прорастет 6 зерен.

13.Вероятность выиграть по одному билету художественной лотереи равна 0,1. Какова вероятность того, что из 8 купленных билетов выиграют: 1) 2 билета; 2) не менее 2?

14.На предприятии изделия высшего сорта в среднем составляют 35%. Наудачу берут 100 изделий этого предприятия. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта среди взятых ста.

15.Вероятность прорастания одного зерна пшеницы равна 0,99. Сколько нужно взять зерен пшеницы, чтобы наивероятнейшее число проросших зерен равнялось 400?

16.На вступительных экзаменах в институт по математике каждый абитуриент получает 11 задач. Вероятность решения задачи абитуриентом среднего уровня равна 0,6. Для получения оценки "5", абитуриент должен решить не менее 10 задач, оценку "4" – от 8 до 10 задач, оценку "3" – от 5 до 7 задач, оценку "2" – менее 5 задач. Вычислить вероятность того, что средне подготовленный абитуриент получит следующую оценку: 1) “5”, 2) “3”.

17.Какой должна быть вероятность появления случайного события в каждой попытке, если при 400 испытаниях наивероятнейшее число равняется 80?

18.Завод производит изделия, каждое из которых имеет дефект с вероятностью 0,001. Сколько нужно взять изделий этого завода, чтобы вероятность появления только одного изделия с дефектом составила 0,999?

19.Работник в течение смены обслуживает 10 однотипных станков-автоматов. Вероятность того, что станок в течение

63

рабочей смены потребует внимания работника, р = 0,2. Найти вероятность следующих событий: 1) в течение смены 4 автомата потребуют внимания работника; 2) не более 4.

20.Какова вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступлений события А в 120 испытаниях равно 32?

21.Производится 21 выстрел по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,25. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.

22.Сколько следует провести повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 51, если вероятность появления этого события в отдельном испытании р = 0,64?

23.Число коротких волокон в партии хлопка составляет 25% всего количества волокон. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем равно 114?

24.Было посажено 28 семян ячменя с одной и той же вероятностью всхожести для каждого. Как велика эта вероятность, если наиболее вероятные числа положительных результатов 17 и 18?

25.Найти наивероятнейшее число наступления ясных дней в течение первой декады сентября, если по данным многолетних наблюдений известно, что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных дней.

26.В магазин зашли 8 покупателей. Вероятность того, что ктонибудь из них не выйдет из магазина без покупки, равна 0,4.

а) Найти вероятность того, что трое из них что-либо купят.

б) Какова вероятность того, что никто из них ничего не купит?

27.В процессе производства вероятность дефектов у каждой партии продукции составляет 0,1. Какова вероятность того, что из десяти партий дефекты будут иметь менее двух партий?

28.Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки "А", равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется: а) не менее чем двум покупателям; б) не более чем трем покупателям.

64

29.Вероятность того, что студент сдаст экзамен по математике, равна 0,8. Пусть имеется группа из восьми студентов. Найти наивероятнейшее число членов этой группы, которые сдадут экзамен по математике, и вычислить соответствующую вероятность.

30.При соблюдении определенной технологии 90% всей продукции, изготовленной заводом, являются продукцией высшего сорта. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 200 штук.

65

V. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА. ФОРМУЛА ПУАССОНА.

1.Монета была подброшена 40 раз. Пользуясь локальной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что герб выпадет в

25случаях.

2.Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна р=0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз.

3.Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 400 и 500, если вероятность, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна

0,62.

4.Вероятность изготовления детали 1 сорта на данном станке равна 0,4. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 26 деталей половина окажется 1 сорта.

5.Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий, число изделий высшего сорта заключено между 580 и 630, если известно, что доля изделий высшего сорта продукции завода составляет 60%.

6.Найти вероятность того, что число мальчиков среди 1200 новорожденных содержится в промежутке от 550 до 650 включительно. Вероятность рождения мальчиков р=0,515.

7.Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся не прошедшими проверку от 70 до 100 изделий.

8.Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания при отдельном выстреле 0,3. Найти вероятность того, что при этом будет 8 попаданий.

9.При каждом отдельном выстреле из ружья вероятность попадания в цель будет равна 0,7. Определить вероятность того, что из 20 выстрелов число попаданий в цель будет не менее 12 и не более 16.

10.Сто станков работает независимо один от другого. Вероятность бесперебойной работы каждого из них в течение рабочей смены одинакова и равна 0,8. Вычислить вероятность

66

того, что в течение рабочей смены бесперебойно будут работать: 1) 80 станков; 2) от 80 до 95.

11.Фабрика изготавливает в среднем 85% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что из 400 единиц продукции первосортных будет: 1) 300 единиц; 2) не более 300?

12.Вероятность того, что посеянное зерно ячменя прорастет через определенное время, составляет в среднем 0,95. В исследовательской лаборатории было посеяно 1000 зерен. Вычислить вероятность следующих случайных событий: 1) прорастет 960 зерен; 2) от 800 до 975 зерен.

13.Фабрика отправила на базу 10000 высококачественных изделий. Вероятность того, что при перевозке изделие будет повреждено, равна 0,0004. Вычислить вероятность следующих случайных событий: 1) только 4 изделия из 10000 будут повреждены; 2) не более 4.

14.Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что он выпущен с дефектом, равна 0,0001. Найти вероятность того, что в тираже: 1) 5 бракованных учебников; 2) не более 5.

15.Радиоустройство состоит из 900 микроэлементов, которые работают независимо один от другого. Вероятность выхода из строя одного микроэлемента равна 0,001. Найти вероятность выхода из строя: 1) 2 микроэлементов; 2) не менее 2.

16.В первые классы было принято 300 детей. Какова вероятность того, что среди них 100 девочек, если известно, что вероятность поступления в школу мальчика равна 0,515?

17.Районная электростанция обеспечивает сеть из 50000 лампочек. Какова вероятность того, что вечером каждая лампочка с вероятностью 0,7 может быть включена? Определить вероятность того, что число включенных в сеть лампочек от 35000 до 38000 штук.

18.Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий отклонение числа изделий первого сорта от наивероятнейшего числа не превысит по абсолютной величине 50, если вероятность появления изделия первого сорта равна 0,7.

19.С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997

67

отклонение частоты изделий первого сорта в них от 0,85 по абсолютной величине не превосходило 0,01?

20.Принимают партию из 1000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,005. Вычислить вероятность того, что из 1000 изделий бракованными будут 3. Найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей.

21.Сколько зерен пшеницы нужно отобрать, чтобы определить процент их прорастания, если вероятность прорасти, для каждого зерна равна 0,9. Вероятность отклонения относительной частоты зерен, которые проросли, от вероятности р=0,9 для одного эксперимента в 3% равна 0,9973.

22.Вероятность появления некоторого случайного события А равна р в каждом из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что: 1) относительная частота появления события при n=1500 испытаний отклонится от вероятности р=0,4 в ту или иную сторону меньше, чем на 0,02; 2) число появлений события будет от 570 до 630.

23.Взято 800 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе одинакова и равна 0,3. Считая событие, вероятность наступления которого 0,997, достоверным, найти границы числа проб с промышленным содержанием металла во взятой партии проб.

24.Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Сколько испытаний необходимо произвести, чтобы вероятность отклонения относительной частоты от 0,6 в ту или другую сторону менее чем на 0,01 была равна 0,995?

25.Среди продукции, изготовленной на данном станке, брак составляет 2%. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,995 можно было ожидать, что частость бракованных изделий среди них отличается от 0,02 по абсолютной величине не более чем на 0,005?

26.Вероятность появления некоторого случайного события А равна р в каждом из n независимых испытаний. В каких пределах будет относительная частота случайного события, если число экспериментов n = 1200, вероятность отклонения от р=2/3, которой равна 0,985? В каких пределах содержится число появлений случайного события?

27.Вероятность появления некоторого случайного события А равна р в каждом из n независимых испытаний. Сколько необходимо произвести экспериментов, чтобы вероятность

68

отклонилась от р=3/8 в ту или иную сторону менее, чем на 0,01 и равнялось 0,995?

28.В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.

29.Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено: а) ровно три изделия; б) более трех изделий.

30.На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа из строя выйдут два, три и пять автоматов?

69

VI. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна ее дисперсия, причем х1<х2<х3<х4 . Определить М(Х).