высшая математика
.pdfПример 3. Найти указанным методом все опорные решения системы (2).
Решение. Выделим в расширенной матрице В системы единичную подматрицу, выбрав в ходе полных гауссовых исключений разрешающие элементы по правилам 1) и 2). Для первого исключения примем за разрешающий первый столбец. Разрешающую строку оп-
|
|
|
14 |
|
7 |
|
|
= |
7 |
|
|
|
|
|
|
||
ределим из условия |
min |
|
|
|
, |
|
|
|
|
. Ею будет вторая строка, а разре- |
|||||||
1 |
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
шающим – элемент 2. В результате придем к матрице: |
|||||||||||||||||
|
1 |
3 |
0 |
|
14 |
|
|
|
0 |
6 |
|
3 |
|
21 |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
[2 ] 0 − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
− |
3 |
|
|
||
|
|
7 |
|
|
|
7 . |
|||||||||||
|
0 |
2 |
1 |
|
7 |
|
|
|
0 |
[4 ] |
2 |
|
14 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если теперь в полученной матрице взять разрешающим второй столбец, то разрешающим элементом в нем можно взять 6 и 4, т.к.
|
21 |
|
14 |
|
= |
7 |
|
||
min |
|
, |
|
|
|
|
. |
||
6 |
4 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
Взяв в качестве разрешающего элемента 4 и выполнив исключение, приходим к матрице:
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
7 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
0 |
− 3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
||
0 4 |
2 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с единичной подматрицей.
Матрица (4) соответствует системе двух линейных уравнений с тремя неизвестными (r = 2, n = 3), общее число базисных решений которой не превышает 3. При этом базисами системы переменных мо-
гут быть наборы x1, x2; x1, x3; x2, x3. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
На основе матрицы (4) при x3 = 0 |
находим базисное решение |
||||||
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
; 0 |
, которое является опорным. |
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
При x1 = 0 из (4) получаем − |
3 |
x3 = |
7 |
x3 < |
0 . Значит, базисное |
||
|
|
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение в базисе (x2, x3) опорным быть не может.
6 1
Анализируя матрицу (4) и полагая x2 = 0, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x1 |
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|||||||
|
1 |
|
|
− |
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отсюда получаем x = 7, |
x |
1 |
= |
21 |
+ |
|
7 |
= 14, и, значит, (14; 0;7) – ба- |
|||||
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
зисное решение, которое также является и опорным.
Таким образом, система уравнений (2) имеет два опорных реше-
|
7 |
|
7 |
|
|
ния: (14; 0; 7) и |
|
; |
|
; 0 . |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
! Задания для самостоятельной работы
1. Решить следующие системы методом полного исключения:
|
x1 − |
x2 + |
x3 = 5, |
x1 − x2 − 3x3 = − 1, |
||||||||||||
|
|
|
|
+ x2 − 2x3 = 1, |
||||||||||||
|
|
|
|
2x1 |
||||||||||||
а) 2x1 |
+ x2 |
+ x3 = 6, б) |
|
x |
+ |
x |
2 |
|
+ |
|
x |
3 |
= |
|
3, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x1 + x2 + 2x3 = 4; |
x |
+ |
2x |
2 |
− |
3x |
3 |
= 1. |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Найти все базисные решения систем: |
|||||||||||||||
|
4x1 + x2 − 12x3 + x4 = |
6, |
|
|
5x1 + x2 − x3 = 2, |
|||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ x2 |
− 6x3 − x4 = |
2; |
|
б) |
10x1 + 2x2 − x3 = 7, |
||||||||||
|
2x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5x1 + x2 + x3 = 8, |
||||||||
3. |
Найти все существующие опорные решения систем: |
|||||||||||||||
|
x1 + |
x2 + |
x4 = 2, |
|
|
|
− |
|
2x1 + 3x2 + x3 = 9, |
|||||||
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
+ 5x2 + x4 = 31, |
||||||||
|
− x2 |
− 2x3 + x4 = |
0; |
2x1 |
||||||||||||
|
3x1 |
|
|
|
|
|
|
|
− x2 + x5 = 21. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
|
6 2
Лекция 11
Системы векторов
Изучаются базис и ранг системы векторов, разложение вектора по базису, ортогональные системы векторов.
10. Базис и ранг системы векторов. Система a!1, a!2 , $, a!m n–мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа α 1, α 2,..., α m , из которых хотя бы одно отлично от нуля
|
m |
|
(α |
|
) |
2 |
≠ |
0 |
|
|
|
!1 |
+ α |
|
! |
2 |
+ |
%+ α |
|
!m |
= |
0 . В противном случае си- |
|||
|
∑ |
|
1 |
|
, что α |
1 |
a |
|
2 |
a |
|
m |
a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
! |
! |
2 , $, |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
стема векторов |
|
|
|
называется линейно независимой, |
т.е. |
||||||||||||||||||||
a1, |
a |
am |
|
||||||||||||||||||||||
указанное |
равенство |
|
имеет |
место |
только |
тогда, когда все α |
i = 0, |
||||||||||||||||||
i = |
|
1, m |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базисом данной системы векторов называют такую подсистему этой системы, векторы которой линейно независимы, а любой другой вектор системы является их линейной комбинацией.
Рангом системы векторов называют максимальное число линейно независимых векторов этой системы, т.е. число векторов в базисе.
Диагональной системой векторов называют следующую систему:*)
|
|
! |
|
= (a1 |
; a1 |
; a1 |
;$; a1) , |
|
|
|
a1 |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
n |
|
|
|
! |
2 |
= (0; a2 ; a2 ;$; a2 ) , |
|
|||
|
|
a |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
n |
|
|
|
! |
3 |
= (0; 0; a3 ;$; a3) , |
(1) |
|||
|
|
a |
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
%%%%%%%% |
|
|||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
am = (0; 0; $; amm ;$; anm ) , |
|
|||||
где a1 |
≠ 0, a2 |
≠ 0,$, am |
≠ 0 . |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
m |
|
|
|
|
|
|
Диагональная система векторов (1) линейно независима.
Для вычисления ранга системы векторов нужно по столбцам составить матрицу из координат этих векторов и вычислить ее ранг, который будет равен рангу этой системы векторов.
|
|
|
Пример 1. Проверить на линейную зависимость или независимость |
|||||||||
систему векторов |
! |
= |
! |
|
= ( − 1; 3; 2; 1) , |
! |
|
= |
(− 13; − 1; 2; − 11), |
|||
a1 |
(1; 2; 1; 2), a |
2 |
a |
3 |
||||||||
! |
4 |
= |
(− 13; 4; 5; − 8) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*) Здесь для краткости символ «col» в обозначении вектора опускаем.
6 3
Решение. Составим их линейную комбинацию
|
|
|
! |
α |
! |
+ |
α |
! |
+ |
α |
|
! |
0 |
или |
|||
|
α 1a1 + |
2 a2 |
3a3 |
4 a4 = |
|||||||||||||
|
1 |
|
− 1 |
|
− 13 |
|
− 13 |
|
|||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
+ α |
|
− |
1 |
|
+ α 4 |
|
4 |
|
0 . |
||
α 1 |
+ α |
2 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
5 |
= |
|||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
||
|
2 |
|
1 |
|
|
− 11 |
|
− |
|
|
|||||||
Такое векторное уравнение эквивалентно следующей системе |
|||||||||||||||||
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 − a2 − 13a3 − 13a4 = 0, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2a1 + 3a2 − a3 + 4a4 = 0, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
a1 + |
2a2 + |
2a3 + 5a4 = 0, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a2 − 11a3 − 8a4 = 0. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2a1 |
|
|
|
||||||||||
Решая эту систему, получаем, например, ее частное решение: α 1 =8, |
|||||||||||||||||
α 2 = –5, α 3 = 1, |
α |
4 = 0. |
|
! |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, |
! |
1 − |
! |
+ |
|
|
|
= |
0 , |
т.е. |
указанная система векто- |
||||||
8a |
5a 2 |
a |
3 |
+ 0 a 4 |
|||||||||||||
ров линейно зависима. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2. |
Найти ранг системы векторов: |
|
|||||||||||||||
a1 = (1; 2; 3; 4), a2 = ( 2; 3; 4;1) , a3 = ( 3; 4;1; 2) |
|
! |
=( 4;1; 2;)3 . |
||||||||||||||
, a4 |
|||||||||||||||||
Решение. Составим матрицу из координат этих векторов: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и с помощью прямого хода метода Гаусса приведем ее к виду
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
0 |
− 1 |
− 2 |
− |
7 |
|
|
|
|
, по которому устанавливаем, что ее ранг равен 4 |
|||||
|
0 |
0 |
4 |
− |
4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
− 160 |
|
|
|
|
|
|
(ее определитель равен 640 ≠ 0), а значит, ранг указанной системы
6 4
векторов равен 4, а поскольку система содержит четыре вектора, то она линейно независима и образует базис.
Множество всех n-мерных векторов, в котором для любых двух векторов определена их сумма, и для любого вещественного числа определено произведение вектора на это число, назовем n–мерным векторным пространством R n.
|
|
|
2 |
0. Разложение вектора по базису. Пусть |
n–векторы |
|
! |
|
! |
2 , |
! |
! |
! |
|
b – произвольный n-вектор. Тогда b |
|||||
a |
1 |
, a |
$, a n образуют базис, а |
может быть разложен по векторам базиса и притом единственным
образом, т.е. найдутся |
такие |
числа |
α 1, α 2 ,...., α |
n, |
что |
|||||||||||||||||||||||
! |
! |
! |
|
|
! |
+ $+ α |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
= α 1a1 + α |
2 a2 + α |
3a3 |
n an . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пример 3. Проверить, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
(1; 2; − 1), |
|||||||||||||
|
что трехмерные векторы a1 = |
|||||||||||||||||||||||||||
! |
2 (3; 6; 1), |
! |
|
|
|
|
|
|
образуют базис, и разложить по этому базису |
|||||||||||||||||||
a |
a3 = (3; 9; 3) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
! |
(2; 5 ;0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вектор b = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. Так как |
|
|
|
1 |
3 |
3 |
|
= |
|
18 + |
6 − |
27 + 18 − 18 − 9 = |
− 12 ≠ |
0 , |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
6 |
9 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то указаные векторы образуют базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Разложение вектора |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
b по этому базису проведем двумя способами. |
||||||||||||||||||||||||||
! |
П е р в ы й |
с п о с о б . |
Найдем коэффициенты разложения |
|||||||||||||||||||||||||
! |
! |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
= α 1a1 + α |
2a2 + α |
3a3 . Подставляя координаты векторов в это равен- |
|||||||||||||||||||||||||
ство, получим следующую систему уравнений: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 + |
3a2 + 3a3 = |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 6a2 + 9a3 |
= 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a1 |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− a1 |
+ a2 + 3a2 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Систему (2) решим по правилу Крамера: |
∆ = − 12 , |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
∆ 1 = |
|
2 |
3 |
3 |
|
= 36 + 0 + 15 − 0 − 18 − 45 |
= − 12 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 6 9 |
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∆ 2 = |
|
1 |
2 |
3 |
|
= 0, ∆ 3 = |
|
1 |
3 |
2 |
|
= − 4. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
5 9 |
|
|
2 6 5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
6 5
Значит, a1 = ∆∆1 = −− 1122 = 1, a2 = ∆∆2 = 0, a3 = −−142 = 13 .
Итак, искомое разложение имеет следующий вид:
b = |
!1 |
+ |
! |
2 |
+ |
1 |
!3 |
. |
1 a |
0 a |
|
3 |
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В т о р о й с п о с о б . Из координат данных векторов составляем матрицу и с помощью прямого хода метода Гаусса приводим ее к трапециедальному виду:
|
1 |
2 − 1 |
|
! |
1 |
|
|
1 |
2 − 1 |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
1 |
2 − 1 |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
6 1 |
|
! |
|
|
|
|
0 4 |
|
|
! |
2 − |
! |
|
|
|
0 |
3 6 |
|
! |
|
− |
! |
|
|
|
||||
3 |
|
a |
2 |
|
0 |
|
|
a |
3a1 |
|
|
|
|
a |
3 |
3a |
1 |
|
|
||||||||||||
|
3 |
9 3 |
|
! |
3 |
|
0 |
3 6 |
|
|
! |
3 |
− |
!1 |
|
0 |
0 |
4 |
|
! |
2 |
− |
!1 |
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
3a |
|
|
|
|
a |
|
3a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
!1 |
|
|
|
|
|
! |
|
!1 |
|
||||||||||
|
2 |
5 0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
1 2 |
|
|
b − |
|
|
|
|
0 |
1 2 |
|
b − |
|
|
|
||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
! |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
a |
2 |
− |
3a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
! |
3 |
− |
! |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
a |
|
3a |
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
3b − |
!1 |
− |
!3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6a |
a |
|
3a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из последней строки полученной матрицы находим искомое разложение:
! |
− |
! |
1 |
− |
! |
3 |
+ |
! |
1 |
= 0 |
→ |
! |
= |
! |
1 |
+ |
! |
2 |
+ |
1 |
!3 |
. |
3b |
6a |
|
a |
|
3a |
|
b |
1 a |
|
0 a |
|
3 |
a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. Ортогональные системы векторов. Важную роль среди систем n-мерных векторов играют ортогональные системы, т.е. такие системы ненулевых векторов, в которых каждый вектор ортогонален любому другому. Ортогональные системы n-мерных векторов образуют базис в пространстве R n, который называется ортогональным. Если при этом длины векторов равны единице, то базис называют ортонормированным. Простейшим и наиболее важным ортонормированным базисом в пространстве R n является базис, составленный из единичных векторов e!1, e!2 ,$, e!n , где
|
|
|
|
|
|
|
|
e!i = |
0; |
$; 0; 1; 0; |
$; 0 |
|
, i = |
1, n |
. |
|
)&(&' |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
6 6
|
|
Ортогональные базисы представляют интерес и потому, что в них |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координаты вектора находятся несложным образом: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если |
! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
= α |
! |
|
|
! |
|
α |
|
! |
||||||||
a1, a2 ,$, an |
|
|
|
– ортогональный базис и a |
1a1 + α |
2a2 + $+ |
n an , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!i |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
то α i |
= |
|
|
|
|
|
, i = |
1, n . В случае ортонормированного базиса все |
a |
|
= |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
! |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и α |
|
|
! |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i = a |
|
ai , i = 1, n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 4. |
|
Показать, |
что векторы |
! |
|
|
|
|
|
! |
( 2;− |
2;− |
1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a1 = (1;2; − 2), a2 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ортогональны. |
|
Дополнить систему |
! |
! |
до ортогонального базиса. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a1 |
, a2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти координаты вектора |
! |
(1; 1; 1) |
в этом базисе. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Вычислим скалярное произведение векторов |
|
! |
1 |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
! |
! |
! |
= |
|
|
1 2 + |
|
2 (− |
2) + ( − |
|
2)( − |
)1 = |
0 . Оно равно нулю, |
следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 2 |
: a1 a2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторы ортогональны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть |
! |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
! |
до ор- |
||||||||||||||
|
|
a3 |
|
|
(x; y; z) – вектор, дополняющий систему a1 |
, a2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тогонального базиса. |
Тогда |
! |
! |
= |
|
|
! |
! |
0 , |
|
или в координатной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a1 |
a3 |
0, a2 a3 = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2y − |
2z = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − |
2 y − z = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Решая |
|
|
|
систему |
(3), |
находим |
одно |
из |
|
частных |
решений |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1; |
|
1 |
; 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|
Итак, |
|
|
|
a |
|
|
= |
1; |
|
;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
||||
|
|
Найдем |
|
|
в |
базисе |
|
a1, a2 , a3 |
координаты |
вектора |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
! |
|
|
|
|
|
b : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
α |
! |
+ |
|
α |
! |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
α |
i равны скалярным произведе- |
||||||||||||||||||||||||
b = |
|
1a1 |
|
2 a2 |
|
|
α 3a3 . Координаты |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ниям вектора |
|
! |
|
|
|
на соответствующие векторы базиса: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
! |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
α 1 |
= |
|
b |
a1 |
|
= |
|
(1; 1; 1)(1; 2; − 2) = |
(1+ 2 − 2) = |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
!1 |
|
2 |
|
9 |
|
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
! |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
α 2 |
= |
|
|
b |
a2 |
|
= |
(1; 1; 1)( |
1; − 2; 1) = |
(2 − 2 − 1) = − |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
!2 |
|
2 |
|
|
9 |
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 7
|
|
|
|
! |
! |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
4 |
1 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
b a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
α 3 = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(1; 1; 1) 1; |
|
; 1 = |
|
|
1+ |
|
|
+ |
1 = |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
! |
|
|
2 |
9 |
2 |
|
2 |
9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
! Задания для самостоятельной работы |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1. Найти все базисы системы векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
! |
= (1; 2; 3; 4), |
! |
|
|
|
! |
( 3; 4; 5; 6) |
! |
=( 4; 5; 6;)7 . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
a1 |
a2( 2; 3; 4; 5) |
, a3 = |
, a4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2. |
Дан базис |
! |
! |
! |
3 . Показать, что векторы |
! |
1, |
! |
! |
||||||||||||||||||||
|
|
e1, |
e 2 , |
e |
3e |
e |
1 − e2 , |
||||||||||||||||||||||||
! |
3 − |
! |
также образуют базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
e |
e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3. Определить ранг системы векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2;4) |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
= ( 2;− 1;1;5;2) . |
|
|
|
||||
|
|
a1 = (2; − 1;3; − |
, a2 |
= ( − 4; − 2;5;1;7) , a3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
4. |
Дана система векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
= ( 4; 3; 2; 1) , |
! |
= ( 1; 1; 1; )1 . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
a1 = |
|
|
(1; 2; 3; 4), a2 |
a3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Проверить наличие линейной зависимости. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
5. |
Показать, |
что |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
! |
= ( |
− |
1;4;2) |
|||||||||
|
|
векторы a1 |
|
= (4;5;2), a2 = ( 3;0;1) |
, a3 |
||||||||||||||||||||||||||
образуют базис. Найти разложение вектора |
! |
= |
(5;7;8) по этому базису. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
6. Найти векторы, дополняющие следующие системы до ортонормированных базисов:
|
!1 |
= |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
! |
2 |
= |
|
1 |
|
2 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
||||||||
a) |
a |
|
|
; |
|
; |
|
|
, |
a |
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
!1 |
= |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
!2 |
= |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
− |
1 |
|
− 1 |
|||||||
б) |
a |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
|
, |
a |
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
; |
|
. |
||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 8
Лекция 12
Векторное и смешанное произведения векторов
Рассмотрены понятия векторного и смешанного произведений векторов и изучены их свойства.
10. Векторное произведение двух векторов. Рассмот-
рим вначале задачу о нахождении вектора c! , ортогонального двум
заданным неколлинеарным векторам |
! |
= |
a |
|
ax |
|
|
|
ay |
|
|
|
az |
!
и b =
bxby .bz
|
! |
|
|
x |
|
Пусть |
= |
|
|
. По условию и свойству скалярного произведения |
|
c |
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
! ! ! !
c a = c b = 0 , и тем самым задача сводится к решению системы двух линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:
|
|
|
|
|
|
|
|
ax x + ay y + az z = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
b x + b y + b z = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
≠ |
λ |
! |
≠ |
0) , то систему (1) можно решить сле- |
||||||||||||||
Т.к. по условию a |
b(λ |
||||||||||||||||||||||||||
дующим образом: перепишем ее в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax x + ay y = − az z, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1′) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b x + b y = − b z , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ax |
ay |
|
|
|
|
! |
|
! |
|
|
|
≠ 0) , то применим правило Крамера: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
и, т.к. ∆ = |
|
|
bx |
by |
≠ 0, (a |
≠ |
λ b, |
λ |
|
|
|||||||||||||||||
∆ 1 = |
|
− zax |
|
ay |
|
= z |
|
ay |
ax |
|
, |
∆ 2 = |
|
ax |
− zaz |
|
= − z |
|
ax |
az |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
− zbx |
|
by |
|
|
|
|
|
by |
bx |
|
|
|
|
bx |
− zbz |
|
|
|
bx |
bz |
|
Общее решение системы (1) имеет вид:
6 9
|
z |
ay |
ax |
|
− |
z |
|
a |
x |
a |
z |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
by |
bx |
|
|
b |
b |
|
|
|||||||
x = |
|
|
, y |
|
|
|
x |
z |
|
, где z – свободная переменная. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ax |
ay |
|
|
ax |
|
ay |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
bx |
by |
|
|
|
bx |
|
by |
|
|
|
Зададим ее таким образом, чтобы решение упростилось, а именно, положим z = ∆ .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
! |
! |
|
|
! |
! |
|
ay |
|
ax |
|
! |
|
ax |
az |
|
! |
|
ax |
ay |
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
= |
ax |
ay |
az |
. |
||||||||||
|
Тогда c = |
i |
|
by |
|
bx |
j |
|
bx |
bz |
k |
|
bx |
by |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
! |
Векторным произведением двух упорядоченных векторов |
|||||||||||||||||||||
= col (ax ; ay ;az ), |
! |
= |
col (bx ;by ;bz ) |
|
называется вектор, ортогональный |
|||||||||||||||||
a |
|
b |
|
этим векторам и определяемый формулой:
|
|
|
! |
! |
! ! |
]= |
|
i! |
!j |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ax |
ay |
||||
|
|
|
a |
×b = |
[a,b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
! |
|
Пример 1.! |
Найти |
векторное |
|||||
a |
= |
col (1;2;3) и b |
= col (4;5;6) . |
|
|
|
|
! |
|
|
k |
|
|
az |
. |
(2) |
bz |
|
|
произведение |
векторов |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
]= |
! |
= |
col (cx ;cy ;cz ) . |
|
|
||||||||||
|
|
Обозначим [a, b |
c |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Тогда |
cx = |
|
|
|
2 |
3 |
|
= 1, cy = |
− |
|
1 |
|
3 |
|
|
= |
6, cz = |
|
1 |
2 |
|
= |
− |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
Итак, векторное произведение данных векторов |
! |
! |
||||||||||||||||||||||
|
a |
и b есть век- |
|||||||||||||||||||||||
тор |
! |
! |
− |
! |
= |
|
col (1;6;− |
3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c! = 1 i + |
6 j |
|
|
3k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Свойства векторного произведения. Из свойств определителя вытекают следующие три свойства:
а) векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю;
b) |
[λ |
! |
! |
]= |
λ |
! |
! |
, |
λ R – ассоциативность; |
a,b |
a[,b |
||||||||
c) |
! |
! |
]= |
− |
! |
! |
|
– |
антикоммутативность. |
[a,b |
b[, a |
|
7 0