електротехніка лекції

u uR uL uC ,

(25)

де

uR iR

- миттєве значення напруги на резисторі;

uL

L

di

- миттєве

dt

значення

напруги

на

котушці

індуктивності;

uC

1

idt

-

напруга

на

C

конденсаторі.

Підставивши формулу (24) в (25), одержимо:

u RIm

sin t L Im cos t

1

Im cos t ,

1

C

де L XL та

XC

- чисельні значення реактивних опорів котушки

C

індуктивності і конденсатора відповідно, а величина XL XC

X

називається

реактивним опором схеми.

Внаслідок цього маємо

u Im(Rsin t X cos t).

(26)

Використовуючи математичну формулу

b

sin( t ), де arctg

,

asin t bcos t

a2 b2

перепишемо формулу (26) у вигляді

a

sin( t ) Im z sin( t ) ,

u Im

R2 X2

де arctg

X

- зсув фаз між напругою на вході схеми і струмом;

z –

R

чисельне значення повного опору схеми.

Напругу на затискачах джерела струму можна також знайти,

використовуючи другий закон Кірхгофа у комплексному вигляді, тобто

U UR UL UC .

(27)

Враховуючи, що через кожен з елементів протікає один і той же струм,

можемо записати

UR IR,

UL j LI ,

UC

1

I ,

j C

або UR IR,

UL jXLI ,

UC jXCI .

Це дає можливість рівняння (27) записати у вигляді:

U

I(R jXL jXC ) I(R jX) Iz .

(28)

Величина z R j(XL XC )

є еквівалентним комплексним повним опором

схеми,

а реактивний опір

( XL XC X ) є уявною частиною комплексного

залежності від величини XL

і ХС може носити індуктивний (XL

> ХС), або

ємнісний характер (XL

< ХС).

закон Ома

З формули (28) маємо класичний

для нерозгалуженого

кола

змінного

струму в

комплексному вигляді:

I

U

.

z

Такий же вигляд буде мати закон Ома

для

діючих значень струму і напруги: I

U

.

z

Приклад 1.

R

С.

Маємо коло з

двох

елементів

і

Рис. 21

Визначити модуль повного опору кола z.

Комплексний опір кола

z R jXC ,

зсув фаз між напругою на схемі і

струмом arctg

XC

. Комплексний

опір можна показати на

комплексній

R

площині (рис. 21).

З рисунку видно, що

R z cos

XC z sin .

z

R2 XC

2

R

25

Рис.23

Діюче значення струму: I

U

220

5,48A.

z

40,1

На ній вздовж дійсної осі

в обраному масштабі відкладений вектор

струму I . Потім паралельно до I

відкладаємо у масштабі вектор напруги на

резисторі UR IR. Так як на котушці індуктивності напруга випереджає струм

за фазою на 900, то вектор UL IXL

повертаємо відносно вектора I на 900 проти

б) Випадок XL < XC ; звідси за величиною UL < UC .

Векторна діаграма приведена на рис.24,б. При XL < XC зсув фаз

між

векторами U та I

є від’ємним і коло має ємнісний характер.

в) При XL =

XC маємо особливий режим (рис.24,в): так як вектори

UL

резонансною.

Її визначають з умови рівності реактивних опорів:

0L

1

,

звідки 0

1

.

0C

LC

Відношення напруги UL

і UC до

напруги UR називається добротністю і

позначається літерою Q:

U

U

jX

L

jX

C

.

Q

L

C

R

R

UR

UR

Оскільки

резонансна частота

дорівнює

0

, то добротність Q

L/C

, де

-

L/C

R

R

хвильовий опір. Хвильовим опором називають

величину реактивного

опору

при резонансній

Рис. 25

частоті: 0L

L

L

.

LC

C

Трикутник напруг і опорів

а) Трикутник напруг

Аналіз векторних діаграм (рис. 24) показує, що

вектор прикладеної до кола напруги можна

розглядати як геометричну суму векторів

Ua RI і

Up jXI

. Вектор Ua

(вектор результуючої напруги на

активних елементах кола) співпадає за фазою з

вектором струму

I , а вектор

Up (вектор

Рис.26

результуючої

напруги

на

реактивних елементах

кола)

перпендикулярний

вектору I і

повернутий

вліво від нього, якщо

φ > 0

- тобто коло має

індуктивний характер,

або

вправо від нього, якщо <

0 (тобто коло має

ємнісний характер).

В одержаному трикутнику напруг Ua

(рис.26)

співпадає за фазою зі

струмом і називається активною складовою напруги: Ua

U cos RI .

Напруга Up зсунута за фазою на кут /2

відносно струму і називається

реактивною складовою напруги: Up U sin XI .

Виходячи с трикутника (рис.26) напруга на

затискачах кола U

Ua

2 Up

2

.

б) Трикутник опорів одержуємо з трикутника

Рис.27

cos R/ z ;

sin X / z ;

tg X /R,

.

Z

R2 X2

I

gU ,

I

jb U

,

I

jb U

,

R

L

L

C

C

де

U

-комплексне

діюче значення напруги на вході кола; (-jbL) –

I gU jb U jb U

L

C

I (g jb

jb )U .

(30)

L

C

Різниця b bL bC називається реактивною провідністю,

а величина

y g jb - комплексною провідністю кола (де b > 0 при bL > bC ,

b < 0 при

bL < bC ).

елементами

можуть значно перевищувати струм у

нерозгалуженій

ділянці

кола,

який

в момент

резонансу набуває мінімального значення (рис.30).

Повна провідність кола дорівнює тільки активній

провідності (y=g).

Як і при резонансі напруг, при резонансі

струмів мають місце співвідношення:

φ =

0

,

0

1/

.

LC

Так як напруга на всіх елементах при

Рис.30

паралельному з’єднанні однакова, то

резонанс

струмів

не

представляє

небезпеку.

Тому він широко використовується в

енергетиці, радіотехніці, телебаченні, техніці зв’язку.

Трикутники струмів і провідності

а) Трикутник струмів. Аналіз векторних діаграм

(рис.29,а і б) показує, що вектор

струму

I

на

нерозгалуженій ділянці кола можна розглядати як

векторну (геометричну)

суму

векторів

Ia

і Ip .

В

одержаному

трикутнику

струмів

(рис.31) вектор

Ia (вектор струму через

активні елементи

кола) співпадає за фазою з вектором напруги

U ,

а вектор

Ip (вектор результуючого струму через реактивні елементи

кола) перпендикулярний вектору U .

З

трикутника струмів

діюче

значення

струму

Рис.31

I

Ia2 Ip2

,

де Ia Ug , Ip Ub .

Для

трикутника провідності

мають місце

співвідношення

y

g2 b2

,

g ycos , b ysin ,

arccos(g/ y).

тому можна скласти співвідношення

між опорами та провідностями

R/ z g/ y та інші.

Вирази провідностей через опори та опорів через провідність мають

вигляд:

y 1/ z,

z 1/ y,

g r/ z2,

R g / y2,

b X / z2.

X b/ y2.

комплексного значення струму S~ U

в

I і може бути представленою

S~ P jQ, S~ Scos jSsin ,

де Р – активна потужність (одиниця вимірювання – Вт);

Q – реактивна

потужність – потужність (одиниця вимірювання Вар); S –

модуль повної

P S cos ;

Q Ssin ;

arccos

P

Рис.33

S

S P2

Q2 ;

Наведені

потужності також можуть

бути розраховані за діючим

значенням струму і відповідного опору за формулами:

P I2R,

Q I2X ,

S I2Z .

S

n

2

m

l

2

Pk

QLk QCk

.

k 1

k 1

k 1

Коефіцієнт потужності. Засоби компенсації реактивної потужності

Активна потужність визначається співвідношенням P S cos , де величина

cos

називається коефіцієнтом потужності

(cos

P

). Коефіцієнт

S

потужності характеризує ступінь використання електричної енергії.

Більшість крупних споживачів електроенергії уявляють собою

електромагнітні механізми, наприклад, двигуни,

трансформатори, в яких

при протіканні змінного струму індукуються

реактивні ЕРС, які обумовлюють

зсув фаз φ між напругою і струмом. Цей зсув фаз

звичайно збільшується, а

cos зменшується при малому навантаженні.

Наприклад, якщо cos двигунів

змінного струму при повному навантаженні складає

0,75-0,8, то при малому

навантаженні він зменшується до 0,2-0,4.

Баланс потужностей для кола змінного струму

Баланс потужності можна визначити рівнянням

S ДЖ Sприйм , де S ДЖ -

потужність усіх джерел живлення,

Sприйм - потужність усіх приймачів кола, тобто

n

m

Uk I*k Ik2 Zk.

k 1

k 1

Треба пам’ятати, що добуток

Uk I*k береться зі знаком “-“, коли напруга

та струм джерела протилежні за напрямком. Якщо

напруга на джерелі та

Змішане з’єднання R, L, C елементів

Розглянемо

змішане з’єднання елементів

резисторів, котушок

всіх елементах кола.

Перший

закон

Кірхгофа

в

комплексному вигляді для вузла “а”

заданого кола: I1

I2 I3 ;

Другий

закон

Кірхгофа

для

замкненого кола:

U

U1 Uab ,

де

I1

-

діюче

значення струму

в

комплексному вигляді

на

нерозгалуженій

Рис.34

ділянці кола,

U

-

діюче

значення напруги

в

z

R j

1

;

2

z R j L

2

C2

1

1

1

z3 R3 j L3.

Загальний опір паралельних гілок 2 і 3 в

Рис.35

комплексному вигляді:

z2,3

z2 z3

.

z2 z3