LR2 ММТС

Математические методы теории сигналов

Множество величин Ck 2 , входящих в (2.18), называется спектром мощно-

сти периодического сигнала.

Следует учитывать, что при усечении рядов Фурье N членами (гармониками), равенства Парсеваля принимают форму неравенств:

АППАРАТУРА И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

Для выполнения лабораторной работы необходим персональный компьютер со следующими характеристиками: процессор Pentium/Celeron с тактовой частотой 300 МГц и выше, оперативная память не менее 128 Мбайт и более, свободное дисковое пространство не менее 100 MB Мбайт, устройство для чтения компакт-дисков, монитор типа Super VGA (число цветов 256).

Для выполнения лабораторной работы необходима операционная система

WINDOWS 2000/ XP Professional, библиотека Microsoft .NET Framework версии

1.1 или выше, программа MathCAD 10 и выше.

УКАЗАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ

При выполнении лабораторной работы запрещается:

- самостоятельно производить ремонт персонального компьютера, а также установку и удаление имеющегося программного обеспечения;

11

Математические методы теории сигналов

-нарушать общепринятые правила техники безопасности при работе с электрооборудованием, в частности, касаться электрических розеток металлическими предметами и т.д.;

-принимать пищу, напитки и сорить на рабочем месте пользователя персонального компьютера.

В случае неисправности персонального компьютера необходимо немед-

ленно сообщить об этом обслуживающему персоналу лаборатории (системному администратору, оператору).

МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Методику выполнения работы рассмотрим на примере спектрального анализа и синтеза в усеченном базисе Фурье (ограничиться рассмотрением десяти гармоник т. е. N =10) периодической последовательности прямоугольных импульсов с высотой A = 1 В, длительностью τ = 0,2 с и периодом Т = 1 с (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Требуется для сигнала s t определить:

-1 – основную круговую частоту периодического сигнала (частоту пер-

вой гармоники), рад/с;

-ak – коэффициент k-той косинусной составляющей спектра Фурье пе-

риодического сигнала, В;

-bk – коэффициент k-той синусной составляющей спектра Фурье перио-

дического сигнала, В;

12

Математические методы теории сигналов

-a0 2 – постоянную составляющую спектра Фурье периодического сиг-

нала, В;

-Ak – амплитуду k-той гармоники спектра Фурье периодического сигнала,

В;

-k – начальную фазу k-той гармоники спектра Фурье периодического

сигнала, радианы или градусы;

-амплитудную и фазовую спектральные диаграммы периодического сигнала (построить линейчатые спектры);

-восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал sN t являющийся

приближенным изображением сигнала s t ;

- расстояние и квадрат расстояния между сигналами sN t и s t за период колебаний T, выраженный в процентной мере относительно квадрата нормы сигнала s t ;

-среднюю мощность сигнала s(t) за период колебаний T;

-сумму мощностей постоянной составляющей и гармоник спектра Фурье, В2, ивыполнение неравенства Парсеваля;

-tm – момент времени, когда восстановленный по усеченному ряду Фурье

сигнал sN t принимает максимальное значение (исследование эффекта Гиббса), с;

-– максимальное значение абсолютной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса, В;

-% – максимальное значение относительной ошибки восстановления сигнала, выраженное в процентах, обусловленное наличием эффекта Гиббса;

-исследовать, как влияет изменение количества гармоник усеченного ря-

да Фурье на изменение параметров эффекта Гиббса – tm, и %.

Рассмотрим решение поставленной задачи в математическом пакете Math-

cad.

В приводимом ниже документе Mathcad приняты следующие обозначения:

13

Математические методы теории сигналов

-s(t) – функция, описывающая зависимость отдельного импульса, составляющего периодическую последовательность импульсов, от текущего времени в пределах одного периода T;

-sN(t) – периодическая функция, восстановленная (спектральный синтез) по результатам спектрального анализа (разложению в ряд Фурье) функции s(t) по N гармоникам;

-T – период, с;

-τ – длительность импульсов, с;

-A – высота импульса, В;

-N – число рассчитываемых гармоник спектра периодической последовательности импульсов (задача спектрального анализа);

-ak ,bk – коэффициент k-той косинусной и синусной составляющей спек-

тра Фурье периодического сигнала (формула (2.2)), k = 1, 2, 3, ... , N;

-Ak , k – амплитуда и начальная фаза k-той гармоники спектра Фурье

периодического сигнала (формула (2.7)), k = 1, 2, 3, ... , N;

-a0, A0 – удвоенное значение постоянной составляющей спектра Фурье

периодического сигнала (формулы (2.2) и (2.7));

-tm – момент времени, когда восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал sN(t) принимает максимальное значение (исследование эффекта Гиббса);

-– максимальное значение абсолютной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса;

-% – максимальное значение относительной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса;

Решение:

1. Запускаем математический пакет Mathcad. Согласно форме сигнала s(t) (таблица 2.3) и заданным параметрам вводим определение сигнала и строим его график в пределах одного периода (рисунок 2.4).

14

Математические методы теории сигналов

Рисунок 2.4 – Определение и график сигнала s t в пределах одного периода

2. Вычисляем основную круговую частоту периодического сигнала (частоту первой гармоники), рад/с, (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Вычисляем основную круговую частоту периодического сигнала (частоту первой гармоники)

Как видно из рисунка 2.5, частота первой гармоники составляет 6,283 рад/с. 3. Задаем количество гармоник усеченного ряда Фурье (N = 10), формируем ранжированную переменную k (k = 0, 1, 2, … , 10) и вычисляем коэффициент ak k-той косинусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала (ри-

сунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Вычисляем коэффициент k-той косинусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала

4. Вычисляем коэффициент bk k-той синусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала (рисунок 2.7).

15

Математические методы теории сигналов

Рисунок 2.7 – Вычисляем коэффициент k-той синусной составляющей спектра Фурье периодического сигнала

5. Отображаем в виде векторов рассчитанные значения коэффициентов ak и bk (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 – Рассчитанные значения коэффициентов ak и bk

6. Вычисляем постоянную составляющую a0 2 спектра Фурье периодического сигнала (рисунок 2.9).

Рисунок 2.9 – Вычисляем постоянную составляющую спектра Фурье периодического сигнала

Примечание – Строго говоря, можно было повторно и не вычислять постоянную составляющую спектра Фурье периодического сигнала, т. к. удвоенное значение этой составляющей совпадает со значением элемента вектора a (рисунок) при значении индекса k = 0.

16

Математические методы теории сигналов

7. Вычисляем и отображаем амплитуды Ak , В, и начальные фазы k , рад, гармоник спектра Фурье периодического сигнала (рисунок 2.10).

Примечания

1. На рисунке 2.10 функция atan2(x,y) возвращает угол, отсчитанный от оси x против хода часовой стрелки до направления на точку с координатами x и y. Результат выражается в радианной мере в диапазоне между –π и π, включая и –

π.

2. При вычислении начальных фаз k гармоник было использовано ограничение на абсолютную величину k-й синусной составляющей спектра Фурье пе-

риодического сигнала bk 10 3 т. к. без этого ограничения, например, для пятой гармоники имеем b5 1,128 10 6 , a5 1,411 10 7 и atan2(a5,b5)=-1,659

рад или –97,127 градусов, что является ошибкой.

Рисунок 2.10 – Амплитуды и начальные фазы гармоники спектра Фурье периодического сигнала

8. Строим амплитудную и фазовую спектральные диаграммы периодического сигнала (рисунки 2.11 и 2.12).

17

Математические методы теории сигналов

Рисунок 2.11 – Амплитудная спектральная диаграмма периодического сигнала

Рисунок 2.12 – Фазовая спектральная диаграмма периодического сигнала

Примечания

1.На рисунках 2.11 и 2.12 вдоль оси абсцисс отложена круговая частота k-й гармоники, рад/с;

2.На рисунке 2.11 вдоль оси ординат отложена амплитуда k-й гармоники, включая и удвоенное значение постоянной составляющей ( A0 ) спектра Фурье пе-

риодического сигнала в вольтах.

3. На рисунке 2.12 вдоль оси ординат отложена начальная фаза k-той гармоники спектра Фурье периодического сигнала в градусах.

9. Находим, восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал sN t , яв-

ляющийся приближенным изображением сигнала s t , и строим его временную диаграмму в пределах двух периодов и временную диаграмму исходного сигнала s t в пределах, заданного в пределах одного периода (рисунок 2.13).

18

Математические методы теории сигналов

Рисунок 2.13 – Восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал sN t и

исходный сигнал s t , заданный в пределах одного периода

Рисунок 2.14 – Определение расстояния и квадрата расстояния между сигналами

sN t и s t

11. Квадрат расстояния между сигналами sN t и s t за период колебаний T (рисунок 2.15), выраженный в процентной мере относительно квадрата нормы сигнала s t .

Рисунок 2.15 – Квадрата расстояния между сигналами sN t и s t , выраженный в процентной мере относительно квадрата нормы сигнала s t

Делаем вывод о том, что если ограничиться рассмотрением десяти гармоник спектра Фурье, то квадрат расстояния между сигналами sN t и s t составляет примерно 5% относительно квадрата нормы сигнала s t .

19

Математические методы теории сигналов

12. Находим среднюю мощность сигнала s(t) за период колебаний T

(рисунок 2.16).

Рисунок 2.16 – Средняя мощность сигнала s(t) за период колебаний T

13. Вычисляем сумму мощностей постоянной составляющей и гармоник спектра Фурье и проверяемвыполнение неравенства Парсеваля (рисунок 2.17).

Рисунок 2.17 – Сумма мощностей постоянной составляющей и десяти гармоник спектра Фурье

Сравнивая между собой Pcp (рисунок 2.16) и PΣ (рисунок 2.16) убеждаемся

втом, что Pcp > PΣ, т. е. неравенство Парсеваля выполняется.

14.Как видно из рисунка 2.13, последовательность прямоугольных импульсов плохо подходит для представления рядом Фурье – она содержит скачки, а сумма любого числа гармонических составляющих с любыми амплитудами всегда будет непрерывной (и более того – бесконечно дифференцируемой во всех точках) функцией. Поэтому поведение ряда Фурье в окрестностях разрывов представляет особый интерес. На временной диаграмме, представленной на рисунке 2.13, хорошо видно, что в окрестности точки разрыва суммирование десяти чле-

20