2.8.2 Примеры решения задач

Задача 1. Сколькими способами можно пересадить четырех гостей А, Б, В, Г, сидящих соответственно на четырех местах 1, 2, 3, 4?

Решение.Рассмотрим два различных варианта расположения гостей А, Б, В, Г на четырех местах: АБВГ и БАГВ. При одинаковом составе элементов эти варианты различаются порядком следования букв. Это задача о числе перестановок. Переставляемые элементы не повторяются, поэтому воспользуемся формулой для числа перестановок без повторений: Р₄= 4! = 24. Таким образом, существует 24 различных способа расположения гостей А, Б, В, Г на четырех местах.

Задача 2. Сколькими способами можно выбрать три из пяти различных книг?

Решение. Рассмотрим множество номеров книг {1, 2, 3, 4, 5}. Из этого множества будем выбирать три элемента. Рассмотрим две такие выборки: {1, 2, 3} и {3, 1, 2}. Они не отличаются друг от друга. В самом деле, оба варианта указывают на то, что будут выбраны первая, вторая и третья книги. Рассматриваемая задача принадлежит классу задач о числе сочетаний, в данном случае эти сочетания из пяти по три элемента. В рассматриваемых сочетаниях недопустимы повторения, так как вариант {1, 1, 2} указывает на то, что будут выбраны две книги вместо трех, ими будут первая и вторая книги. Используем формулу для числа сочетаний без повторений, получаем, что искомое число способов равно.

Задача 3.Сколькими способами из группы 15 человек можно выбрать старосту, культорга, профорга?

Решение. Пронумеруем должности: 1 – староста, 2 – культорг, 3 – профорг. Рассмотрим множество студентов {А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М, Н, О, П}. Из этого множества будем выбирать три элемента. Условимся понимать выборку АБВ так: студент А займет должность №1, студент Б – должность №2, а студент В - №3. Рассмотрим две выборки: АБВ и ВБА. Очевидно, что при одинаковом составе элементов они отличаются друг от друга. В самом деле, в первом случае на должность старосты выбран студент А, а во втором случае – студент В. Имеем задачу о числе размещений из 15 элементов по три элемента. Повторение элементов в выборках недопустимы, так как выборку АВА можно истолковать так: студент А будет и старостой, и профоргом, а В – культоргом, и в этом случае студент А займет сразу две должности. Воспользуемся формулой для числа размещений без повторений, получаем, что число способов равно.

Задача 4.Сколько существует векторов с пятью координатами, принадлежащими множеству {0, 1}?

Решение. Из элементов множества {0, 1} будем выбирать пять элементов – координаты соответствующего вектора. Рассмотрим две такие выборки: (0, 1, 1, 1, 1) и (1, 1, 1, 0, 1). Они определяют различные векторы. Имеем задачу о числе размещений из двух элементов по пять элементов. Очевидно, что в рассматриваемых размещениях элементы повторяются. В данном случае используем формулу для числа размещений с повторениями, получаем, что искомое число векторов равно.

Задача 5.Сколькими способами можно раскрасить квадрат, разделенный на четыре части, пятью цветами а) допуская раскрашивание разных частей в один и тот же цвет, б) если различные части окрашиваются разными цветами?

Решение.а) Пронумеруем цвета: 1, 2, 3, 4, 5. Рассмотрим два различных варианта раскрашивания квадрата, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов 1, 2, 3, 4:

1	2	и	2	1
3	4		4	3	.

Данная задача – задача о числе размещений из пяти по четыре, при чем рассматриваемые размещения – с повторением элементов. В самом деле, по условию задачи допускается раскрашивание разных частей в один и тот же цвет, т.е. возможен вариант вида:

1	1
1	4	.

Воспользуемся формулой для числа размещений с повторениями, найдем, что число способов равно .

б) В отличие от предыдущей задачи раскрашивание разных частей в один цвет не допускается. Имеем задачу о числе размещений без повторений из пяти элементов по четыре элемента, число способов раскрашивания равно .

Задача 6.Сколькими способами можно разбить шесть гостей А, Б, В, Г, Д, Е на три пары 1, 2 и 3?

Решение. В данной задаче требуется определить количество разбиений множества шести элементов на три подмножества так, чтобы в первое подмножество попало два человека, во второе – два человека, в третье – два человека. Воспользуемся формулой для числа разбиений, получим, чтоесть искомое число способов.

Задача 7. Рассмотрим полиномиальную формулу , где, а суммирование ведется по всем решениям уравненияв целых неотрицательных числах. Доказать свойство полиномиальных коэффициентов.

Решение. В формуле положим, что, тогда получим, что , т.е..

Задача 8. Сколькими способами можно распределить пять учеников по трем параллельным классам?

Решение. Назовём классы: «А», «Б», «В». Некоторые варианты распределения учеников по классам запишем в таблицу 4 (в столбцах таблицы 4 указано количество учеников, попавших в соответствующий класс):

Таблица 4 – Распределение учеников по классам

	Классы
	«А»	«Б»	«В»
Вариант 1	2	2	1
Вариант 2	1	2	2
Вариант 3	1	3	1
…

Вариант 1 характеризуется тем, что в класс «А» попадет два человека, в класс «Б» – два человека, в класс «В» – один человек. Количество разбиений указанного вида равно . Аналогично, количество разбиений типа, определяемого вариантом 2, равно, а количество разбиений типа 3 –и т.д. Общее число способов распределения пяти учеников по трем классам можно найти, воспользовавшись свойством полиномиальных коэффициентов, доказанным в задаче 7:.

Задача 9.Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами их можно посадить в два ряда так, чтобы рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Решение.Пронумеруем ряды: 1 и 2, а варианты «А» и «Б». Рассадим сначала шесть любых учеников на первый ряд. Положим, что первому из них достанется вариант «А», тогда всем остальным также достанется вариант «А». Учеников первого ряда можно пересадить числом способов, равным 6!. Каждому из этих способов будет соответствовать 6! способов рассаживания оставшихся шести учеников второго ряда. При этом все они получат вариант «Б». По правилу произведения находим, что всего существует (6!)² способов рассаживания двенадцати учеников при условии, что ученикам первого ряда будет выдан вариант «А». Столько же способов рассаживания существует при условии, что ученики первого ряда получат вариант «Б». Пользуясь правилом сложения, находим, что всего способов рассаживания будет 2(6!)².

Задача 10. Найти коэффициент при одночленев полиномиальной формуле.

Решение. Применим формулу полиномиальных коэффициентовдля расчета(n₁=3,n₂=4,n₃=5):

.

Задача 11.На зачете по алгебре были предложены три задачи: одна по векторной алгебре, одна по аналитической геометрии, одна по линейной алгебре. Из 100 студентов задачу по векторной алгебре решили 80 человек, по аналитической геометрии – 70 человек, по линейной алгебре – 60 человек. При этом задачи по векторной алгебре и аналитической геометрии решили 60 человек, по линейной и векторной алгебре – 50 человек, по аналитической геометрии и линейной алгебре – 40 человек. А 30 человек решили все задачи. Сколько студентов решили только одну задачу? Сколько студентов решили две задачи? Сколько студентов не решили ни одной задачи?

Решение. Введем обозначения:U– множество всех студентов, А – множество студентов, решивших задачу по аналитической геометрии (АГ),V– множество студентов, решивших задачу по векторной алгебре (ВА),L– множество студентов, решивших задачу по линейной алгебре (ЛА). Задачи подобного содержания достаточно просто решаются с помощью диаграммы. МножестваU,A,V,Lпредставим на следующей диаграмме (рисунок 8а). МножествоUразбито на восемь непересекающихся подмножеств, на рисунке 8а они пронумерованы числами от 1 до 8.

UV

A6 2 5

1

3 4

L

8 7

Рисунок 8а - Разбиение множества U

В таблице 5 и на рисунке 8б указаны все подмножества и их мощности.

Таблица 5 – Мощности подмножеств множества U

Номер подмно-жества	Подмножество студентов, которые …	Мощность подмножества
1	решили все три задачи	30
2	решили задачи по ВА, АГ, но не решили задачу по ЛА	60 – 30=30
3	решили задачи по ЛА, АГ, но не решили задачу по ВА	40 – 30=10
4	решили задачи по ВА, ЛА, но не решили задачу по АГ	50 – 30=20
5	решили задачу по ВА, но не решили задачи по АГ и ЛА	80 – (30+30+ +20) = 0
6	решили задачу по АГ, но не решили задачи по ВА и ЛА	70 – (30+30+ +10) = 0
7	решили задачу по ЛА, но не решили задачи по АГ и ВА	60 – (30+20+ +10) = 0
8	не решили ни одной задачи	100 – (30+30 + +20+10 + 0+ 0 + + 0 ) = 10

UV

30

A0 0

1030

20

10

0

L

Рисунок 8б - Мощности подмножеств

Только одну задачу решили студенты, вошедшие в объединение подмножеств 5, 6, 7 (см. рисунки 8а, 8б). В силу того, что подмножества не пересекаются, складываем их мощности и делаем вывод, что нет студентов, решивших только одну задачу. Складывая мощности подмножеств 2, 3, 4, получаем, что имеется 60 студентов, которые решили по две задачи. Не решили ни одной задачи 10 человек.