харламов тер-вер
.pdfЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
19 |
Вероятность попадания в произвольное борелевское множество:
|
2 |
g = |
X |
Pf |
2 B |
pi (в дискретном случае); |
zi2B2
ZZ
f 2 2g
P B = p( 1; 2)(x1; x2) dx1 dx2 (в абсолютно непрерывном случае):
B2
Двумерный дискретный вектор можно задать с помощью таблицы распределения. Для любого числового вектора z
|
|
pij = 1. |
|
1 2 |
|
1 |
2 |
|||
ïðè÷¼ì pij > 0 è |
|
|
|
|
|
|||||
Pf = zg = P ( 1 |
; 2) = (xi ; xj ) = Pf 1 = xi ; 2 = xj g = pij; |
|||||||||
|
P |
|
|
|
Таблица распределения имеет вид |
|||||
|
i;j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x12 |
x22 |
: : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x11 |
|
p11 |
p12 |
: : : |
|
|
|
|
|
|
x22 |
|
p21 |
p22 |
: : : |
|
|
|
|
|
|
: : : |
: : : |
: : : |
... |
|
|
По распределению случайного вектора однозначно определяются распределения его координат:
X X pi = Pf 1 = x1i g = pij; p j = Pf 2 = x2j g = pij:
j i
Доказательство.
Pf 1 = xi1g = P(f 1 = xi1g + ) = P f 1 = xi1g + [j |
f 2 = xj2g! = |
||
= Xj |
Pf 1 = xi1; 2 = xj2g = Xj |
pij: |
17. Независимость случайных величин
Определение. Случайные величины 1, 2 называются независи- мыми, если для любых множеств B1, B2 независимы случайные события
A1 = f! : 1(!) 2 B1g; A2 = f! : 2(!) 2 B2g:
При n > 2 независимость понимается в совокупности.
20 |
ХАРЛАМОВ А. В. |
Теорема. Величины 1, 2 независимы тогда и только тогда, когда функция их совместного распределения выражается через произведение функций распределения случайных величин 1, 2:
Pf 1 2 B1; 2 2 B2g = Pf 1 2 B1g Pf 2 2 B2g;
F (x |
; x |
) = F |
1 |
(x |
|
)F |
|
(x |
|
); |
||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|||||
p (x |
; x |
) = p |
1 |
(x |
)p |
2 |
(x |
); |
||||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
Pf 1 = x1i ; 2 = x2j g = Pf 1 = x1i g Pf 2 = x2j g:
18. Функции от случайных величин
Определение. Случайные величины 1, 2 заданы на одном и том же вероятностном пространстве ( ; A; P), функция f(x1; x2) измерима. Функцией от случайных величин называется функция вида
= f( 1; 2):
Теорема. Если случайные величины 1, 2 независимы, а функ- ция f измерима, то случайные величины 1 = f( 1), 2 = f( 2) независимы.
Доказательство. Пусть B1 è B2 борелевские множества.
Pf 1 2 B1; 2 2 B2g = Pff( 1) 2 B1; f( 2) 2 B2g =
=Pf 1 2 f 1(B1); 2 2 f 1(B2)g = Pf 1 2 f 1(B1)g Pf 2 2 f 1(B2)g =
=Pff( 1) 2 B1g Pff( 2) 2 B2g = Pf 1 2 B1g Pf 2 2 B2g:
Распределение функции от случайной величины.
1.абсолютно непрерывна, f измеримая монотонная функция, следовательно, = f( ) случайная величина. Е¼ функ-
ция распределения
F (x) = Pf < xg = Pff( ) < xg =
= |
(Pf > f 1 |
(x)g |
= 1 |
|
|
F (f 1(x)) ; f % |
: |
||
|
P < f 1 |
(x) = F |
(f 1 |
(x)) ; |
f |
; |
|||
|
f |
g |
|
|
|
|
& |
|
Плотность распределения
p (x) = ( |
|
p |
f 1 |
(x) |
|
|
p |
f 1 |
(x) |
|
|
|
|
|
f 1(x) |
0 ;f |
%) = p |
f 1 |
(x) |
|
f 1 |
(x) |
|
0 |
|
: |
f 1(x) 0 ;f |
|
|
|
||||||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Величина дискретная, заданная рядом распределения; функция f монотонна. Если = f( ), yi = f(xi), pi = Pf = xig,
òî
qi = Pf = yig = Pff( ) = yjg = P |
0 |
[i |
|
f = xig1 |
= |
xi : fX( i |
pi: |
|
@ i |
j |
A |
|
i |
||
|
x |
: f(x )=y |
|
|
|
x )=y |
|
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
21 |
Распределение суммы случайных величин. 1, 2 абсолютно непре- рывны и независимы, = 1 + 2. Функция распределения величи- ны
F (x) = Pf 1 + 2 < xg =x1+ZZx2<x p( 1; 2)(x1; x2) dx1 dx2 = |
|
x1) dt1 dx1 = |
||||||
= |
+10 x x1p( 1; 2)(x1; x2) dx21 dx1 = |
+10 x |
p( 1; 2)(x1; t |
|
||||
|
Z |
Z |
A |
Z |
Z |
|
A |
|
|
x |
@ + |
x@ |
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
= Z |
0Z1p( 1; 2) |
(x1; t x1) dx11 dt = Z |
p (t) dt: |
|
|
|||
|
1 |
@1 |
A |
1 |
|
|
|
|
Плотность распределения
Z |
Z |
p (t) = p (u; t u) du = |
p 1 (u)p 2 (t u) du: |
R |
R |
Аналогично
Z |
Z |
p (t) = p (t v; v) dv = |
p 1 (t v)p 2 (v) dv: |
R |
R |
Если дискретные величины 1, 2 независимы, Pf 1 |
= xig = pi, |
|||||||||||||||||||||||||
Pf 2 = yig = qi, то для их суммы = 1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pf = zg = Pf 1 + 2 = zg = Pf 1 = xg Pf 2 = z xg: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Pf 1 = kg = |
|
1 |
e |
; Pf 2 = kg |
= |
|
|
|
2 |
e |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
k! |
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
òî äëÿ = 1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
i |
|
|
|
|
|
|
|
k i |
|
|
|||||||
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
Pf = kg = Pf 1 = ig Pf 2 = k ig |
= |
1 |
e |
|
|
|
2 |
|
e |
= |
||||||||||||||||
i! |
|
|
|
(k |
|
|
i)! |
|
||||||||||||||||||
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 1 2 |
|
k |
|
|
|
k! |
|
|
|
|
e ( 1+ 2) |
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
1i 2k i = |
( 1 + 2)k: |
|||||||||||||||||||
|
Xi |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
k! |
|
i)!i! |
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
=0 |
(k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 ХАРЛАМОВ А. В.
Åñëè 1 è 2 имеют стандартное нормальное распределение, то для = 1 + 2
p (x) = Z p 1 (t)p 2 (x t) dt = Z |
|
p2 e |
|
2 |
|
p2 e |
|
2 |
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
(x t)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
1 |
Z exp |
|
t2 |
|
x2 + 2tx |
|
t2 |
dt = |
|
|
1 |
|
Z exp t2 + tx |
x2 |
dt = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
0 |
|
|
|
|
t x2 |
|
|
|
|
1exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
1 |
|
exp |
|
|
|
t |
|
|
x |
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
dt = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
2 dt = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
Z |
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 p2 |
|
! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
1 |
|
|
exp |
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
2 |
! |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
exp |
0 |
|
|
|
t x2 |
2 |
|
1 dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
p |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
p |
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
!; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
p |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
что соответствует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормальному распределению с параметрами |
0; |
|
2 . |
|
|
|
|
|
Для произвольных независимых случайных величин 1 è 2, èìå- ющих нормальные распределения с параметрами (a1; 1) è (a2; 2) соответственно, их сóììà èмеет нормальное распределение с пара-
p
метрами a1 + a2; 12 + 22 .
19. Условное распределение
Если случайные величины 1 è 2 абсолютно непрерывны, то условная плотность распределения величины 1 при условии, что величина 2 принимает значение x2,
p (x1; x2)
p 1 (x1jx2) = p 2 (x2) :
Если случайные величины 1 è 2 дискретны, то условное распределение величины 1 при условии, что величина 2 принимает значение x2,
Pf = x1j 2 = x2g = Pf 1 = x1; 2 = x2g:
Pf 2 = x2g
У независимых случайных величин условное распределение совпадает с безусловным.
Пусть случайный вектор с независимыми координатами имеет стандартное нормальное совместное распределение
p (x1; x2) = |
2 p1 |
2 |
exp |
2 |
1 2 (x12 |
2 x1x2 + x22) : |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|||||||||||
Распределение первой координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
p 1 (x1) = Z |
|
2 |
1 |
2 exp 2(1 2) (x12 2 x1x2 + x22) dx2 = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
R |
|
|
|
p |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
exp |
|
|
|
(x22 2 x1x2 + ( x1)2 ( x1)2 + x12) dx2 = |
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2(1 2) |
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
exp |
|
1 |
|
|
|
|
2) dx2 |
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
Z |
exp |
|
|
|
|
(x2 x1)2 |
|
|
|
|
x12 |
(1 |
= |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2(1 |
|
2) |
2(1 |
|
2) |
||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
p |
|
e |
|
Z |
|
|
|
|
|
exp |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
2 |
p2 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
1 |
|
x1 |
|
1 |
|
|
@ |
|
1 |
x |
|
x1 |
||||||
|
|
|
|
|
R |
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
Аналогично |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|||
e |
x2 |
|
|||
p 2 (x2) = |
p |
|
2 |
: |
|
2 |
|
! |
1 dx2 = p1 |
e x21 |
: |
||
2 |
2 |
2 |
|
||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условное распределение координат:
p 1 (x1 x2) = p (x1; x2) = |
2 p1 2 |
|
|
2(1 |
) |
x2 |
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
exp |
|
1 |
|
|
|
(x12 |
|
2 x1x2 |
+ x22) |
|
|
|||||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
p 2 (x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= p2 |
|
|
1 2 |
exp |
2(1 2) x12 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 x1x2 + x22 x22(1 2) = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
p |
2 |
p |
1 |
|
2 |
exp |
2(1 |
1 |
|
2)(x12 2 x1x2 + x22 2) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
exp 0 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
p2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
1 |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
x |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
что соответствует нормальному распределению с параметрами x2 ; p |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2 |
20. Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание.
Определение. Математическим ожиданием случайной величи- ны называется число
X
M = pkxk
k
в дискретном случае и
Z
M = xp (x) dx
R
24 |
ХАРЛАМОВ А. В. |
в абсолютно непрерывном случае при условии, что соответствующий ряд или интеграл сходится. Иначе говорят, что математиче- ского ожидания не существует.
Для распределения Пуассона (P = k |
g |
= |
|
|
k |
e ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M = k=0 k |
k! e = e k=1 |
|
(k 1)! = : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для равномерного распределения на отрезке [a; b] |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
M = Z |
|
|
a |
x 0 dx + Za |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|||||||||
xp (x) dx = Z |
|
b a dx + Z |
x 0 dx = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
R |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
a + b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(b |
|
a) |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для нормального распределения с параметрами |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
p2 |
Z |
2 |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a; ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 Z |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
M = |
1 |
|
x exp |
1 |
|
x a |
|
2 |
dx = |
1 |
|
|
|
|
|
( t + a) exp |
t2 |
dt = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
= |
p |
|
Z |
t exp |
t |
|
|
2 |
|||||||
2 |
|||||||
|
|
|
R |
|
|
|
Распределение Коши имеет плотность
1
p (x) = (1 + x2):
Интеграл
Z
x
(1 + x2) dx
R
|
a |
|
2 |
|
|||
dt + |
p |
|
Z |
exp |
t |
dt = a: |
|
2 |
|||||||
2 |
|||||||
|
|
|
R |
|
|
|
расходится, поэтому математического ожидания у величины не существует.
Определение. Если случайная величина, функция f измерима, то математическое ожидание случайной величины = f( )
X
M = f(xk)pk
k
в дискретном случае и
Z
M = f(x)p (x) dx
R
в абсолютно непрерывном случае.
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
25 |
Докажем корректность данного определения. В дискретном слу- чае:
X X X
M = ykqk = yk Pf = ykg = yk Pff( ) = ykg =
k k k
01
|
X |
@i: fX( i k |
A |
X |
|
|
X |
|
||
= |
yk |
|
Pf = xig |
|
= |
f(xi) Pf = xig = |
f(xi)pi: |
|
||
|
k |
x )=y |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
В абсолютно непрерывном случае: |
|
|
0 f(x) dx = Z |
|
||||||
M = Z |
p (f(x))f(x) dx = Z |
p |
f 1(f(x)) |
|
f 1(f(x)) |
p (x)f(x) dx: |
||||
|
R |
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
Определение. Математическое ожидание случайного вектора |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( 1; 2) |
|
|
|
|
def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = (M 1; M 2): |
|
|
|
|
|||
Лемма. Задан случайный вектор |
|
; 2) и измеримая функ- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= ( 1 |
|
öèÿ f(x1; x2). Математическое ожидание случайной величины = f( 1; 2) в дискретном случае
X
M = f(x1; x2) Pf 1 = x1; 2 = x2g;
(x1;x2)
в абсолютно непрерывном
ZZ
M = f(x1; x2)p (x1; x2) dx1 dx2:
R2
Свойства математического ожидания:
1.Если величина постоянна, то M = .
2.M(C ) = C M .
n n
PP
3. M( 1 + 2) = M 1 + M 2; M i |
|
= M i. |
|||||
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
Доказательство. Докажем для дискретного случая: |
|||||||
|
|
(xXi j |
(xi + xj) Pf 1 = x1; 2 = x2g = |
|
|||
M( 1 + 2) = |
|
|
|||||
X |
|
|
;x ) |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
= xi Pf 1 = xi; 2 = xjg + xj Pf 1 = xi; 2 = xjg = |
|||||||
i;j |
|
|
|
i;j |
|
|
|
= Xi |
xi |
Xj |
Pf 1 = xi; 2 = xjg! + Xj |
xj |
Xi |
Pf 1 = xi; 2 = xjg! = |
XX
=xi Pf 1 = xig + xj Pf 2 = xjg = M 1 + M 2:
i j
4. Åñëè 1, 2 независимы, то M( 1 2) = M 1 M 2.
26 ХАРЛАМОВ А. В.
Доказательство.
M( 1 2) = Xi |
Xj |
xixj Pf 1 = xi; 2 = xjg = Xi |
Xj |
xixj Pf 1 = xig Pf 2 = xjg = |
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
= xi Pf 1 = xig |
|
xj Pf 2 = xjg = M 1 M 2: |
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
В общем случае
M |
n |
i! = |
n |
M i: |
|
Y |
|
Y |
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
5.Математическое ожидание неотрицательной случайной вели- чины неотрицательно.
6.Åñëè Pf 1 > 2g = 1, Pf 1 < 2g = 0, òî M 1 > M 2.
Доказательство.
X
M 1 M 2 = M( 1 2) = (xi xj) Pf 1 = xi; 2 = xjg > 0:
i;j
7.j M j 6 M j j.
Доказательство.
XX
j M j = |
xipi |
6 jxijjpij = M j j: |
|
|
|
i i
Теперь можно вычислить математическое ожидание биномиального распределения. Если
Pf = kg = Cnk pk (1 p)n k (k = 0; : : : ; n);
то величину можно представить в виде
n
X
= i;
i=1
ãäå i независимы, Pf i = 0g = 1 p, Pf i = 1g = p. Очевидно, что M i = p. Тогда
n ! n
XX
M = M |
i = M i = np: |
i=1 |
i=1 |
Определение. Модой случайной величины называется е¼ наивероятнейшее значение.
Определение. Медианой случайной величины называется число mâ такое, что F (mâ) = 12 .
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
27 |
Мода и медиана называются структурными средними.
Ковариация.
Определение. Ковариацией случайных величин 1 è 2 называет-
ся число |
def |
M 1)( 2 M 2) : |
|
||
|
cov( 1; 2) = M ( 1 |
Центрированием случайной величины назов¼м величину
0 = M :
Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю: M 0 = M( M ) = M M = 0.
Таким образом, ковариацию можно записать в виде cov( 1; 2) = M( 10 20):
Свойства ковариации:
1.cov( 1; 2) = M( 1 2) M 1 M 2.
2.Åñëè 1 è 2 независимы, то cov( 1; 2) = 0. Обратное неверно.
Определение. Случайные величины 1 è 2 называются некорре- лированными, если cov( 1; 2) = 0.
Ковариационной матрицей случайного вектора называется матрица вида
0c11 : : : c1n1
C = @ . ... . A; cn1 : : : cnn
ãäå cij = cov( i; j).
= ( 1; : : : ; n)
Дисперсия.
Определение. Дисперсией случайной величины называется чис-
ëî |
def |
|
|
|
D = M( M )2: |
В дискретном случае
X
D = (xi M )2 Pf = xig;
i
в непрерывном
Z
D = (x M )2p (x) dx:
R
Дисперсию можно рассматривать как математическое ожидание функции от случайной величины.
Свойства дисперсии:
1. |
Для любой случайной величины D > 0. |
2. |
Для любой константы C D C = 0. |
28 |
ХАРЛАМОВ А. В. |
3.D(C) = C2 D .
Доказательство.
D(C) = M C M(C) 2 = M C2( M ) = C2 D :
4. Дисперсия суммы двух случайных величин
D( 1 + 2) = D 1 + D 2 + 2 cov( 1; 2);
в общем случае
D |
i |
i! = |
i |
D i + |
cov( i; j): |
|
X |
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
i6=j |
Доказательство.
2 2
D( 1 + 2) = M 1 + 2 M( 1 + 2) = M ( 1 M 1) + ( 2 M 2) =
=M ( 1 M 1)2 + ( 2 M 2)2 + 2( 1 M 1)( 2 M 2) =
=D 1 + D 2 + 2 cov( 1; 2):
5.D( 1 2) = D 1 + D 2 2 cov( 1; 2).
6.D( + C) = D .
7.D = M 2 (M )2.
Доказательство.
D = cov(; ) = M 2 (M )2:
Дисперсия биномиального распределения. Дано:
Pf = kg = Cnk pk (1 p)n k:
Представим в виде
n |
|
|
Xi |
= 0g = 1 |
p; Pf = 1g = p: |
= i; Pf i |
||
=1 |
|
|
Для каждой величины i |
|
|
M i = p; D i = p(1 p):
Тогда
n ! n
XX
D = D |
i = D i = np(1 p): |
i=1 |
i=1 |
Определение. Средним квадратичным отклонением случайной величины называется число
def p
= D :