Reshenie-zadach-po-TOGI_2013

fотн .

X

Ее используют для характеристики точности измерений, где абсолютная ошибка пропорциональна измеренной величине. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным единице.

Например: fотн = 1/10 000.

В геодезии относительной ошибкой характеризуют точность линейных измерений и точность определения площадей и объемов фигур.

5. ОБРАБОТКА РЯДА РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

На результаты измерений влияют следующие факторы:

1.Объект измерений (что измеряют).

2.Субъект измерений (кто измеряет).

3.Средство измерений (чем измеряют - прибор).

4.Метод измерений (как измеряют - способ, методика).

5.Условия измерений (где измеряют - внешняя среда). Измерения, при которых факторы 1-5 не изменяются, называют

равноточными измерениями.

Обработка равноточных измерений.

Дано: ℓ1, ℓ2, ... ℓn - ряд равноточных результатов измерений, n – число измерений.

Найти: а) наиболее надежный результат; б) ошибку любого из n измерений;

в) ошибку наиболее надежного результата. Решение:

1)Определяем среднее арифметическое (простую арифметическую середину) для ряда измерений

ср. n .

2)Вычисляем вероятнейшую ошибку vi = ℓi - ℓср.

КОНТРОЛЬ: [v] = 0 – находим сумму вероятнейших ошибок, используя свойство компенсации случайных ошибок.

3) По формуле Бесселя определяем СКО измеренной величины

11

СКО являются точечной оценкой измеренной величины. Однако эти числовые характеристики ни в коей мере не определяют точное значение измеренной величины L. Этот недостаток может восполнить предельная ошибка 0 простой арифметической середины ℓср, т.к. она позволяет установить такой интервал, внутрь которого попадает истинное значение L измеренной величины с заданной доверительной вероятностью р

где t – число, зависящее от принятой доверительной вероятности р и числа N избыточных (дополнительных) измерений, использованных для вычисления М. В случае определения значения одной величины

N= n–1.

Числа t, p и N связаны между собой математической зависимостью, которая носит название закона Стьюдента. В Приложении А приведены значения t, соответствующие используемым в геодезии доверительным вероятностям p и числам дополнительных измерений N.

Представление результатов измерений с указанием предельной погрешности называют оцениванием с помощью доверительных ин-

тервалов. В строительстве интервальная оценка непосредственно связана с установлением допусков на те или иные размеры.

6.ПОНЯТИЕ ВЕСА ИЗМЕРЕНИЙ. ОБРАБОТКА РЯДА НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

12

Если в процессе измерений хотя бы один из 5 перечисленных выше факторов, влияющий на их результат, изменился, то такие результаты измерения будут неравноточными.

Степень доверия к результату измерения можно охарактеризовать его весом. Веса равноточных измерений одинаковы, а неравноточных – разные. Вес измерения р - это условное число, характеризующее надежность измерения, степень доверия к нему.

Вес измерения получают по формуле

р mс2 ,

где с = сonst - подбирая так, чтобы вес был удобным для расчетов числом.

Ошибку измерения, вес которого равен единице, называют СКО единицы веса μ

1 с2 ,

Для того, чтобы установить веса измерений, необходимо либо определить - СКО единицы веса для данного вида измерений, либо знать m – СКО самих результатов измерений.

В практике геодезических работ в качестве весов принимают:

1)при обработке угловых измерений: р n1, где n - число приемов измерений (или величина им пропорциональная);

2)при обработке линейных измерений: р S1 , где S – длина из-

хода в км, n - число станций в ходе;

4) при выполнении тригонометрического нивелирования: р S12 ,

где S - расстояние между точками.

1 - символ, означающий пропорциональность величин.

13

Формула для вычисления общей арифметической середины (весового среднего) для ряда неравноточных измерений

где рi - веса i-го измерения (i = 1, 2 …, n). р - вес общей арифметической середины.

Обработка неравноточных измерений.

Дано: ℓ1, ℓ2, ... ℓn - ряд неравноточных результатов измерений, n – число измерений.

р1, р2, … , рn - веса измерений. Найти: а) весовое среднее;

б) СКО единицы веса; в) СКО весового среднего;

г) СКО любого из n измерений mi. Решение:

1) Определяем арифметическую середину (весовое среднее)

0 р .

р

2) Вычисляем вероятнейшую ошибку vi = ℓi - ℓ0.

КОНТРОЛЬ: [рv] = 0 – сумма произведений отклонений результатов измерений от весового среднего должно быть равно нулю.

3) Определяем СКО единицы веса

4) Вычисляем СКО весового среднего ℓ0

5) Вычисляем СКО любого измерения

14

7.СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИИ ИЗМЕРЕНЫХ ВЕЛИЧИН. ПОНЯТИЕ О ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ.

При обработке данных геодезических измерений часто бывает необходимо оценить точность не только самих измерений, но и вычисленных по их результатам величин.

Приведем формулу для вычисления СКО функции U нескольких независимых аргументов.

Дано: U = f(x, y … z),

где x, y … z – истинные значения аргументов (измеренные величины),

mx, my, … mz - СКО независимых аргументов функции. Найти: mU = f (mx, my, … mz) – СКО функции измеренных вели-

где U , U ... U - частные производные функции U по аргументам x,

x y z y, … z.

Частные случаи формулы (1) для СКО некоторых функций:

15

Если функция имеет вид U = x · y · z, то для нее можно записать выражение для вычисления относительной ошибки функции в виде

В Приложении Б приведены значения производных, необходимых для решения задач.

При оценке точности способов геодезических измерений и исследовании геодезических приборов часто используют метод двойных измерений. Сущность метода заключается в том, что одна и та же величина измеряется дважды, а результаты измерений обрабатывают с применением формул для случайных ошибок.

Предварительно образуют разности двойных измерений

di = l’i - li,

где li, l’i - соответственно, первое и второе значение одной и той же измеренной величины, (i = 1,2,…,n); n - число измерений.

СКО разности двойных измерений выражается формулой

md dn2 .

16

Так как ml = ml’, то md m2. Окончательно получим выраже-

ние для СКО отдельного измерения из n двойных измерений при отсут-

ствии систематических ошибок

На наличие в разностях di постоянно действующей систематической ошибки укажет значительное отклонение от нуля величины среднего арифметического d0 из n разностей двойных измерений:

d 0 dn .

Обозначив случайную составляющую ошибок разностей двойных измерений через i = d0 – di; (i = 1,2,…,n), получим

Приняв коэффициент Стьюдента t = 2, что соответствует доверительной вероятности р = 0,95; при числе измерений n > 30 можно записать неравенство

Если данное условие соблюдается, то в разностях двойных измерений di постоянная систематическая ошибка отсутствует.

В пособии [2] приведен более жесткий критерий

d 0,25 d ,

при соблюдении которого величина md CКО разности двойных измерений не будет искажена систематическими ошибками в пределах точности ее вычислений.

17

8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ОШИБОК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Задача 1. Горизонтальный угол измерен равноточно пять раз. Полученные результаты даны в таблице. Вычислить вероятнейшее значение угла и СКО отдельного измерения.

Решение:

Среднее арифметическое (вероятнейшее) значение определим как

Вычислим в таблице построчно вероятнейшие ошибка i по формуле

i = ℓi - 0.

Контроль: [ ] = 0.2

СКО измеренного угла вычислим как

СКО вероятнейшего значения (окончательно результата) вычислим как

М m 0,8 0,4 . n 5

2 В некоторых случаях при контроле может наблюдаться небольшое расхождение, которое объясняется ошибками округления: например,

[ ] = 0,2 ≈ 0.

18

Следовательно, наиболее надежный результат 0 = 45 31,2 с ошибкой

0,4 .

Задача 2. В таблице приведены результаты определения отметки узловой точки 5 по каждому из 3-х нивелирных ходов (измерения неравноточные). Вычислить вероятнейшее значение угла и СКО отдельного измерения.

Решение:

Вычислим в таблице построчно веса измерений Pi.

Среднее арифметическое (вероятнейшее) значение определим как

Вычислим в таблице построчно вероятнейшие ошибка i по формуле

3 В некоторых случаях при контроле может наблюдаться небольшое расхождение, которое объясняется ошибками округления: например,

[ р] = 0,3 ≈ 0.

19

СКО вероятнейшего значения (окончательно результата) вычислим как

Следовательно, наиболее надежный результат ℓ0 = 81,373 м с ошибкой

0,002 м.

Задача 3. СКО трех неравноточных измерений углов одного треугольника равны 2 , 3 , 6 . Установить веса измерений.

Решение:

Введем постоянный коэффициент с = 36, тогда р1 = 9, р2 = 4, р3 = 1.

Задача 4. Для определения высоты сооружения Н измерено горизонтальное проложение d = 95,50 м и вертикальные углы 1 = -0 54 ,2= +10 30 (рисунок 1). Найти СКО mН вычисления высоты Н, если md= 0,03 м и m 1 = m 2 = 30 .

2

Н

1

d

Рисунок 1 - Расчет точности определения высоты сооружения

Решение: Из рисунка 1 имеем

H = d (tg 1 + tg 2).

Применяя к функции H формулу (1), получим

H (tg 1 tg 2 ),d

20