конспект лекцій Дизайн

ЛЕКЦІЯ 5 СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ

11

Використовуючи спосіб заміни площин проекцій можна привести площину в проекціювальне положення (рис.5.4.). Спочатку виконується заміна горизонтальної площини проекцій ПІ на Пз: нова вісь проекцій Х25 проводиться перпендикулярно до площини трикутника (для цього використано фронталь трикутника - Х45 перпендикулярна до 6). Для побудови точок Аз, Вз і Сз відкладаються відстані від вісі Х45 рівні координатам V відповідних точок. Шукані точки Аз, Вз і Сз будуть розміщені на одній прямій, що і вказує на те, що площина зайняла проекцювальне положення. Кут р між площиною і віссю Х25 є кутом нахилу площини до ГЬ. Виконавши ще одну заміну площини проекцій можна знайти натуральну величину трикутника: нова вісь проекцій Хзе проведена паралельно до площини три кутника АВС. Відстані до точок Аб, Ве, Сб дорівнюють відстаням від А2, В2, С2 до

ПОПереДНЬОЇ ВІСІ Х25. В ТрИКуТНИКу АбВбСб

всі сторони і всі кути спроекціювалися в натуральну величину.

Спосіб плоско паралельного переміщення

При використанні способу плоскопаралельного переміщення одна із проекцій геометричного об'єкта без зміни форми і розмірів переміщується паралельно одній з площин проекцій, інші проекції точок переміщуються в площинах паралельних вісі проекцій.

Виконаємо задачі розглянуті вище застосовуючи спосіб плоскопаралельного переміщення. Приведемо відрізок АВ в проекціювальне положення (рис.5.5.). Для цього горизонтальну проекцію відрізка АІВІ розмістимо паралельно до вісі ХІ2 (в довільному місці ) не змінюючи її величину (АІВІ^АІ'ВІ1). Фронтальні проекції А2 і В2 переміщуються в площинах паралельних горизонтальній площині проекцій ПІ. На перетині відповідних ліній знаходимо точки Аг' і В21, проекція А2'В2' є натуральною величиною відрізка АВ, а кут нахилу А2'Вг' до вісі ХІ2 є кутом нахилу відрізка АВ до ПІ (кут а). Перемістимо нову фронтальну проекцію відрізка у положення перпендикулярне ДО ВІСІ ХІ2 (А2'В2' =А2'В2'). На горизонтальній проекції точки АІ" і ВІ" співпадуть, отже відрізок зайняв горизонтальнопроекціювальне положення.

На рис.5.6. наведено приклад визначення відстані між паралельними прямими, які Рас. 5. займають фронтальне положення. __________

12

На рис.5.7. наведено приклад визначення відстані від точки В до площини трикутника АВС. Способом плоскопаралельного переміщення трикутник приведений у проекціювальне положення (перпендикулярно до ІЬ). Для цього в трикутнику АВС побудуємо горизонталь. Перемістимо горизонтальну проекцію трикутника АІВІСІ разом з точкою В таким чином, щоб лінія ЬІ розмістилася перпендикулярно до площини проекцій Ш (розміри трикутника АІВІСІ та положення точки В відносно трикутника не змінюється). Фронтальною проекцією трикутника в

НОВОМУ ПОЛОЖеННІ буде ПрЯМа А2'В2'С2'.

Відстань від точки В до утвореної прямої по перпендикуляру і буде шуканою.

Спосіб обертання навколо лінії рівня

Розглянемо цей спосіб на прикладі визначення натуральної величини трикутника. Для цього побудуємо в трикутнику АВС горизонталь (рис.5.8.). Обертаючи трикутник навколо горизонталі можна розмістити його паралельно площині проекцій ПІ. Кожна точка трикутника буде обертатися по колу, площина якого перпендикулярна до горизонталі. Радіуси цих кіл будуть перпендикулярними до ЬІ, а їх натуральну величину визначимо способом прямокутного трикутника. Точка АІ буде знаходитися на місці, так як вона належить лінії ЬІ (аналогічно і точка її). Радіус обертання точки С є лінія СІОІ, його натуральна величина - ОІСІ'. Нові проекції точок СІ1 і ВІ1 будуть розміщені на лініях перпендикулярних до ЬІ. З'єднавши точки АІ1, ВІ1 і СІ' отримаємо трикутник в натуральну величину.

Рис. 5. *>.

13

ЛЕКЦІЯ 6. 7

ГЕОМЕТРИЧНІ ПОВЕРХНІ

Геометричні поверхні розрізняють на гранні і криві. Побудова проекцій поверхні на площині зводиться до побудови проекцій деяких точок і ліній цієї поверхні.

Гранні поверхні

На рис.6.1. наведено приклади гранних поверхонь. Рис.б.І.а) - піраміда, задана основою (трикутник АВС) і вершиною (точка 8); рис.6.1.6) - призма, задана основами (трикутники АВС і ВЕК) і бічними ребрами (АВ, ВЕ і СК). Для побудови проекцій точок, що належать заданим поверхням, необхідно побудувати лінії, що належать основам чи бічним граням поверхні.

Перетин гранних поверхонь площиною

Лінія перетину багатогранника площиною в загальному випадку є плоский багато-

кутник (переріз). Для його побудови необхідно визначити точки перетину бічних ребер та сторін основи із заданою площиною. На рис.6.2. наведено приклади побудови ліній перетину призми і піраміди проекціювальними площинами. При цьому контур перерізу на одній із проекцій співпадає зі слідом площини, а на іншій будується за належністю точок відповідним лініям поверхні.

Побудова лінії перетину гранної поверхні площиною загального положення зводиться до пошуку точок перетину ліній поверхні з заданою площиною. На рис.6.3. наведено приклад побудови перерізу призми площиною загального положення, заданої трикутником КМЬ. Точки перерізу К, Е, В є точками перетину бічних ребер призми з трикутником. Для їх визначення використано алгоритм наведений в лекції 4 - через кожне ребро проведено фронтально-проекціювальні площини. Видимість контуру перерізу визначається за належністю його сторін

14

задана слідами або її горизонталлю та фронталлю, для побудови перерізу доцільно перетворити її в проекціювальну, використовуючи спосіб заміни площин проекцій. На рис.6.4. наведено приклад перетину піраміди площиною, що задана слідами ЬІ°, 6°. Замінивши фронтальну площину проекцій, на новій проекції контур перерізу 24-34-44 співпадатиме зі слідом площини. Зворотним проекціюванням визначено горизонтальну і фронтальну проекції перерізу.

Криві поверхні

Ознайомимося з кривими поверхнями на прикладі циліндричної і конічної поверхонь. Для завдання циліндра і конуса на площині виконується побудова їх основи, вісі обертання, контурних твірних, вершини (для конуса). Для побудови точок, що належать заданим поверхням необхідно провести через них відповідні твірні. На рис.6.5 наведено приклади похилих конуса та циліндра.

Перетин кривих поверхонь площиною

Лінією перетину кривої поверхні площиною в загальному випадку є плоска крива лінія.

При перетині поверхні проекціювальною площиною, на одній із проекцій контур перерізу співпадає зі слідом площини. Для перенесення точок перерізу на іншу проекцію необхідно провести ряд твірних поверхні: точки, що належать відповідним твірним і утворюють контур перерізу. При перетині площиною всіх твірних кривої поверхні в перерізі утвориться еліпс, в іншому випадку - парабола.

На рис.6.6. наведено приклад перетину прямого конуса фронтально-проекціюваль- ною площиною £. Фронтальна проекція контуру перерізу співпадає зі слідом площини. Точки її і 4І знайдено на відповідних твірних конуса, горизонтальні проекції яких співпадають з віссю основи. Для побудови горизонтальних проекцій інших точок використано спосіб допоміжних січних площин. Через точки перерізу 22 і 32 проведено допоміжні горизонтальні площини А2 і 02, які перетинають конус по колах відповідного радіуса К. Горизонтальні проекції точок перерізу будуть належати відповідним колам.

15

З'єднавши побудовані горизонтальні проекції точок перерізу отримаємо еліпс.

На рис. 6.7. наведено приклад перетину похилого циліндра горизонтально-проек- ціювальною площиною. Для побудови контура перерізу в циліндр вписано восьмигранну призму, з цією метою коло основи циліндра поділено на вісім рівних частин і проведено вісім твірних паралельних до вісі циліндра. На перетині твірних зі слідом площини £І утворилися точки перерізу ГІ - 8'І. Фронтальні проекції точок знайдено на відповідних проекціях твірних циліндра. Видимість контура перерізу визначено за видимістю відповідних твірних.

Для побудови контуру перерізу кривих поверхонь площиною загального положення в задану криву поверхню необхідно вписати багатогранник (поділивши коло основи на рівні частини). Побудова контуру перерізу поверхні площиною виконується аналогічно гранним поверхням.

Перетин гранних поверхонь з прямою

Для визначення точок перетину прямої з багатогранником через пряму проводиться допоміжна проекціювальна площина та будується лінія перетину цієї площини з заданою поверхнею. Точки перетину утвореного контуру перерізу з прямою і будуть шуканими точками.

На рис.6.8. наведено приклад перетину чотиригранної піраміди з прямою с. Через пряму проведено фронтально-проекцію- вальну площину Д (слід площини співпадає з фронтальною проекцією прямої). В перерізі утворився чотирикутник Ь-42. На перетині горизонтальної проекції контуру перерізу з горизонтальною проекцією прямої знайдено точки К і М, які і є точками перетину прямої з поверхнею піраміди. Видимість прямої визначається за належністю точок перетину видимим чи невидимим граням поверхні.

На рис.6.9. наведено приклад побудови точок перетину призми з прямою (1. Для цього через пряму проведено горизонтальнопроекціювальну площину^ . Точки перетину фронтальної проекції прямої з контуром перерізу ( Ь і М) є шуканими точками.

16

Перетин кривих поверхонь з прямою

Для визначення точок перетину прямої лінії з кривою поверхнею, як і у випадках з багатогранниками, використовуються допо-

міжні січні площини. Площини обираються таким чином, щоб утворений контур перерізу був якомога простішим.

На рис.6.10. наведено приклад перетину циліндра з прямою а. Через пряму проведено площину паралельно до нахилу циліндра. Положення площини визначається допоміжними точками Ь і 22. Для побудови перерізу цієї площини з циліндром, знайдено лінію перетину її з колом основи 3-4. Така допоміжна площина перетне циліндр по чотирикутнику, утвореному твірними, що проходять через точки 5І і 6І. На перетині цих твірних з горизонтальною проекцією прямої і знайдено точки К і М. Видимість прямої визначається за належністю точок видимій чи невидимій частині поверхні циліндра.

На рис. 6.11. наведено приклад перетину конуса з прямою Ь. Допоміжну січну площину проведено через пряму і вершину конуса точку 8. Положення площини визначається точками 1 і 2. Лінія перетину площини з колом основи - лінія 3-4. Така площина перетне конус по трикутнику 8-5-6. На перетині утвореного трикутника з фронтальною проекцією прямої і знайдено шукані точки Е і Ь.

17

Аксонометричні проекції

Для більш наочного зображення поверхонь та їх просторового сприйняття використовуються аксонометричні проекції.

Аксонометричними проекціями нази-

вають зображення, отримане в результаті проекціювання паралельними променями предмета разом з вісями прямокутних координат, до яких цей предмет віднесений у просторі, на одну площину проекцій. На аксонометричному зображенні предмета видні всі три головні виміри: висота, яка вимірюється вздовж вісі 2, ширина, яка вимірюється вздовж вісі ¥, і довжина, яка вимірюється вздовж вісі X.

Розглянемо побудову аксонометричних проекцій на прикладі одного з її видів -

прямокутної ізометричної проекції. При цьому вісь 2 розміщена вертикально, а вісі X і ¥ утворюють з віссю 2 кути по 120° (або кути 30° з горизонтальним напрямом) (рис.6.12.).

На рис.6.13. показана побудова ізомерричної проекції піраміди, заданої в ортогональних проекціях. Для зручності на ортогональних проекціях фігури вісі X, ¥, 2 проведено через проекції вершини піраміди. Паралельність ліній заданим координатним вісям на аксонометричній проекції зберігається. Побудова ізометричної проекції точки за її координатами показана на прикладі точки А.

На рис.6.14 наведено приклад побудови аксонометрії прямого циліндра, вісь якого займає фронтально-проекціювальне положення. Початок координат співпадає з центром кола основи циліндра. Для їх побудови коло основи циліндра розділено на 8 рівних частин. Навколо кола описано квадрат, сторона якого дорівнює діаметру кола. Точки 1, 3, 5, 7 є серединами сторін квадрата, точки 2, 4, 6, 8 належать його

діагоналям. На аксонометричній проекції Рис. квадрат зображається ромбом, а коло - еліпсом. Твірні циліндра рівні між собою і паралельні до вісі ¥.

18