Бабич Диференціальні рівняння
.pdfЗазначимо, що до рiвняння iз вiдокремлюваними змiнними зводяться |
|
рiвняння вигляду |
|
y0 = f(ax + by), |
(1.2.5) |
äå a, b деякi числа. При a = 0 àáî b = 0 права частина рiвняння (1.2.5) залежить або тiльки вiд x, àáî òiëüêè âiä y, i воно ¹ рiвнянням виду (1.2.1). Розглянемо випадок, коли a 6= 0 i b 6= 0. Зробимо замiну
ax + by = u,
äå u невiдома функцiя. Тодi
y= 1b (u − ax), à y0 = 1b (u0 − a).
Óрезультатi тако¨ замiни рiвняння (1.2.5) набува¹ вигляду
1b (u0 − a) = f(u).
Розв'яжемо це рiвняння вiдносно похiдно¨:
u0 = bf(u) + a.
Отримане рiвняння ¹ рiвнянням iз вiдокремлюваними змiнними.
П р и к л а д 2. Знайти загальний iнтеграл рiвняння y0 = cos(x + y). Р о з в ' я з а н н я. Проводимо замiну змiнно¨
u = x + y; y = u − x; y0 = u0 − 1
i перепишемо задане рiвняння з урахуванням цi¹¨ замiни:
u0 − 1 = cos u.
Розв'язу¹мо отримане рiвняння вiдносно похiдно¨:
u0 = 1 + cos u.
Перепишемо останн¹ рiвняння у виглядi
du = 2 cos2 u dx 2
i вiдокремимо змiннi:
du
= dx.
2 cos2
u
2
11
Iнтегру¹мо обидвi частини отримано¨ рiвностi:
Z |
2 cos2 u2 |
= Z |
dx arctg 2 |
= x + C. |
|||
|
du |
|
|
u |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Поверта¹мося до старо¨ змiнно¨ i отриму¹мо загальний iнтеграл заданого рiв- |
||
няння: |
|
|
arctg |
x + y |
= x + C. |
|
||
2 |
|
1.3. Однорiднi рiвняння
Означення 8. Рiвняння першого порядку |
|
y0 = f(x, y) |
(1.3.1) |
назива¹ться о д н о р i д н и м, якщо справджу¹ться тотожнiсть |
|
f(λx, λy) = f(x, y). |
(1.3.2) |
Однорiдне рiвняння замiною y = ux, де u нова невiдома функцiя, зводиться до рiвняння з вiдокремлюваними змiнними.
Пiдставляючи вирази y = ux i y0 = u0x + u у рiвняння (1.3.1), зводимо його до вигляду
u0x + u = f(x, ux). (1.3.3)
На пiдставi властивостi (1.3.2) функцi¨ f ìà¹ìî:
f(x, ux) = f(1, u).
Позначимо f(1, u) через g(u). Перетворимо рiвняння (1.3.3) до вигляду
du = g(u) − u. dx x
Отримане рiвняння ¹ рiвнянням iз вiдокремлюваними змiнними. Вiд- |
||||||
окремлю¹мо змiннi: |
|
du |
dx |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
g(u) − u |
x |
|
||
Iнтегруючи останню рiвнiсть, знаходимо: |
|
|||||
Z |
g(u) − u = ln | x| + C. |
(1.3.4) |
||||
|
|
du |
|
|
|
12
Пiдставивши в (1.3.4) u = y
рiвняння (1.3.1). x, отрима¹мо загальний iнтеграл однорiдного
П р и к л а д 1. Розв'язати рiвняння y2 + x2y0 = xyy0.
Р о з в ' я з а н н я. Розв'язавши рiвняння вiдносно y0, зводимо його до ви- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
гляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Отримане рiвняння ¹ однорiдним, оскiльки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(λy)2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
y2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λx · λy − (λx)2 |
xy − x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Проводимо замiну y = ux: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u0x + u = |
u2x2 |
|
; u0x + u = |
|
u2 |
|
|
; u0x = |
|
u2 |
|
− u; u0 = |
|
u |
|
. |
||||||||||||||||
x2u |
− |
x2 |
u |
− |
1 |
u |
− |
1 |
(u |
− |
1)x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Розв'язу¹мо отримане рiвняння з вiдокремлюваними змiнними: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
du |
= |
|
|
u |
|
|
|
; |
u − 1 |
du = |
dx |
; u ln u = ln x + C. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dx (u |
1)x |
|
u |
|
|
|
x |
− |
| | |
| | |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Повернемося до старо¨ змiнно¨, покладемо u = xy i отрима¹мо загальний iнтеграл заданого рiвняння:
yy
−ln = ln | x| + C. x x
1.4. Лiнiйнi рiвняння першого порядку. Рiвняння Бернуллi
Означення 9. Рiвняння виду
y0 + p(x)y = q(x), |
(1.4.1) |
äå p(x) i q(x) неперервнi функцi¨, назива¹ться л i н i й н и м |
ä è ô å - |
ð å í ö i à ë ü í è ì ð i â í ÿ í í ÿ ì ï å ð ø î ã î ï î ð ÿ ä ê ó . |
|
ßêùî q(x) ≡ 0, лiнiйне рiвняння (1.4.1) називають о д н о р i д н и м, якщо q(x) ≡/ 0 í å î ä í î ð i ä í è ì.
Розв'язок рiвняння (1.4.1) шукатимемо у виглядi |
|
y = uv, |
(1.4.2) |
äå u i v невiдомi функцi¨.
13
Пiсля пiдстановки (1.4.2) у (1.4.1) отрима¹мо:
u0v + uv0 + p(x)uv = q(x).
Згрупу¹мо другий i третiй доданки в лiвiй частинi отриманого рiвняння i винесемо за дужки спiльний множник u:
u0v + u v0 + p(x)v = q(x). |
(1.4.3) |
Виберемо тепер функцiю v так, щоб вираз у квадратних дужках у лiвiй частинi останнього рiвняння обернувся на нуль, тобто виберемо за
v який-небудь розв'язок рiвняння
v0 + p(x)v = 0.
Знаходимо функцiю v:
dx = −p(x)v; |
v = −p(x) dx; ln v = − Z |
p(x) dx; v = e− R p(x) dx. |
dv |
dv |
|
Тут ми нехту¹мо довiльною сталою, оскiльки нас цiкавить який-небудь частинний розв'язок.
Пiдставляючи функцiю
R
v(x) = e− p(x) dx (1.4.4)
у рiвнiсть (1.4.3), отриму¹мо рiвняння для визначення невiдомо¨ функцi¨ u:
u0v(x) = q(x) |
(1.4.5) |
(тут треба врахувати, що вираз у квадратних дужках у (1.4.3) за рахунок
вибору v тотожний нулю).
Знаходимо загальний розв'язок рiвняння (1.4.5):
Z
R
u(x) = q(x)e p(x) dx dx + C.
Отже, загальний розв'язок рiвняння (1.4.1) ма¹ вигляд:
Z
R R R
y(x) = u(x)v(x) = Ce− p(x) dx + e− p(x) dx q(x)e p(x) dx dx, (1.4.6)
äå C довiльна стала.
14
П р и к л а д 1. Розв'язати рiвняння (xy0 − 1) ln x = 2y. Р о з в ' я з а н н я. Зводимо рiвняння до вигляду (1.4.1):
y0 − x ln2 x y = x1 .
Поклада¹мо y = uv i пiдставля¹мо його в рiвняння:
u0v + uv0 − x ln2 x uv = x1 ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
u0v + u v0 − |
|
|
|
|
|
v = |
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x ln x |
x |
|
||||||||||||||||
Знаходимо функцiю v: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
dv |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
2 |
|
|
|||||||
v0 − |
|
v = 0; |
|
= |
|
|
|
dx; |
|
Z |
|
|
= Z |
|
|
dx; ln v = 2 ln ln x; |
|||||||
x ln x |
v |
x ln x |
|
v |
x ln x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = ln2 x. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Знаходимо функцiю u: |
|
|
|
|
|
= x ln2 x; u = Z |
x ln2 x + C; |
||||||||||||||||
|
u0v = x; u0 ln2 x = x; u0 |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
u = − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Знаходимо розв'язок y = uv заданого рiвняння: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y = C ln2 x − ln x. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Означення 10. |
Рiвняння виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y0 + p(x)y = q(x)ym, |
|
|
|
|
(1.4.7) |
äå m 6= 0, m 6= 1, назива¹ться р i в н я н н я м Б е р н у л л i.
Розв'язують рiвняння Бернуллi так само, як i лiнiйнi рiвняння.
П р и к л а д 2. Розв'язати рiвняння y0 + 2y = exy2.
Р о з в ' я з а н н я. Поклада¹мо y = uv i пiдставля¹мо його в задане рiвнян- |
|||||
íÿ: |
u0v + u[v0 + 2v] = exu2v2. |
||||
|
|
|
|||
Знаходимо функцiю v: |
|
|
|
||
|
dv |
|
dv |
||
v0 + 2v = 0; |
|
|
= −2v; |
|
= −2 dx; ln v = −2x; v = e−2x. |
dx |
v |
15
Знаходимо функцiю u:
u0e−2x = exu2e−4x; |
du |
= u2e−x; |
du |
= e−x dx; |
|
1 |
= e−x+C; u = |
1 |
. |
dx |
u2 |
−u |
|
||||||
|
|
|
− |
e−x + C |
Îòæå,
e−2x 1
y = uv = e−x + C = Ce2x + ex .
Очевидно, що задане рiвняння ма¹ ще один розв'язок
y = 0.
1.5. Рiвняння в повних диференцiалах
Означення 11. Диференцiальне рiвняння
|
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, |
(1.5.1) |
|||||||
äå |
|
|
∂Q |
|
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
(1.5.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|||
назива¹ться р i в н я н н я м у п о в н и х д и ф е р е н ц i а л а х. |
|||||||||
Рiвняння виду (1.5.1) ¹ рiвнянням у повних диференцiалах, якщо його |
|||||||||
лiва частина явля¹ собою повний диференцiал деяко¨ функцi¨ |
U(x, y), |
||||||||
тобто iсну¹ деяка функцiя U(x, y) така, що справджуються рiвностi |
|||||||||
|
∂U |
= P (x, y), |
∂U |
= Q(x, y). |
(1.5.3) |
||||
|
∂x |
|
|||||||
|
|
|
|
∂y |
|
Рiвняння (1.5.1) за умови (1.5.2) можна записати у виглядi
dU(x, y) = 0,
а його загальний iнтеграл визнача¹ться формулою
U(x, y) = C.
Вiдновити функцiю U(x, y) за ¨¨ диференцiалом
dU = P dx + Q dy
можна, наприклад, у такий спосiб: оскiльки P (x, y) = |
∂U |
|
||
∂x , òî |
||||
U(x, y) = Z |
|
|||
P (x, y) dx + µ(y), |
(1.5.4) |
äå µ(y) невiдома функцiя.
16
Функцiю µ(y) знайдемо з умови
∂y |
= ∂y Z |
P (x, y) dx + µ0(y) = Q(x, y). |
|
∂U |
|
∂ |
|
Iз останньо¨ рiвностi знаходимо µ0(y), iнтегру¹мо його i знаходимо µ(y). Пiдставляючи знайдену функцiю µ(y) у (1.5.4), отриму¹мо функцiю U(x, y).
Для того щоб iз загального iнтеграла (сiм'¨ кривих U(x, y) = C) видiлити частинний розв'язок, що задовольня¹ початкову умову
y(x0) = y0,
тобто щоб видiлити криву, яка проходить через точку (x0, y0), довiльнiй сталiй C надають значення
C= C0 = U(x0, y0).
Ïр и к л а д 1. Знайти частинний розв'язок диференцiального рiвняння
ex+y + 3x2 dx + ex+y + 4y3 dy = 0,
який задовольня¹ умову y(0) = 0.
Р о з в ' я з а н н я. Задане рiвняння ¹ рiвнянням у повних диференцiалах: тут
P (x, y) = ex+y + 3x2, Q(x, y) = ex+y + 4y3,
∂P∂y = ex+y, ∂Q∂x = ex+y, ∂Q∂x = ∂P∂y .
Отже, лiва частина рiвняння ¹ диференцiалом деяко¨ функцi¨ U(x, y), тобто
∂U |
= ex+y + 3x2, |
∂U |
= ex+y + 4y3. |
|
∂x |
∂y |
|||
|
|
Iнтегру¹мо ∂U∂x çà çìiííîþ x:
Z
U(x, y) = ex+y + 3x2 dx + µ(y) = ex+y + x3 + µ(y).
Знаходимо похiдну знайдено¨ функцi¨ U(x, y) за змiнною y i прирiвню¹мо ¨¨ до функцi¨ Q(x, y):
∂U∂y = ∂y∂ ex+y + x3 + µ(y) = ex+y + 4y3 = Q(x, y).
Звiдси отриму¹мо рiвнiсть
ex+y + µ0(y) = ex+y + 4y3, àáî µ0(y) = 4y3.
17
Знаходимо функцiю µ(y):
µ0(y) = 4y3; |
dy = 4y3 |
; dµ = 4y3 dy; µ(y) = Z |
4y3 dy + C1 = y4 + C1. |
|
dµ |
|
|
Пiдставимо знайдену функцiю µ(y) у вираз для функцi¨ U(x, y):
U(x, y) = ex+y + x3 + µ(y) = ex+y + x3 + y4 + C1.
Загальний iнтеграл заданого диференцiального рiвняння ма¹ вигляд
ex+y + x3 + y4 + C1 = C2,
àáî
ex+y + x3 + y4 = C,
äå C = C2 − C1.
Щоб задовольнити початкову умову y(0) = 0, у вираз для загального iнтеграла пiдставля¹мо значення x = 0, y = 0:
ex+y + x3 |
+ y4 |
|
|
x = 0 |
= C. |
|
|
|
y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Звiдси знаходимо, що C = 1.
Отже, частинний розв'язок заданого диференцiального рiвняння, який задовольня¹ початкову умову y(0) = 0, визнача¹ться рiвнiстю
ex+y + x3 + y4 = 1.
 ï ð à â è
Ïðîiнтегрувати диференцiальнi рiвняння:
s
1. y 0
3. y 0 =
5. y 0 −
7. (3x2
1 − x2
1 − y2 − 1 = 0.
x2 + 2xy − y2 2x2 − 2xy .
1
x + 1 y = ex (x + 1).
+ 4y2) dx + (8xy + ey) dy = 0.
√
2. 4 − x2y0 + xy2 + x = 0.
4. y 0 |
= |
|
x2 + xy − 5y2 |
||
x2 − 6xy . |
|||||
|
|
|
|||
6. y 0 |
− |
2x − 5 |
y = 5. |
||
|
|
x2 |
18
Розв'язати задачi Кошi:
8. y (1 + ln y) |
− |
xy 0 |
= 0, y(1) = 1. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. (1 + ex) y 0 = yex, |
y(0) = 4. |
|||||||||||||||
10. |
y 0 |
= |
|
y2 |
|
+ |
|
y |
+ 1, y(1) = 1. |
|||||||
x2 |
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. |
xy 0 = |
y(2x2 − y2) |
y(2) = 2. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
, |
|
|
|
||
12. |
y 0 |
− |
y |
= x2, y(2) = 0. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
||||||||||||||
13. |
y 0 |
− |
|
|
|
y |
|
|
|
= x2 + 2x, y(2) = 16. |
||||||
|
|
|||||||||||||||
x + 2 |
|
|||||||||||||||
14. |
y0 + xy = (1 + x) e−xy2, |
y(2) = e2. |
||||||||||||||
15. |
y0 − y = 2xy2, y(2) = − |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
2. |
||||||||||||||||
16. |
(3x2y + 2y + 3) dx + (x3 + 2x + 3y2) dy = 0, y(1) = 2. |
19
Òåìà 2
Диференцiальнi рiвняння вищих порядкiв
2.1.Основнi поняття
Означення 12. Диференцiальним рiвнянням n-го порядку назива- |
|
ють рiвняння виду |
|
F (x, y, y0, y00, . . . , y(n)) = 0. |
(2.1.1) |
Рiвняння виду |
|
y(n) = f(x, y, y0, . . . , y(n−1)) |
(2.1.2) |
називають рiвнянням, розв'язаним вiдносно старшо¨ похiдно¨ . |
|
Як i для рiвнянь першого порядку, розв'язком рiвняння |
(2.1.1) àáî |
(2.1.2) називають функцiю y = ϕ(x), яка пiсля пiдстановки в рiвняння |
||||
перетворю¹ його |
на тотожнiсть. Графiк розв'язку називають iнте- |
|||
гральною кривою. |
|
|
||
Початковi умови для рiвняння n-го порядку мають вигляд |
|
|||
|
y(x0) = y0, y0(x0) = y00 , . . . , y(n−1)(x0) = y0(n−1). |
(2.1.3) |
||
Òóò , |
yрiвнянь0 , . . . , y |
(n−1) |
|
|
Äëÿy0 |
0 |
певнi числа. |
|
|
|
0 |
|
|
твердженню 1.1.2n:-го порядку справджу¹ться твердження, аналогiчне
Твердження 2.1. 1. Нехай функцiя f(x, y, y0, . . . , y(n−1)) визначена i неперервна разом зi сво¨ми частинними похiдними за змiнними y, y0,
. . . , y(n−1) в деякiй областi D простору змiнних x, y, y0, . . . , y(n−1), òîäi
20