M04502

31

вимірюваннях; 2) не більше ніж в 3 вимірюваннях; 3) від 1 до 4 вимірюваннях; 4) в жодному експерименті помилка не перевищить задану точність.

8.Ймовірність того, що грошовий приймач автомату при опусканні однієї монети спрацює правильно, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що при опусканні 400 монет правильно прийнято буде 1) 375 монет; 2) від 340 до 370 монет.

9.Камера мобільного телефону містить 300000 пікселів. Ймовірність того, що деякий піксель пошкоджений, становить 0,0001%. Знайти ймовірність того, що в камері пошкоджено 1) рівно 2 пікселі; 2) не менше 4 пікселів; 3) хоча б один піксель.

Варіант №25

1.В святковому концерті повинні приймати участь 6 вокалістів, 8 піаністів та три скрипаля. В музичній школі навчається 30 вокалістів, 25 піаністів та 12 скрипалів. Скількома способами можна відібрати учасників для святкового виступу?

2.В лото «5 із 36» знайти ймовірність того, що одна картка вгадає три з п’яти виграшних номерів.

3.В пакунку 20 пакетів із соком. Відомо, що 15 з них з вишневим соком, а інші з гранатовим. Знайти ймовірність того, що з 10 взятих навмання пакетів два містять гранатовий сік.

4.В квадрат зі стороною 16см навмання кинута точка. Знайти ймовірність того, що вона потрапить в середину квадрату, утвореного з’єднанням середин сторін вказаного квадрату.

5.П’ятеро студентів складають залік з дисципліни «інформатика». Ймовірність складання цього заліку для кожного з цих студентів різна і відповідно дорівнює 50%, 55%, 60%, 63% та 65%. Знайти ймовірність того, що залік з дисципліни «інформатика» отримали 1) 2 студенти; 2) не менше 3 студентів; 3) хоча б один студент; 4) всі студенти.

6.Серед студентів університету 50% мешканців Києва, 35% мешканців обласних центрів та 15% мешканців сільської місцевості. Серед студентів-мешканців Києва 67% навчаються в університеті за держзамовленням, серед студентів-мешканців обласних центрів за держзамовленням навчається 82%, а серед мешканців сіл за держзамовленням навчається 53%. Виявилося, що випадково обраний студент навчається за рахунок бюджетних коштів. Яка ймовірність того, що він не є мешканцем столиці.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

32

7.Монета підкидається 12 разів. Знайти ймовірність того, що герб випав 1) рівно п’ять разів; 2) від 5 до 7 разів; 3) не менше 6 разів;

4)хоча б один раз; 5) жодного разу.

8.Ймовірність народження хлопчика 0,512. Знайдіть ймовірність того, що серед 500 новонароджених дітей буде 1) 240 дівчинок; 2) від 180 до 210 хлопчиків.

9.Із заводу до магазину відправлено 3000 телевізори. Ймовірність того, що телевізор буде пошкоджено під час транспортування становить 0,001. Знайти ймовірність того, що у магазині виявиться 1) п’ять пошкоджених телевізорів; 2) не менше трьох пошкоджених телевізорів; 3) жодного пошкодженого телевізора.

Варіант №26

1.На складі є 30 одиниць різноманітних товарів. Скількома способами їх можна розподілити по чотирьом магазинам, якщо відомо, що в перший магазин повинні бути доставлені вісім одиниць,

удругий – дев’ять, у третій – сім, в четвертий – шість.

2.33 літери української абетки написані на окремих картках. Навмання послідовно виймають шість карток і складають на стіл одну за одній. Знайти ймовірність того, що вийде слово «літера».

3.До складу потрапили 20 холодильників європейського та 25 азіатського типу. Знайти ймовірність того, що з 10 навмання взятих сім виявиться азіатського типу.

4.Із проміжку [0,1] випадковим чином обирають два числа. Знайти ймовірність того, що їх сума не більше 0,5.

5.Ймовірність банкрутства для першої фірми 15% , для другої фірми - 20%, а для третьої – 12%. Знайти ймовірність що збанкрутує 1) тільки одна фірма; 2) не більше двох фірм; 3) усі три фірми; 4) жодна; 5) хоча б одна.

6.Поступили акумулятори чотирма партіями: по 400, 300, 200 та 100 штук. Ймовірність того, що акумулятор буде працювати на протязі часу Т для першої партії – 0,91; для другої – 0,9; для третьої – 0,93, для четвертої – 0,94. 1) знайти ймовірність того, що випадково обраний акумулятор буде працювати протягом часу Т. 2) Навмання взятий акумулятор перестав працювати. Яка ймовірність того, що він з другої або третьої партії?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

33

7.У вузі 65% студентів одержують стипендію. Яка ймовірність того, що в групі з 12 студентів стипендію одержують 1) 8 студентів; 2) від 5 до 9 студентів; 3) хоча б один студент.

8.Ймовірність того, що покупцеві буде потрібен монітор марки ASER дорівнює 18%. Знайдіть ймовірність того, що з 100 покупців монітор марки ASER зажадають 1) 22 покупці; 2) від 13 до 24 покупців.

9.Ймовірність «збою» у роботі телефонної станції при кожному виклику дорівнює 0,005. Протягом доби поступило 600 викликів. Визначити ймовірність 1) 9 «збоїв»; 2) від 2 до 4 «збоїв»; 3) не більше 5 «збоїв»; 4) хоча б одного «збою».

Варіант №27

1.У колекції музею є 20 скульптур, 30 гравюр та 18 картин. Для чергової виставки треба обрати 6 скульптур, 10 гравюр та 9 картин. Скільки різних варіантів експозиції можна скласти вказаним чином?

2.28 літер англійської абетки написані на картках. Навмання послідовно обирається п’ять карток та складають їх на стіл. Знайти ймовірність появи слова LINUX.

3.В ящику 25 яблук, з яких 8 жовтих. Знайти ймовірність того, що з 12 взятих навмання виявиться 6 жовтих.

4.В прямокутник з вершинами в точках (0;0), (0;1), (2;0), (2;1) навмання кинута точка. Знайти ймовірність того, що координати цієї точки задовольняють рівнянню y ³ x .

5.Робітник обслуговує три верстати, які працюють незалежно. Ймовірність того, що під час зміни верстати вимагають ремонту відповідно дорівнюють 20%, 40% та 45%. Знайти ймовірність того, що під час зміни ремонту потребує 1) один верстат; 2) не менше двох верстатів; 3) хоча б один верстат.

6.У випускному класі навчається 30 учнів, з них двоє навчаються на відмінно, десятеро навчаються добре, п'ятнадцять посередньо та троє погано. Ймовірність того, що після закінчення школи учень вступить до вузу для тих, хто навчається на відмінно, становить 85%, для тих, хто навчається добре – 70%, для тих, хто навчається посередньо – 50%, для тих, хто навчається погано – 10%.

1)Знайти ймовірність того, що навмання обраний учень цього класу вступив до вузу. 2) Навмання обраний учень не вступив до вузу. Яка ймовірність того, що він навчався не погано.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

34

7.Прибор складається з шести елементів, які працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що під час монтажу елемент вийшов з ладу дорівнює 0,2 для кожного з елементів. Знайти ймовірність того, що прибор працює, якщо для цього потрібно, щоб працювало 1) хоча б чотири елементі; 2) не менше 3 елементів; 3) всі елементи.

8.Дослід полягає в киданні гральної кістки 600 разів. Знайти ймовірність того, що шістка випаде 1) 120 разів; 2) від 90 до 115 разів.

9.Із заводу до автосалону відправлено 4000 автомобілі. Ймовірність того, що автомобіль буде пошкоджено під час транспортування становить 0,0005. Знайти ймовірність того, що у автосалоні виявиться 1) три пошкоджених автомобілі; 2) не менше двох пошкоджених автомобілів; 3) жодного пошкодженого автомобіля.

Варіант №28

1.Шкільний бібліотекар повинен оформити передплату на 5 загальноосвітніх журналів, 3 спеціальні журнали для вчителів та 4 підліткові газети. Працівники пошти можуть надати на вибір для передплати 18 загальноосвітніх журналів, 10 спеціальних журналів для вчителів та 7 підліткових газет. Скільки різних варіантів передплати може оформити бібліотекар?

2.Яка ймовірність того, що в навмання обраному двозначному числі кількість одиниць в два рази більше кількості десятків?

3.В коробці 36 стрічок, з них 19 блакитних. Знайти ймовірність того, що серед 24 взятих навмання стрічок 10 виявиться блакитними.

4.Із проміжку [0,1] випадковим чином обирають два числа. Знайти ймовірність того, що перше з них більш ніж в 2 рази перевищує друге.

5.Четверо студентів складають залік з дисципліни «вища математика». Ймовірність складання цього заліку для кожного з цих студентів різна і відповідно дорівнює 60%, 65%, 55% та 50%. Знайти ймовірність того, що залік з дисципліни «вища математика» отримали

1)2 студенти; 2) не менше 3 студентів; 3) хоча б один студент; 4) всі студенти.

6.На трьох верстатах випускають однотипні деталі. За зміну на першому верстаті виготовлено 2500 деталей, на другому 4000, на третьому – 3500. Відомо, що перший верстат дає 0,1% браку, другий – 0,5% браку, третій – 1%. Для контролю взяли деталь. 1) Яка

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

35

ймовірність того, що вона доброякісна. 2) Деталь виявилася бракованою. На якому верстаті найімовірніше за все вона була зроблена?

7.Виконується 15 незалежних постріли по цілі, ймовірність влучення в яку при одному пострілі дорівнює 0,75. Знайдіть ймовірність того, що число влучень 1) дорівнює 8; 2) не менше 7 та не більше 12; 3) не менше 10; 4) не більше 13.

8.Дослід полягає в киданні гральної кістки 300 разів. Знайти ймовірність того, що трійка випаде 1) 60 разів; 2) від 40 до 65 разів.

9.Із заводу до магазину відправлено 1000 комп’ютерів. Ймовірність того, що комп’ютер буде пошкоджено під час транспортування становить 0,005. Знайти ймовірність того, що у магазині виявиться 1) три пошкоджених комп’ютера; 2) не менше двох пошкоджених комп’ютерів; 3) жодного пошкодженого комп’ютера.

Варіант №29

1.В вузівській олімпіаді з вищої математики приймає участь 20 студентів. Знайти кількість всіх можливих розподілів трьох перших призових місць між учасниками олімпіади.

2.В ящику 8 білих та 3 жовті кулі. Із ящику виймають одну кулю та відкладають убік. Ця куля виявилась білою. Після цього з ящика беруть ще одну кулю. Знайдіть ймовірність того, що ця куля жовта.

3.На стелажі бібліотеки 10 книжок з фізики та 12 книжок з хімії. Знайти ймовірність того, що серед взятих навмання 8 книжок 5 буде з хімії.

4.Із проміжку [0,1] випадковим чином обирають число a , а із

проміжку [− 1,1] випадковим чином обирають число b . Зайти ймовірність того, що a < b .

5.Ймовірність банкрутства для першої фірми 5% , для другої фірми - 10%, а для третьої – 12%. Знайти ймовірність що збанкрутує

1)тільки одна фірма; 2) не більше двох фірм; 3) усі три фірми; 4) жодна; 5) хоча б одна.

6.В магазині побутової техніки є в наявності 50 холодильників марки Samsung, 100 - Indesit, 70 – Ardo та 30 – Gorenje. Ймовірність того, під час гарантійного терміну в три роки холодильник потребує ремонту відповідно дорівнює 0,5% для марки Samsung, 1,5% для

Indesit, 0,8% для Ardo та 0,6% для Gorenje. Покупець, що придбав

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

36

навмання холодильник в цьому магазині, протягом гарантійного терміну звернувся задля ремонту. До якої марки скоріш за все належить придбаний холодильник?

7.Ймовірність захворіти грипом під час епідемії для кожної людини дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що з групи студентів у 10 осіб хворими виявляться: 1) рівно 7 студентів; 2) не більше чотирьох студентів; 3) хоча б один студент; 4) знайти найбільш ймовірне число хворих студентів.

8.При передачі повідомлення ймовірність неправильної передачі кожного знаку дорівнює 0,1. Яка ймовірність того, що при передачі 100 знаків правильно передадуть 1) 85 знаків; 2) від 82 до 95 знаків.

9.Ймовірність виробництва бракованої деталі 0,005. Знайдіть ймовірність того, що в партії з 500 деталей 1) 3 браковані; 2) від 2 до 4 бракованих; 3) жодної бракованої; 4) хоча б одна бракована.

Варіант №30

1.Працівники зеленгоспу повинні висадити у парку 10 дубів, 15 кленів та 12 тополь. У оранжереї є 30 саджанців дубу, 20 саджанців клену та 40 саджанців тополь. Працівники навмання обирають необхідну кількість саджанців. Скільки можливих варіантів вибору існує?

2.Гральний кубик підкидається два рази. Знайти ймовірність того, що сума випавших очок дорівнює восьми.

3.В коробці 18 олівців, з яких 10 зелених. Знайти ймовірність того, що серед взятих навмання 6 олівців буде 2 зелених.

4.В правильному трикутнику із стороною 16см випадковим чином обирають точку. Яка ймовірність того, що вона лежить всередині кола, вписаного в цей трикутник.

5.Екзаменаційний білет складається з трьох питань. Ймовірність того, що студент знає відповідь на перше питання – 80%, на друге питання – 85%, на третє питання – 75%. Знайти ймовірність того, що студент складе екзамен, якщо для цього необхідно правильно відповісти 1) на всі питання; 2) на будь-які два питання; 3) хоч би на одне питання.

6.Із 25 студентів, що складають іспит, 15 знають всі 25 білетів, 6

–20 білетів, 4 – 10 білетів. Викладач навмання викликає студента. 1) Яка ймовірність того, що студент не складе іспиту. 2) Студент склав іспит, яка ймовірність того, що він знав принаймні 20 білетів.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

37

Ймовірність складання іспиту, якщо знаєш білет – 90%, не знаєш –

5%.

7.Серед виготовлених працівником деталей 95% не містять браку. Яка ймовірність того, що серед взятих на випробування 10 деталей 1) рівно 9 не бракованих; 2) від 7 до 10 не бракованих; 3) хоча

бодна бракована; 4) жодної бракованої.

8.Ймовірність відвідування лекції з вищої математики для будьякого студента дорівнює 80%. В потоці 200 чоловік. Знайти ймовірність того, що на певній лекції присутні 1) 175 студентів; 2) від 155 до 176 студентів.

9.Радіоапаратура складається з 2500 мікроелементів. Ймовірність відмови кожного елемента протягом доби дорівнює 0,002 і не залежить від стану інших елементів. Знайдіть ймовірність відмови 1) 4 елемента; 2) хоча б одного; 3) не менше 5 елементів за добу.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

38

2.ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

2.1Аудиторні завдання

1.При штампуванні 10% деталей йдуть в брак. Знайти закон

розподілу числа придатних деталей в вибірці із 5 штук. Знайти

mx ,sx ,F(x). Відповідь: mx = 4,5,σ x = 0,67 .

2.Серед 7 шарів 4 білих. Вибрано 3 шари. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа білих шарів в вибірці. Знайти

mx ,sx ,F(x). Відповідь: mx = 1,71,σ x = 0,7.

3.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ; причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,8. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її

математичне сподівання M (x) = 2,6 та дисперсія D(x) = 10,24. Відповідь: x1 = 1, x2 = 9.

4. Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F(x); в) параметри М(х); σ(х); г) ймовірність попадання ВВ Х на відрізок [1; 1,5]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x). Відповідь: а) a = 29 , в)

М(х)=5; σ(х)=0,71.

5. Довжина валу є нормальна випадкова величина з mx = 10 , σ x = 0,5 . Знайти ймовірності: Р(11<x<12), P( |x-10|<2). Відповідь: 0,0227; 0,9998.

вибіркове рівняння регресії У на Х.

Відповідь: в) mx =1,87,my = 0,9,σ x = 3,71,σ y = 3,02, ρxy = 0,185.

7. Щільність ймовірності двовимірної ВВ ( х, у ):

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

39

f (x,y)= ìc× (x + y)2 × y, (x,y)Î D

íî0,(x,y)Ï D D : (0 £ x £1,0 £ y £1)

Знайти: а) сталу c ; б) рівняння регресії Y на Х. Відповідь: а) c = 43; б) 801 (63 − 5x)

2.2 Індивідуальні завдання Варіант 1

1. При штампуванні 10% деталей йдуть в брак. Знайти закон розподілу числа придатних деталей в вибірці із 6 штук. Знайти

mx ,σx ,F(x).

2.Серед 5 шарів 4 білих. Вибрано 3 шари. Знайти закон розподілу

випадкової величини Х - числа білих шарів в вибірці. Знайти

mx ,σx ,F(x).

3.В приборі за 5000 годин реле відказує 26 раз. Вважаючи,що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відказів за 70 годин і надійність реле.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,9. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 1,9 та дисперсія D(x) = 7,29.

5. Функція розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £1;

наступним чином: F(x)= ïía(x2 - x), 1 < x £ 2;

ïî1, x > 2

Знайти: а) параметр а; б) щільність розподілу f (x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання ВВ Х на відрізок [1; 1,5]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6.Довжина валу є нормальна випадкова величина з mx = 120 ,

σx =1. Знайти ймовірності: Р(121<x<122), P( |x-120|<2).

7.Дана двовимірна дискретна випадкова величина ( Х, У).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

40

Знайти: а) граничні закони ВВ Х та У; б) умовний закон ВВ У при Х=2,6;

8. Щільність ймовірності двовимірної ВВ ( х, у ):

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Y на Х.

Варіант 2

1. В ящику 10% бракованих деталей. Знайти закон розподілу числа Х придатних деталей в вибірці з 5 штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. При штампуванні 7 деталей 3 деталі виявились бракованими. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа бракованих

деталей в вибірці із 4-х штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

3.В приладі за рік роботи перегоряє 15 ламп. Вважаючи,що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відказів ламп за 100 годин і надійність приладу за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,9. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 2 та дисперсія D(x) = 9.

5. Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ 0;

наступним чином: f (x) = ïía(4x - x3), 0 < x £ 2;

ïî0, x > 2.

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F(x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на інтервал [0; 1]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com