Matematicheskaya_statistika_v_meditsine
.pdfσ x = |
D x . |
Внашем случае:
σx = 2.76 = 1.66
.
д) Для построения многоугольника распределения вдоль оси абсцисс откладываем возможные значения случайной величины, вдоль оси ординат – вероятности этих значений:
Пример 9. Для дискретной случайной величины, заданной следующим законом распределения (см. таблицу ниже) построить функцию распределения и определить вероятность того, что данная случайная величина попадёт в интервал 2;3 .
|
X |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
P |
|
0.1 |
|
0.2 |
|
0.6 |
0.1 |
|
Решение: |
|
|
|
|
|||
|
По определению функция распределения – это вероятность того, что случайная вели- |
|||||||
чина |
X |
будет меньше заданного числа |
x , т. е. |
F X = P X < x . Для нашего случая функция |
распределения будет строиться следующим образом: будем определять вероятности того, что случайная величина будет меньше наибольшего числа из данного интервала.
|
1. < x < 2 . |
|
Наибольшее число в данном интервале равно 2, поэтому находим вероятность того, что |
СВ |
X будет меньше 2 – это и будет значение функции распределения на данном интервале: |
|
F = P X < 2 = 0 . Данная вероятность будет равна 0, т. к. в таблице нет значений СВ |
меньших 2, т. е. появление СВ X < 2 является невозможным событием. |
|
|
2. 2 x < 3 . |
|
Наибольшее число в этом интервале равно 3, поэтому находим вероятность того, что |
СВ |
X будет меньше 3 – это и будет значение функции распределения на данном интерва- |
ле: |
F = P X < 3 = P2 = 0.1. Данная вероятность будет равна 0.1, так как в таблице есть |
только одно значение СВ меньшее 3, и это значение равно 2, а его вероятность равна
P2 = 0.1. |
|
|
|
|
|
3. 3 x < 4 . |
|
||
|
Наибольшее число в этом интервале равно 4, поэтому находим вероятность того, что |
|||
СВ |
X будет меньше 4 – это и будет значение функции распределения на данном интерва- |
|||
|
|
|
|
P |
ле: |
F = P X < 4 |
|
= P2 + |
3 = 0.1+0.2 = 0.3. Данная вероятность будет равна 0.3, так как в |
таблице есть два значения СВ меньшие 4 – это 2 и 3. В силу того, что СВ может принимать
оба значения (при этом одно значение исключает другое), то события X = 2 и |
X = 3 |
явля- |
ются несовместными, и вероятность осуществления одного из них равна сумме их вероятно-
стей, т. е. P + P = 0.1+0.2 = 0.3 .
2 3
4. 4 x < 5 .
21
|
Наибольшее число в этом интервале равно 5, поэтому находим вероятность того, что |
|||
СВ |
X будет меньше 5 – это и будет значение функции распределения на данном интерва- |
|||
ле: |
|
|
P |
P |
F = P X < 5 = P2 + |
3 + |
4 = 0.1+0.2+0.6 = 0.9 . Данная вероятность будет равна 0.9, |
так как в таблице есть три значения СВ меньшие 4 – это 2, 3 и 4. В силу того, что СВ может принимать три значения (при этом одно значение исключает другие), то события X = 2 ,
X = 3 и X = 4 являются несовместными, и вероятность осуществления одного из них равна |
|||
сумме их вероятностей, т. е. |
2 + |
3 + |
4 = 0.1+0.2+0.6 = 0.9 . |
|
P |
P |
P |
5. 5 x < + .
Наибольшее число в этом интервале равно +∞ поэтому находим вероятность того, что
СВ X |
будет меньше +∞ – это и будет значение функции распределения на данном интерва- |
ле: |
F = P X <+ = P2 + P3 + P4 + P5 = 0.1+0.2+0.6+0.1=1. |
|
|
Данная вероятность будет равна 1, так как все значения СВ в таблице меньше +∞. В си- |
лу того, что СВ может принимать все возможные значения, указанные в таблице, то вероят-
ность того, что СВ примет одно из этих значений, равна сумме вероятностей этих значений, |
|||
т. е. P + P + P + P = 0.1+0.2+0.6+0.1= 1. |
|||
2 |
3 |
4 |
5 |
Окончательно записываем функцию распределения СВ |
X : |
0, |
||
|
0.1, |
|
|
||
|
||
|
|
|
F ( X ) 0.3, |
||
|
|
|
0.9, |
||
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
Вероятность |
лой: P α x β =
распределения была P 2 x 3 =
при |
< x < 2; |
|
|
|
|
при |
2 x < 3; |
|
|
|
|
при |
3 x < 4; |
|
|
|
|
при |
4 x < 5; |
|
|
|
|
при |
5 x < + . |
|
|
α; β |
|
попадания СВ |
X |
в интервал |
определяется |
F β F α . Используем эту формулу для нашего случая вычислена выше) и получим искомую вероятность:
F 3 F 2 = 0.3 0.1= 0.2 .
форму- (функция
22
ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Напомним, что законом распределения случайной мость вероятности значений СВ от этих значений, т. е. P x
величины
.
X
называется зависи-
Рассмотрим несколько теоретических законов распределений случайных величин, которые часто используются в качестве моделей в медико-психологических исследованиях.
3.1. Биномиальное распределение
Пусть проводятся |
n |
независимых испытаний, в каждом из которых происходит (с ве- |
роятностью p ) или не происходит (с вероятностью q =1 p ) событие A . Тогда вероятность того, в серии из n испытаний событие A произойдёт ровно x раз, определяется по формуле
x |
p |
x |
q |
n x |
. Случайная величина X , состоящая в том, что событие A про- |
|
Бернулли: Pn x = Cn |
|
|
||||
изошло x ( x = 0 , x = 2 |
, … , |
x = n ) раз в n независимых испытаниях, будет распределена по |
||||
биномиальному закону. |
|
|
|
|
Без доказательств приведём основные свойства данного распределения:
1. |
Математическое ожидание данного распределения определяется по формуле: |
||||
M X = np . |
|
||||
2. |
Дисперсия данного распределения определяется по формуле: |
||||
D X = npq . |
|
||||
3. |
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле: |
||||
σ X = |
npq . |
|
|||
4. |
Для вычисления вероятности значения СВ |
x = 0 можно использовать формулу: |
|||
pn 0 = q |
n |
. |
|
||
|
|
|
|||
5. |
Для вычисления вероятности значения СВ |
x = n можно использовать формулу: |
|||
pn n = p |
n |
. |
|
||
|
|
6. Если известно, что СВ подчиняется биномиальному закону распределения, то вероятности её возможных значений связаны рекуррентной формулой (следующее значение считается через предыдущее):
P |
x = P x 1 |
n x +1 |
|
|
|||
n |
n |
x |
|
|
|
|
p q
.
3.2. Распределение Пуассона
Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых (с вероятностью
p ) происходит или не происходит (с вероятностью |
q =1 p ) событие |
A . Тогда при боль- |
шом числе испытаний n и малой вероятности события A ( p < 0.1), при выполнении условия
= np <10 |
, вероятность того, что событие |
A произойдёт |
x |
раз в |
n испытаниях, определя- |
||||
ется по формуле Пуассона: Pn x = |
|
x |
e |
|
|
|
|
|
|
|
. Случайная величина |
X , состоящая в том, что |
|||||||
|
|
||||||||
x! |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
событие A |
произошло x ( x = 0 , x = 2 |
, … , x = n ) раз в |
n |
независимых испытаниях, будет |
|||||
подчинятся распределению Пуассона. |
|
|
|
|
|
|
|
Без доказательств приведём основные свойства данного распределения:
1.Математическое ожидание данного распределения определяется по формуле:
M X = = np .
2.Дисперсия данного распределения определяется по формуле:
23
D X = = np . |
|
|
|
|
|||
3. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле: |
|||||||
σ X = |
= |
np . |
|
|
|
|
|
4. Для вычисления вероятности значения СВ |
x = 0 |
можно использовать формулу: |
|||||
Pn 0 = e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Для вычисления вероятности того, что событие |
A произойдёт хотя бы 1 раз в |
||||||
пытаниях можно воспользоваться формулой: |
|
|
|||||
Pn 1 =1 Pn 0 =1 e |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
n
ис-
6. Если известно, что СВ подчиняется распределению Пуассона, то вероятности её возможных значений связаны рекуррентной формулой (новое значение считается через предыдущее):
P |
x = P x 1 |
|
|
||
n |
n |
x |
|
|
.
Рассмотрим два распределения, относящихся к классу непрерывных распределений случайных величин. В отличие от дискретных СВ, где дискретному набору значений сопоставляется дискретный набор вероятностей этих значений, у непрерывных СВ значение из интервала связано с собственной вероятностью функцией p(x) , называемой плотностью
вероятности. Как и закон распределения, функция распределения подчиняется условию нормировки:
+ p x dx
=
1
, по аналогии с
n Pi i=1
=
1
.
3.3. Равномерное распределение |
|
|
|
||
Данное распределение характеризуется тем, что все значения СВ |
X |
из интервала a;b |
|||
имеют одинаковую плотность вероятности |
p x , равную: |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
p x = |
|
. |
|
|
|
b a |
|
|
|
Без доказательств приведём основные свойства данного распределения:
1. Математическое ожидание данного распределения определяется по формуле:
M X = |
b a |
. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Дисперсия данного распределения определяется по формуле: |
|
||||||
D X = |
b a 2 . |
|
|
|
|||
|
12 |
|
|
|
|
|
α; β (при условии, что |
3. Вероятность того, что СВ |
X |
будет находиться в интервале |
|||||
a α < β и α < β b ) определяется по формуле: |
|
||||||
P α X β = |
β α |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
b a |
|
|
|
3.4. Нормальное распределение
Данное распределение характеризуется тем, что плотность вероятности СВ X зависит от значения x по следующему закону:
24
|
|
|
|
x μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p x = |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
2σ |
, где |
μ |
– математическое ожидание СВ |
X , |
σ |
– среднее квадра- |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
σ |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тическое отклонение данной величины.
Следует отметить, что нормальное распределение с параметрами |
μ = 0 |
и |
σ = 1 |
называ- |
ется нормальным стандартным распределением (часто просто «стандартным распределением»).
Без доказательств приведём основные свойства данного распределения:
1. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение для данного рас-
пределения составляют соответственно: |
μ и σ . |
||||||||||
Плотность вероятности стандартной нормально распределённой случайной величины |
|||||||||||
описывается формулой: |
|
|
|
|
|
|
|||||
(x) = |
1 |
e |
x |
2 |
/ 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вероятность того, что нормально распределенная СВ попадёт в интервал α, β опре- |
|||||||||||
деляется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
β μ |
|
α μ |
, где Φ z – функция Лапласа (см. таблицу 2). |
|||
P α X β = Φ |
|
|
|
Φ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
σ |
|
|
3. Вероятность того, что нормально распределённая СВ отклонится от своего математического ожидания не более чем на величину равна:
P X μ <
4. Примерно дятся в интервале
|
|
= 2Φ |
. |
|
σ |
99.74% всехμ 3σ; μ +3σ
возможных значений нормально распределенной СВ нахо-. Данное правило называется правилом «трёх сигм» и широ-
ко используется для оценки диапазона значений СВ.
5.Медиана и мода нормального распределения совпадают и равны математическому ожиданию.
6.График плотности вероятности нормально распределённой СВ имеет характерную симметричную (относительно µ) колоколообразную форму:
7. Биномиальное распределение, распределение Пуассона, распределения Стьюдента, χ2-Пирсона и др. при больших количествах испытаний стремятся к нормальному.
25
Примеры решения задач Пример 10. Вероятность синтеза некоторого вещества в химическом опыте равна
p = 0.75 |
. Составить случайную величину |
X |
– количество удачных синтезов вещества в |
серии из 4 испытаний. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение:
Так как данная задача удовлетворяет схеме Бернулли, то СВ X будет подчиняться биномиальному закону распределения. Используя приведённые выше формулы, находим вероятности соответствующих значений:
X = 0 :
ле:
P |
0 = q |
|
4 |
4 |
|
= 0.254
=
0.004
. Далее находим вероятности по рекуррентной форму-
X X X X
= = = =
1 2 3 4
:
:
:
:
P4 |
1 = P4 0 |
4 1+1 |
|
|
0.75 |
= 0.004 |
4 3= 0.047 , |
|||||||
|
1 |
|
0.25 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P4 |
2 = P4 |
1 |
|
4 2+1 |
|
0.75 |
= 0.047 |
1.5 3= 0.211, |
||||||
|
2 |
|
|
0.25 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P |
3 = P 2 |
|
4 3+1 |
|
0.75 |
= 0.211 2 / 3 3= 0.422 , |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P4 |
4 = P4 |
3 |
4 4+1 |
|
0.75 |
= 0.422 |
1/ 4 3= 0.316 . |
|||||||
4 |
|
|
|
0.25 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Строим закон распределения СВ
X
:
X |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
p |
0.004 |
|
0.047 |
0.211 |
0.422 |
0.316 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Так как известно, что СВ |
X |
подчиняется биномиальному закону распределения, то для |
||||
вычисления её параметров используем указанные формулы: |
|
|
||||
M x = np = 4 0.75 = 3 , |
|
|
|
|
|
|
D X = npq = 4 0.75 0.25 = 0.75 , |
|
|
|
σ X = |
npq |
=
4 0.75 0.25 =
0.866
.
Пример 11. Вероятность заболевания неким заболеванием в данной местности равна p = 0.001. Найти вероятность того, что из 2000 жителей данной местности заболевших будет: а) 0, 1, 2, 3, 4; б) хотя бы один.
Решение:
а) Условие задачи подходит под схему независимых испытаний Бернулли, и в силу того, что в единичном испытании вероятность события мала ( p = 0.001), а число испытаний велико ( n = 2000 ), то для нахождения вероятностей событий можно использовать формулу Пуассона. Параметр μ равен μ = np = 2000 0.001= 2 , поэтому, случайная величина X – число заболевших будет тогда подчиняться распределению Пуассона. Находим вероятности
значений X = 0 , X =1, |
X = 2 , |
X = 3 |
, |
X = 4 по указанным формулам: |
||
X = 0 : |
pn 0 = e |
λ |
= p2000 |
0 = e |
2 |
= 0.135. |
|
|
Для дальнейших вычислений используем рекуррентную формулу:
X =1,
X = 2 ,
P |
1 = P |
0 |
2000 |
2000 |
|
P2000 2 = P2000 1
λ
1 λ
2
=0.135
=0.270
2 |
= |
||
1 |
|||
|
|||
|
2 |
= |
|
2 |
|||
|
0.270 |
; |
0.270 ;
26
X X
= =
3 4
,
,
P |
3 = P |
2 |
λ |
= 0.270 |
|
|
|
||||||
2000 |
2000 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
4 = P |
|
3 |
λ |
= 0.180 |
|
|
|
|||||
2000 |
2000 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
3 2
4
= =
0.180 0.090
;
.
б) Для нахождения вероятности события «будет хотя бы один заболевший» используем указанную формулу:
P2000 1 =1 P2000 0 =1 0.135= 0.865.
Пример 12. Непрерывная СВ X распределена по равномерному закону распределения в интервале 1;4 . Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое
отклонение данной СВ. Найти вероятность того, что СВ будет находиться в интервале
0;3 .
Решение:
Так как СВ X распределена равномерно, то для нахождения характеристик СВ будем
использовать готовые формулы: |
|
|
||||||
M X = |
b a |
= |
4 1 |
= |
5 |
= 2.5 |
, |
|
2 |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
b a |
|
4 1 |
|
5 |
|
|
D X = |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
12 |
= |
12 |
= |
12 |
= 0.417 |
, |
|
|
|
|
|
|
σ X =
D X = |
0.417 |
=
0.646
.
Находим искомую вероятность:
P 0 X 3 = |
3 0 |
= |
3 |
= 0.600 |
1 |
|
|||
4 |
|
5 |
|
.
Пример 13. Непрерывная СВ |
X |
ность вероятности, описываемую
распределена по нормальному закону и имеет плот-
формулой: p x = |
|
1 |
|
|
x 9 2 |
|
|
|
e |
18 |
. Найти математиче- |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
18π |
|
ское ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Определить вероятность попадания данной случайной величины в интервал 8;12 . Найти вероятность того, что СВ
отклонится от своего математического ожидания не более чем на величину = 2 . Оценить интервал, в котором находится 99.74% всех значений СВ. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором находятся 50% всех значений СВ X .
Решение:
Приведём сначала плотность вероятности СВ X к виду:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p x = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
e |
|
|
2σ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
σ |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 9 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 9 2 |
|
||||||
p x = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
e |
|
18 |
|
= |
|
|
e |
2 9 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
18π |
|
|
|
|
2 9π |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x 9 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
x 9 2 |
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
2 32 |
|
= |
|
|
|
|
e |
|
|
2 32 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 32 π |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
Сравнивая последнее выражение с эталонным получаем:
27
μ = 9 |
, σ = 3 |
, D = σ |
2 |
2 |
= 9 . |
|
= 3 |
Определяем вероятность попадания СВ
X
в интервал:
8;12
.Используем формулу:
|
β μ |
|
α μ |
||
P α X β = Φ |
|
|
Φ |
|
|
|
σ |
|
|
σ |
|
лицы 2):
и получаем (значения функции Φ(z) берем из таб-
12 9 |
|
|
8 |
9 |
||
P 8 X 12 = Φ |
|
|
Φ |
|
|
= Φ 1 Φ 0.333 = |
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
= Φ 1 +Φ 0.333 = 0.159+ 0.371= 0.530
Для определения вероятности того, что СВ
X
отклонится от своего математического
ожидания не более чем на величину
получаем:
2
используем формулу:
|
|
P X μ < = 2Φ |
|
|
σ |
и
P X
9 < 2 =
|
2 |
|
2Φ |
|
= 2Φ 0.667 = |
|
3 |
|
2 0.251=
0.502
.
Для нахождения правило «трёх сигм» иμ 3σ; μ +3σ Для нахождения
интервала в который попадает 99.74% всех значений СВ используем получаем:
9 3 3;9+3 3 0;18 – это и есть искомый интервал.
интервала, симметричного относительно математического ожидания, в
который попадают 50% всех значений СВ используем формулу: |
|
|
|
|
|||||||
P X μ < = 2Φ |
. В |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
данной формуле нам известна вероятность |
P X μ < = 50% = 0.5, среднее квадратическое |
||||||||||
отклонение |
σ = 3 , и требуется вычислить полуширину искомого интервала . Подставляем |
||||||||||
числа |
из |
|
условия |
задачи |
и |
|
|
откуда |
получа- |
||
|
получаем: 0.5 = 2Φ |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ем: |
|
= Φ |
|
0.25 = Φ |
. Используя таблицу значений функции Лапласа (см. табли- |
||||||
|
|||||||||||
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
цу 2), получаем для выражения в скобках
3
=
0.675
. Откуда получаем:
3 0.675= 2.025 . Находим, наконец, искомый интервал:
μ ; μ + 9 2.025;9+ 2.025 6.975;11.025 .
28
ГЛАВА 4. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
4.1. Выборочный метод. Генеральная совокупность и выборка
Множество объектов, подлежащих статистическому изучению, однородных относительно какого-либо качественного или количественного признака, составляет генеральную совокупность (количество объектов N – объем генеральной совокупности). Исследования, в которых участвуют все без исключения объекты, составляющие генеральную совокупность, называются сплошным исследованием. Однако на практике такие исследования часто невозможны или невыгодны. Обычно применяют выборочный метод – для обследования привлекается часть объектов из генеральной совокупности, и по результатам исследования выборки судят о свойствах всей генеральной совокупности. Совокупность объектов, отобранных из генеральной совокупности для статистического исследования, называется выборочной совокупностью или выборкой (количество объектов, попавших в выборку, n – объем выборки). Выборка должна быть представительной, она должна быть произведена случайным образом, при этом каждый объект генеральной совокупности с равной вероятностью может попасть в выборку.
4.2. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n. Количественное значение признака x1 появилось m1 раз, x2 – m2 раз, …, xk – mk раз. Наблюдаемые значения признака называют вариантами, а последовательность вариант, записанную в порядке возрастания – вариационным рядом. m1 , m2 ,…, mk называют частотами, а их отношение к объему n выборки – относительными частотами:
p* i
mi
/
n
, при этом
k |
n |
m |
|
i |
|
i 1 |
|
и
k |
* |
|
|
p |
|
i 1 |
i |
|
1
.
Если количественный признак дискретный,
xi и их частоты mi (или относительные частоты |
p |
то таблица, содержащая значения вариант
* |
) называется статистическим дискрет- |
i |
ным рядом распределения или статистическим распределением выборки:
X |
x1 |
x2 |
… |
xk |
m |
m1 |
m2 |
… |
mk |
Графическое представление дискретного статистического распределения называют по-
лигоном частот (относительных частот):
29
Если признак непрерывный, тогда интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения, разбивают на определенное количество (k) частичных интервалов шириной x . таблица, содержащая частичные интервалы и их частоты (или относительные частоты, или плотности относительных частот) называется статистическим интервальным рядом рас-
пределения:
Интервал |
[x |
; x |
) |
[x |
; x |
) |
… |
[x |
; x |
] |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
k 1 |
k |
|
||
m |
m1 |
|
m2 |
|
… |
mk |
|
Примечание: Плотность относительной частоты есть результат деления относительной
частоты интервала на его ширину:
pi
p* i
x
. Данная величина используется только для не-
прерывного признака.
Графическое представление интервального статистического распределения называют
гистограммой:
30