Мат_ан_41

Ÿ5. Применение принципа симметрии Римана -Шварца

1. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность креста, состоящего из отрезка [¡a; b] вещественной оси и отрезка [¡ci; ci] мнимой оси (a; b ¸ 0; c ¸ 0; a2 + b2 + c2 6= 0).

Проведем вспомогательный разрез по вещественной оси, состоящий из дуги окружности ° = (b; 1) [ (¡1; ¡a) лежащей на вещественной оси. Возьмем в качестве области

D верхнюю полуплоскость с выброшенным отрезком [0; ci] по мнимой оси. Тогда область D [ D¤ [ ° как раз является искомой областью, которую нам необходимо отобразить (D¤

симметричная с D область относительно дуги °). Отображениеpобласти D на верхнюю полуплоскость (т.е. область Im z > 0) задается равенством w1 = c2 + z2 (см. задачу N 4

Ÿ3). Проследим, куда при этом отображении отобразится дуга °. Åñëè w0 = z2, òî äóãà °

D [ D¤ [ ° . В нашем случае область D [ D¤ [ °

1 1 1p p 1 1 1 есть вся плоскость с выброшенным отрезком [¡ a2 + c2; b2 + c2] по вещественной оси. Как и в Ÿ3, мы получим, что функция w2 = (pb2 + c2 ¡ w1)=(w1 + pa2 + c2) отображает нашу область на всю плоскость с

разрезом по положительной части вещественной оси. Затем искомым отображением будет отображение

w = pw2 = (pb2 + c2 ¡ pz2 + c2)=(pz2 + c2 + pa2 + c2))1=2:

Здесь под величиной pz2 + c2 для точек z 2 D¤ мы понимаем продолжение функции w1(z) èç D â D1 согласно принципу симметрии (на самом деле оно имеет такой же вид).

2. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность правой ветви гиперболы

Без ограничения общности мы можем полагать, например, что ® 2 (0; ¼=2). Мо могли

бы применить функцию, обратную к функции Жуковского. Но она в нашей области не допускает выделения однозначных ветвей, поскольку область содержит точку z = ¡1

точку ветвления нашей функции. Поэтому проведем вспомогательный разрез ° по вещественной оси ° = (¡1; cos ®) и возьмем в качестве области D верхнюю полуплоскость с выброшенной внутренностью правой ветви гиперболы (20). Тогда D [ D¤ [ ° есть искомая область. В области D функция допускает выделение однозначных ветвей. Выделим ветвь этой функции исходя из условия w1(cos ®) = ei®. При этом будет выполнено

31

w1(¡1) = ¡1, а интервал [¡1; cos ®] вещественной оси отображается на дугу окружности jzj = 1 (см. свойства функции Жуковского). Причем легко понять, что искомая дуга

åñòü fz : jzj = 1; ® · arg z · ¼g. Точки интервала (¡1; ¡1] по вещественной оси отобразятся на интервал (¡1; ¡1] по вещественной оси. Пользуясь формулами (17) легко увидеть, что луч fz : jzj > 1; arg z = ®g отобразится функцией Жуковского на часть правой ветви гиперболы (20), лежащей в области fu; v > 0g. Соответственно отре-

çîê fz : jzj < 1; arg z = ¡alphag также отображается взаимно однозначно на ту же самую

часть правой ветви гиперболы (20). Следовательно, одна ветвь обратной функции отображает эту часть гиперболы на луч fz : jzj > 1; arg z = ®g и вторая ветвь отображает

эту часть на отрезок fz : jzj < 1; arg z = ¡alphag. В нашем случае точка z = cos ® ïå- реходит в точку ei®. Следовательно, наша ветвь обратной функции отображает искомую часть гиперболы на луч fz : jzj > 1; arg z = ®g. Таким образом, область D при нашем

отображении перейдет на область D0 = fz : Im z > 0; jzj > 1 ® < arg z < ¼g. Ïðè ýòîì äóãà ° отобразится на @D0 nfz : arg z = ®g. Сделаем поворот на угол ® по часовой стрелке

Заметим, что, пользуясь принципом симметрии, мы можем отображать конформно, например внутренность эллипса x2=a2 + y2=b2 < 1 на верхнюю полуплоскость и при этом

использовать функцию, обратную к функции Жуковского, несмотря на то, что эта функция в данной области не допускает выделения однозначных ветвей.

Ÿ6. Отображения полос и полуполос

В данном параграфе мы будем пользоваться функциями w = ez, w = cos z. Поэтому

прежде чем переходить к решению задач, мы приведем некоторые их свойства. Областью однолистности функции w = ez является любая полоса вида a < Im z < b (b¡a · 2¼). Ýòî

легко проверить, предположив, что выполнено равенство ez1 = ez2 , из которого вытекает,

÷òî x1 = x2, y1 ¡ y2 = 2¼k (xi = Re zi, yi = Im zi). При этом функция

этой области, будет реализовывать конформное отображение этой области на некоторую другую область. Рассмотрим отображение полосы Dfz : 0 < Im z < 2¼g при помощи

функции ez. Граница этой области состоит из двух прямых y = 0, y = 2¼. Рассмотрим, например, куда отобразится первая прямая. Если y = 0, òî w = ex (x 2 (¡1; 1)). Òî

есть эта прямая отобразится на положительную часть вещественной оси. Аналогично, поскольку e2¼i = 1, прямая y = 2¼ отобразится на положительную часть вещественной

оси. Таким образом, область D перейдет на всю плоскость с разрезом по положительной части вещественной оси. Легко получить также, что полоса fz : 0 < = z < ¼g отобразится на верхнюю полуплоскость. Рассмотрим функцию w = cos z. Ясно, что свойства функции

32

w = sin z совершенно аналогичны в силу равенства cos z = sin(¼2 ¡ z). Найдем u; v такие, что w = u + iv. Согласно определению имеем

Откуда получим, что

Отсюда видно, что функция cos z очень похожа на функцию Жуковского. В частности

прямые y = c будут отображаться на эллипсы и прямые x = c на гиперболы, конечно за

исключением некоторых частных случаев. Можно проверить, что областью однолистности функции cos z является любая полоса вида f¼k < Re z < ¼(k + 1); k = 0; §1; §2; : : :g

и соответственно в любой из этих полос функция w будет реализовать конформное отображение. Рассмотрим, куда отображается при отображении w полоса f0 < Re z < ¼g. Для этого надо выяснить, куда отображаются границы нашей области. Пусть x = 0. Тогда (см.

разится на интервал [1; 1) по вещественной оси. Из (22) видно также, что и полупрямые fz : x = 0; y ¸ 0g, fz : x = 0; y · 0g (z = x + iy) так же отображаются на интервал [1; 1) по вещественной оси. Пусть x = ¼. Тогда

u = ¡12¡ey + e¡y¢; v = 0; y 2 (¡1; 1):

То есть прямая fz : x = ¼; y 2 (1; 1)g и полупрямые fz : x = ¼; y · 0g, fz : x = ¼; y ¸ 0g отображаются на интервал (¡1; ¡1] по вещественной оси. Таким образом, искомая полоса отображается на всю плоскость с разрезом (¡1; ¡1] [ [1; 1) по вещественной оси. Рассмотрим полуполосу fz : 0 < Re z < ¼; Im z > 0g. В силу вышеприведенного нам достаточно проверить куда отобразится отрезок вещественной оси [0; ¼]. На этом отрез-

ке функция w = cos z принимает вещественные значения, лежащие в интервале [¡1; 1].

То есть граница данной полуполосы отобразится на вещественную ось. При движения по отрезку [0; ¼] от точки ноль к ¼ наша полуполоса остается слева. При этом точки

w(z) движутся от точки 1 к точке ¡1. Наша область при этом также должна оставаться

слева. Следовательно, наша полуполоса отображается на нижнюю полуплоскость. Тогда, соответственно, полуполоса fz : 0 < Re z < ¼; Im z < 0g. отображается на верхнюю

полуплоскость.

1.Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу f0 < x < 1g с разрезом вдоль луча x = 1=2, h < y < 1 на верхнюю полуплоскость.

отобразится на интервал [¡e¡2¼h; 0] по вещественной оси. Таким образом, наша полоса с разрезом перейдет на всю плоскость с разрезом [¡e¡2¼h; 1) по вещественной оси. Теперь

мы уже легко можем достроить отображенèå äî èñêîìîãî

p

w = w2 + e¡2¼h:

33

2. Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу fz : 0 < Re z < ¼g с разрезом по отрезку [0; h] (h < ¼) вещественной оси.

Применим функцию w1 = cos z. При этом отрезок [0; h] по вещественной оси перейдет в отрезок [cos h; 1] по вещественной оси, а наша область перейдет на всю плоскость с

разрезом (¡1; 1] [ [cos h; 1). Применим отображение w2 = (w1 ¡ cos h)=(w1 + 1). Íàøà

3. Отобразить на верхнюю полуплоскость полуполосу fz : 0 < Re z < ¼; Im z > 0g с разрезом по отрезку fx = ¼=2; y 2 [0; ¯]g.

Применим функцию w1 = cos z. Наша полуполоса, как было указано в начале это-

го параграфа, перейдет в нижнюю полуплоскость. Построим, куда отобразится разрез. Воспользуемся (21). Мы имеем, что на разрезе

Библиографический список

1.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.:Наука, 1965.

2.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.:Наука,

1977.

3.Бицадзе А.В. Лекции по теории функций комплексного переменного. Новосибирск: НГУ, 1967.

4.Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Арамович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.:Наука, 1970.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Степенные и функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Аналитические и гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Элементарные функции. Многозначные функции. Точки ветвления. Выделение ветвей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Конформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34