Метод координат Введение в векторную алгебру
.pdf
|
|
|
2 |
|
ay |
a |
z |
|
2 |
|
a |
x |
a |
z |
|
2 |
|
a |
x |
a |
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
. |
(2.30) |
|||||||||||||||||
a × |
b |
|
|
b |
|
b |
|
|
b |
b |
|
|
b |
b |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|
|
x |
z |
|
|
|
x |
y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрически формула (2.30) дает квадрат площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .
Длина векторного произведения в координатах
На основании формулы (2.30) для векторного произведения двух векторов получаем выражение его длины в координатах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ay |
az |
|
2 |
|
|
|
|
|
ax |
|
|
az |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ax |
ay |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a × |
b |
|
|
|
|
|
|
by |
bz |
|
|
|
|
bx |
|
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Векторное произведение можно применить при вычислении площа- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ди треугольника и параллелограмма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Площадь |
|
|
|
параллелограмма, |
|
|
построенного |
|
|
|
|
|
|
|
на |
векторах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = |
(ax , ay , az ), |
|
|
b = (bx ,by ,bz ) , |
|
|
|
|
обозначим через |
Sпар , а площадь тре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
угольника, построенного на этих векторах, – через Sтр . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sпар = |
|
|
|
b |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sтр |
= |
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a × b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Sпар |
= |
|
|
|
|
|
ay |
az |
|
2 |
+ |
|
|
ax |
az |
|
2 |
|
|
|
|
ax |
ay |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
by |
bz |
|
|
|
|
|
bx |
bz |
|
+ |
|
|
bx |
by |
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Sтр = |
1 |
|
|
|
|
|
ay |
az |
|
2 |
+ |
|
|
|
|
ax |
az |
|
|
2 |
|
|
|
|
ax |
ay |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
by |
bz |
|
|
|
|
|
|
|
bx |
bz |
|
|
+ |
|
|
|
|
bx |
by |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
П р и м е р . Найти площадь треугольника, построенного на векторах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = |
(0; 2; 4) |
, |
b |
( |
1; |
− |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е .
|
1 |
|
|
2 4 |
|
2 |
|
0 |
4 |
|
2 |
|
0 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Sтр = |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
= |
62 + (− 4)2 + (− 2)2 |
= 14 . |
||||||||||
|
2 |
|
|
− 1 1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
− 1 |
|
|
|
2 |
|
|
2.13. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение 2.40. Под смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a b и c понимается число, равное векторному
произведению первых двух векторов, скалярно умноженному на третий вектор.
31
|
Обозначается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
abc . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.31) |
||||
|
|
|
|
|
abc = |
(a |
´ b )× c . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим параллелепипед |
П |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 2.10), ребрами которого, исхо- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дящими из общей вершины |
O , яв- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляются векторы |
a , |
b |
и |
c . |
Тогда |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
|
|
представляет собой пло- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ´ b |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щадь параллелограмма, построенно- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го на векторах |
a |
и |
b , |
т.е. яв- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляется площадью основания парал- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лелепипеда. Высота |
|
H |
этого па- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раллелепипеда равна |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ± ccosϕ |
, |
|
|
|
|
(2.32) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|||||||
где |
S = |
и знак плюс соответствует острому углу |
|
ϕ = |
|
|
||||||||||||
a ´ b |
|
Ð (c,S ) , а |
||||||||||||||||
знак минус – тупому углу |
ϕ . |
В первом случае векторы |
a , b , c |
обра- |
||||||||||||||
зуют правую, а во втором – левую тройку. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
На основании определения скалярного произведения имеем |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.33) |
||
|
V |
|
(a |
´ b )× c = |
× c = |
S × прS c = ± SH = ± V , |
|
|
|
|
||||||||
где |
– объем параллелепипеда |
П , |
построенного |
на |
векторах |
|||||||||||||
a , |
b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
± V , |
|
|
|
|
|
|
(2.34) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
abc = |
|
|
|
|
|
|
т.е. смешанное произведение трех векторов равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти вектора образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку.
Свойства смешанного произведения. |
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Знак смешанного произведения |
зависит от ориентации |
||||||||
abc |
||||||||||
тройки |
a ,b ,c : |
|
|
|
|
|
– правая, |
|
<0, если |
|
abc >0, если тройка |
a,b |
,c |
abc |
|||||||
тройка |
a ,b ,c – левая. |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Смешанное произведение не меняет знак при циклической пере- |
|||||||||
становке его сомножителей: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
abc = |
bca = |
cab . |
|
|
|
|||
3. |
При перестановке двух соседних множителей смешанное произ- |
|||||||||
ведение меняет свой знак на противоположный, т.е. |
|
|
||||||||
|
|
bac = acb = cba = - abc . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Чтобы умножить векторное произведение на число |
λ , |
доста- |
|||||||
точно любой сомножитель умножить на λ : |
|
|
|
|
32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ(abc) = ( |
λ a) bc = |
a |
(λb) c |
= ab(λc) . |
||||
5. Дистрибутивные законы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(a + |
a¢)bc = |
abc + |
a¢bc |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
a(b |
+ b¢)c = |
abc + |
ab¢c |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab(c + |
c¢) = |
abc + |
abc¢ . |
|
||||
ТЕОРЕМА 2.15 (необходимое и достаточное условие компланарно- |
||||||||
сти векторов). Для того чтобы векторы |
|
a , b |
и c |
были компланарны, |
необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение этих векторов
равнялось нулю: |
|
|
|
(2.35) |
|
|
|||
|
abc = 0 |
|
||
(объем параллелепипеда равен нулю). |
|
|
|
|
Найдем выражение смешанного произведения векторов через коор- |
||||
динаты векторов-сомножителей: |
|
|
|
|
|
axi + |
ay j + |
az k , |
|
a = |
|
|||
b = bxi + by j + |
bz k , |
(2.36) |
||
|
cxi + |
cy j + |
cz k . |
|
c = |
|
Используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений векторов, получим
|
|
b )× c = |
|
|
|
by |
bz |
|
- |
ay |
|
bx |
bz |
|
+ az |
|
bx |
by |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
abc = |
(a ´ |
a × (b ´ c) = (b ´ |
c)× a = ax |
cy |
cz |
|
|
cx |
cz |
|
|
cx |
cy |
|
|||||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.37) |
|||
|
|
|
abc = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Смешанное произведение векторов в координатах равно определителю третьего порядка, строками которого являются координаты перемножаемых векторов.
Смешанное произведение векторов применяется для определения объема параллелепипедов и тетраэдров, построенных на векторах a, b ,c .
Объемы соответственно равны: |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Vпар = |
|
|
|
|
, |
Vтетр = |
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||||||
|
abc |
|
6 |
|
abc |
|
|||||
П р и м е р ы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Компланарны ли векторы a = (1; 0; 3) , b = (3; 5; 7) , c = (1; 2;− 1) ?
Р е ш е н и е .
Они не компланарны, поскольку смешанное произведение
33
|
|
1 |
0 |
3 |
|
= - 16 ¹ 0 . |
|
|
|||||
|
3 |
5 |
7 |
|
||
abc = |
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
- 1 |
|
|
2. Определить ориентацию тройки |
a = (1; 0; 3) , |
b = |
(3; 5; 7) , |
||
c = (1; 2; − 1) . |
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
– левая, так как смешанное произведение |
|
|
|
Тройка a,b,c |
abc = - 16 |
<0.
3. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a = (1; 0; 3) , b = (3; 5; 7) , c = (1; 2; − 1) .
Р е ш е н и е . Vпар = |
|
= |
|
- 16 |
|
= 16 . |
abc |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы к главе 2
1. Что называется ортом вектора a ?
2.Какие векторы называются коллинеарными?
3.Какие векторы называются компланарными?
4.Какие векторы называются равными?
5. |
Что называется проекцией вектора |
a |
на ось l ? |
6. |
Основные свойства проекции на ось |
l . |
|
7. |
Что называется суммой векторов |
a |
и b ? |
8. |
Что называется разностью векторов a |
и |
b ? |
9. |
Что называется произведением вектора |
a |
на число l ¹ 0 ? |
10.Сформулировать признак коллинеарности векторов.
11.Сформулировать признак компланарности векторов.
12. Что называется скалярным произведением векторов a и b ? 13. Свойства скалярного произведения векторов a и b .
14.Какая тройка векторов называется правой?
15.Что называется векторным произведением неколлинеарных векторов
|
a |
и |
b ? |
|
|
a |
|
|
|
16. |
Свойства векторного произведения векторов |
и |
b . |
|
|||||
17. |
Что называется смешанным произведением векторов |
a , |
b и c ? |
||||||
18. |
Свойства смешанного произведения векторов a , |
b |
и |
c . |
|||||
19. |
Какова геометрическая интерпретация смешанного произведения век- |
||||||||
|
торов |
a , b |
и c ? |
|
|
|
|
|
|
20. |
Даны точки |
A(x1; y1; z1 ) и B(x2 ; y2 ; z2 ) . |
Написать координаты точ- |
||||||
|
ки M (x; y; z) , |
делящей отрезок AB |
в отношении |
l . |
|
||||
21. |
Даны точки |
A(x1; y1; z1 ) и B(x2 ; y2 ; z2 ) . |
Написать координаты точ- |
||||||
|
ки |
M (x; y; z) , |
делящей отрезок AB |
пополам. |
|
|
|
34
22. Что называют координатами вектора a в декартовой системе координат?
23.Определить координаты вектора через координаты начальной и конечной точки вектора.
24. |
Определить длину вектора a заданного своими координатами. |
25. |
Как найти направляющие косинусы вектора a ? |
26.Признак коллинеарности векторов a и b , заданных своими координатами.
27.Вычислить скалярное произведение векторов a и b , заданных своими координатами.
28. Вычислить векторное произведение векторов a и b , заданных своими координатами.
29.Вычислить смешанное произведение векторов a , b и c , заданных своими координатами.
30.Использование векторной алгебры при определении площадей параллелограмма, треугольника и объема параллелепипеда.
35
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
Найти |
|
|
полярные |
координаты |
точек: |
|
N(2 |
|
|
|
|
M (− 7;0) , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3;2), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
K(− |
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2;− |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
|
Найти |
|
|
прямоугольные |
координаты |
точек |
A(2; |
π |
2 |
), |
|
B(3;3π |
4 |
), |
|||||||||||||||||||||
|
(2; |
5π |
|
|
), заданных своими полярными координатами. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
C |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Записать следующие уравнения в полярных координатах: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) |
x2 |
− |
|
|
y2 |
= |
a2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
б) |
y = |
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
в) |
xcosα |
+ |
ysin α − |
p = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
Записать следующие уравнения в прямоугольных координатах: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) ρ cosθ = a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
б) ρ |
= |
|
2asin θ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
в) ρ |
= |
|
a(1 + |
cosθ ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Сделан параллельный перенос осей координат, причем новое начало |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
расположено в точке |
|
O1 (3;− 4) . |
Известны старые координаты точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M (7;8). Определить новые координаты этой же точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6. |
Система координат повернута на угол |
α |
= |
π 6 . |
Определить новые |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
координаты точки |
M ( |
|
|
;3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7. |
Отрезок AB , где A(7;1) , B(4;5) |
разделен на три равные части. Найти |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
координаты точек деления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8. |
В треугольнике |
ABC |
|
дано: |
AB |
, |
AC = |
b , |
точка |
M − |
середина |
|||||||||||||||||||||||||
|
= a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
стороны |
|
|
|
BC . |
Выразить вектор |
AM |
|
через векторы |
|
a и |
b . |
|
|
||||||||||||||||||||||
9. |
В параллелограмме |
ABCD : |
K |
и |
|
M − |
середины сторон |
BC |
|
и |
||||||||||||||||||||||||||
|
CD , |
|
AK = |
|
, |
AM = |
b . |
Выразить векторы |
BD |
и |
|
AD |
через век- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
торы |
a |
|
|
и |
b . |
|
|
M составляет с осью |
OX угол |
|
|
|
, с осью OY – |
||||||||||||||||||||||
10.Радиус-вектор точки |
45° |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
угол |
60° |
. Его длина |
|
= 6 . Найти координаты точки M, зная, что тре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
тья координата отрицательная. |
|
|
|
|
|
px = |
3, |
py |
|
− 9, а его |
|||||||||||||||||||||||||
11.Найти вектор |
|
p , |
зная, что две его координаты |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
длина |
|
|
p |
|
= 12 . |
|
a = |
(6;− 2;− 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
12.Найти орт вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
13.Даны три вектора |
a = |
(1;3) , |
b = (2;− 1) |
и |
c = (4;1) . |
Найти числа |
α |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
и |
|
β |
|
|
|
такие, что |
|
|
β b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
α a + |
+ c = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
14.Проверить, что векторы |
a = |
(− 5;− 1) |
и |
b = |
(− 1;3) образуют базис на |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
плоскости, Найти координаты векторов |
c = |
(− 1;2) |
и |
d = |
(2;− 6) |
|
в |
||||||||||||||||||||||||||||
|
этом базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
15.Показать, что тройка векторов e1 = (1;0;0) , e2 = (1;1;0) и e3 = (1;1;1) образуют базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить
координаты вектора |
|
|
|
|
- 2i - |
k |
в базисе |
e1,e2 ,e3 |
и написать соот- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ветствующее разложение по базису. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
16.Разложить вектор |
c = (9;4) |
по векторам |
|
|
b , |
если a = (1;2) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b = 2i - |
|
3 j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(1;− 6;3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17.Зная одну из вершин треугольника |
|
|
и векторы, совпадающие |
||||||||||||||||||||||||||||||||
с двумя сторонами |
AB = |
3i + |
5k |
|
и |
|
|
|
|
|
k , |
найти осталь- |
|||||||||||||||||||||||
|
BC = 4i + 2 j |
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ные вершины и вектор |
CA . |
|
|
|
A(3;− 1;2), |
|
|
B(1;2;− 1) , |
C(− 1;1;− 3), |
||||||||||||||||||||||||||
18.Проверить, |
что |
четыре |
точки |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
D(3;− 5;3) |
|
служат вершинами трапеции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
19.Найти расстояние между концами векторов |
a = (2;1;8) , и |
b = (- 2;2;3) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
если векторы отложены от начала координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
20.Определить, |
при каких |
значениях |
|
α |
|
|
|
и |
|
β |
|
|
векторы |
||||||||||||||||||||||
|
- 2i |
+ 3 j + |
b k |
и |
|
|
b = a i - |
6 j + |
|
2k |
коллинеарны. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
21.Даны векторы |
AB |
= |
|
|
|
+ |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5i |
2 j |
|
|
BC = 2i - |
|
4 j , образующие стороны |
||||||||||||||||||||||||||||
треугольника |
ABC . |
|
Найти длину медианы |
|
AM |
|
треугольника. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
22.Является ли треугольник с вершинами в точках |
|
A(5;− 4) , B(3;2) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
C(2;− 5) |
|
прямоугольным? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
23.Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам |
|
2i + |
j + |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
a = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
и b = (1;1;2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
24.Найти вектор |
|
d , |
|
|
зная, что |
|
|
|
d |
^ |
|
b |
и |
d |
|
- 6 , |
где |
||||||||||||||||||
|
|
|
d ^ a , |
|
× c = |
||||||||||||||||||||||||||||||
a = (2;3;− 1) , b = (1;- |
2;3) |
|
|
|
|
j + k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, c = 2i - |
|
m × a = |
4 |
, |
m × b = 35 , где |
||||||||||||||||||||||||||||||
25.Найти вектор |
|
m , |
|
|
зная, что |
|
|
m |
c , |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (3;− 2;4) , b = (5;1;6) и c = (− 3;0;2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
26.Даны векторы |
|
|
|
|
|
j + 3k , |
b = |
i - |
|
|
|
|
|
|
|
3i + 2 j - 4k . Найти |
|||||||||||||||||||
a = 2i - |
|
3 j + 3k , c = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
вектор |
|
x , |
если |
x ; |
|
|
x × b = - 11; |
|
x × c = |
20 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27.Являются ли векторы |
|
|
a = (1;2;− 5), |
b = (4;- 1;3), |
c = (2;4;− 10) колли- |
||||||||||||||||||||||||||||||
неарными? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 3p + q |
||||||
28.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
= |
4; |
|
q |
|
= 1; |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
и |
b = p - |
2q , |
где |
|
|
|
|
|
и |
( p,q) = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
29.Вычислить |
площадь |
|
|
параллелограмма, |
построенного |
|
на |
векторах |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
k |
и |
AC |
= |
|
|
|
|
k |
как на сторонах. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
AB = 8i |
|
4 j + |
2i - |
2 j + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
30.Найти площадь треугольника |
|
ABC , |
в котором |
|
A(1;2;0) , B(3;2;1) , |
||||||||||||||||||||||||||||||
C(− 2;1;2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
31.В треугольнике с вершинами |
A(1;− 1;2) , B(5;− 6;2) ; C(1;3;− 1) |
найти |
|||||||||||
длину высоты, опущенной из вершины |
B |
на сторону |
AC . |
|
|
||||||||
32.Зная две стороны |
AB = (3;− 2;− 6) , BC = (− 2;4;4) |
треугольника |
ABC, |
||||||||||
вычислить длину высоты |
AD. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
33.Являются ли векторы |
|
|
|
b = 3i − |
|
i − |
j + k |
||||||
a = 7i − 3 j + 2k , |
7 j + 8k , c = |
||||||||||||
компланарными? |
|
|
|
|
|
b = (0;1;0) , c = (3;0;1) |
|
|
|||||
34.При каком значении |
λ |
i + |
j + λ k , |
компла- |
|||||||||
a = |
|||||||||||||
нарны? |
|
A(5;7;− 2) , |
B(3;1;− 1) ; |
C(9;4;− 4) ; |
D(1;5;0) |
|
|||||||
35.Показать, что точки |
лежат |
||||||||||||
в одной плоскости. |
|
|
|
|
j , |
|
|
|
|
|
|||
36.Какую тройку образуют векторы |
b = i |
|
|
|
|||||||||
a = i + |
− j , c = k ? |
|
|
||||||||||
37.Дан |
параллелепипед |
|
ABCDA1B1C1D1 , |
построенный |
на |
векторах |
|||||||
AB = |
(4;3;0) , AD = |
(2;1;2) , AA1 = |
(− 3;− 2;5) ,. Найти: |
|
|
|
|||||||
a) площадь грани ABCD ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) угол между ребрами AB и диагональю BD1 ; |
|
|
|
||||||||||
в) объем параллелепипеда; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) длину высоты, проведенной из вершины A1 . |
|
|
|
||||||||||
38.Дана |
пирамида |
с вершинами |
A1 (1;2;3) , |
A2 (− 2;4;1) , |
A3 (7;6;3) , |
||||||||
A4 (4;− 3;− 1) . Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a) длину ребра |
A1 A2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) площадь грани |
A1 A2 A3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) объем пирамиды; |
|
|
|
A1 A2 A3 . |
|
|
|
||||||
г) длину высоты, опущенной на грань |
|
|
|
38
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
p |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
11p |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1. |
|
|
|
Nç |
|
4; |
|
|
÷ |
, |
|
M (7;π ) |
, |
|
|
|
Kç |
2 |
|
2; |
|
|
|
|
|
÷ |
; |
|
|
2. |
A(0;2) , |
|
|
|
ç |
- |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Bç |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
÷ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
ρ cos(α |
− θ ) = |
|
|
p ; |
4. а) x = a ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
C(- 2;- |
|
|
|
|
2); |
|
3. а) r 2 cos2q |
= |
|
a2 ; |
|
б) |
|
|
|
q = |
; |
|
|
в) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) x2 |
|
+ |
|
y2 |
|
= |
|
2ay ; |
в) |
x2 |
|
|
+ y2 |
= |
|
a(x + |
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
|
y2 |
); |
|
5. |
M (4;12) ; |
|
|
|
|
|
6. M (1; |
|
|
|
|
); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. M |
æ 18 |
; |
7 ö |
, |
|
|
|
æ |
|
|
11 |
ö |
; |
|
|
|
8. |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
; 9. |
|
BD = |
|
2b - |
|
|
, |
|
AD = |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
3 |
|
3 |
|
÷ |
|
|
Nç 5; |
3 |
|
÷ |
|
|
|
|
2 |
a - |
2 |
|
|
b |
|
|
2a |
|
|
|
|
3 |
b - |
3 |
|
a ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
|
æ |
|
;- |
|
;- |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|||||||||||||||||||
10. M (3 |
|
|
2;3;- 3); |
11. |
|
± |
|
|
3 |
6 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
13. |
|
a |
= |
- |
|
, b |
= - |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12. a |
|
|
ç |
7 |
|
|
7 |
|
7 |
÷ |
|
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
14. c |
|
= |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
÷ |
, |
d = |
(0;- 2) ; 15. a = (− 2;2;− 1) |
; 16. |
c = |
5a + |
|
2b ; |
17. |
|
B(4;− 6;8) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
16 |
|
16 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
(- |
7;- 2;- 4) ; 19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, β |
|
|
− 1; 22. Да (угол A-пря- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, C(8;− 4;7) , |
|
|
CA = |
|
|
|
|
; 20. |
|
α |
|
|
= |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
42 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
11 |
|
|
11 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. c = |
ç |
|
|
|
|
|
|
;- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||
мой); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. 6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
11 |
|
|
11 |
|
|
11 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
c = ç |
|
11 |
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
÷ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
24. d = |
(- |
|
3;3;3); |
25. |
|
m = (2;7;3) |
; 26. |
|
|
æ |
17 |
; |
31 |
;- |
39 |
ö |
; |
|
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x = |
ç |
8 |
16 |
16 |
÷ |
|
|
14 |
|
|
2 |
; |
|
|
18 |
|
|
2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
30. |
|
|
6 |
|
|
; 31. 5 ; 32. |
|
|
5 |
|
|
|
33. Да; |
34. |
|
37. а) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
3 ; |
|
26 , б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, в) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
26 |
|
|
; 38. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, в) 30 , г) |
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
12,г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 , б) 14 |
|
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
Список рекомендованной литературы
Баранова Е.С., Васильева Н.В., Федотов В.П. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты: Учебное пособие. СПб.: Питер, 2009.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. В 2 ч.: Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для вузов. М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003.
Демидович В.П., Кудрявцев В.А., Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие. М.: Астрель, 2005.
Лунгу К.Н.,Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 3-е изд., испр. и доп. М.: Айрис-пресс, 2004.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие. М.: Физ.- мат. лит., 2006.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Дмитрий Письменный. – 8-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009.
Щипачев В.С. Высшая математика: Учебник для немат. спец. вузов / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. М.: Высшая школа, 1985.
40