МАТ_ ЛОГИКА / МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА_ЛК7+ЛК8_27_02_2012+05_03_2012_Теория предикатов первого порядка

"x(P*(x)ÞQ*(x))| = F. Из последнего следует, что существует такоех = а, что

|P*(a)ÞQ*(a)| = F, откуда |P*(a)| = T, |Q*(a)| = F. Тогда |"xQ*(x)| = F, и, возможно, существует такое b, что |P*(b)| = F, тогда |"xP*(x)| = F и |("xP*(x)Þ Þ"xQ*(x))| =

F. Следовательно, существует такая интерпретация, на которой формула принимает ложное значение.

12.5. Логическое следование в логике предикатов

12.5.1. Определение логического следования

ØОпределение 12.10. Говорят, что формула В логически следует из формулы A, если в любой интерпретации, в которой А принимает истинной значение, В также принимает истинное значение. Обозначение: А ╞ В.

В общем случае формулаВ является логическим следствием множества

формул Г, если она истинна на всех тех интерпретациях, на которых выполнены (истинны одновременно) все формулы из Г.

ØОпределение 12.11. Говорят, что формула A равносильна, или логически эквивалентна, формуле В, если каждая из них логически влечет другую, т.е. если A |= В и В |= A. Обозначение: AÛB

Из определений следуют утверждения:

1.A |= В тогда и только тогда, когда |= AÞВ.

2.A1,.., An |= В, тогда и только тогда, когда |= A1, &... & АnÞ В.

3.AÛB тогда и только тогда, когда |= AºB.

4.Если A|= В и |A| = Т, то |B| = T в некоторой интерпретации.

5.Если Г |= B и "i|Гi| = Г), то |B| = Г.

12.5.2.Основные правила вывода логики предикатов

Рассмотрим некоторые логические следования, которые выполнены в логике предикатов. Каждое такое логическое следование задает правило вывода в логике предикатов; некоторые из них будут использованы в формальной теории предикатов.

1. Правило универсальной конкретизации (УК):

"хА(х) |= А(у), если у свободно для х в А(х).

Доказательство. Нужно доказать, что если |"xA*(x)| = T в некоторой интерпретации D, то |A*(y)| = T в той же интерпретации. Допустим |A*(y)| = F. Тогда существует такое b Î D, что |A*(b)| = F.

Но по условию формула |"xA*(x)| = T на D, а так как b Î D то |"xA*(x)| = F на D. Это противоречие доказывает теорему.

2.Правило экзистенциальной конкретизации(ЭК):

$хА(х) |= А(b), где b Î D.

Доказательство. Допустим, |$хА*(х)| = T в некоторой интерпретацииD. Тогда существует такое b Î D что |A*(b)| = Т.

3.Правило экзистенциального обобщения:

А(у) |= $хА(х), где х свободно для у в А(у).

Доказательство. Если |A*(y)| = T в некоторой интерпретацииD то существует у = b, b Î D такое что |A*(b)| = Т. Следовательно, |$хA*(x)| = Т в интерпретации D.

4.Правило всеобщности:

СÞА(х) |= СÞ"х(A(х)), если С не содержит свободных вхождений х.

Доказательство. По условию |СÞА*(х)| = T в интерпретацииD. Это возможно, если

|$хA*(x) ÞС | = F в интерпретации D. Тогда |С| = F, (С не зависит от х) и |$хA*(x)| = Т, следовательно, существует x = b, такое что |А*(b)| = T и |А*(b)ÞС] = F, в то время как по условию|А*(b)ÞС] = Т. Полученное противоречие доказывает теорему.

6. Правило обобщенияGen (от английского словаGeneralization): если Г |= А(х), то Г |="хА(х), если х не входит свободно ни в одну из формул Г.

Доказательство. Предположим, выбрана область интерпретацииD и произведена замена в А всех свободных переменных на элементы из D, например, х=bÎD. Тогда |А*(b)| = T, так как |Гi| = T для всякого i. Так как х не входит свободно ни в одну из формулГ, то в множествеГ замены х на b не было ,и следовательно, для любого хÎD, такого что | А*(x)| = Т, Г|= А*(х), следовательно,

Г|="хА*(х).

12.6. Исчисление предикатов первого порядка

12.6.1. Формальная теория К

Поскольку построение таблиц истинности для любой формулы представляется возможным для проверки общезначимости формул теори предикатов, аксиоматический метод необходим для исследования формул, содержащих кванторы. Рассмотрим формальную теорию первого порядка К.

функциональные символы: fin, i = 1, ..., k, n = 0, ..., m, предикатные символы: Рin, i = 1, ..., k, n = 0, ..., m. Определения терма, формулы и пропозициональных связок &, Ú, º остаются в силе для теории первого порядка.

Аксиомы теории К разбиваются на логические аксиомы и собственные.

А7. (х = у) Þ (А(х, х) Þ А(х, у)) (подстановочностъ равенства),

где х, у — предметные переменные, А(х, х) — произвольная формула, А(х, у) получается заменой каких-нибудь (не обязательно всех) свободных вхождений х на у, если у свободно для тех вхождений х, которые заменяются.

Докажем основные теоремы теории первого порядка с равенством.

Теорема 12.1. |— t = t для любого терма t.

Доказательство. Из А6: |— "x1(x1 = x2) по правилу универсальной конкретизации получаем |— t = t.

Теорема 12.2. |— х = у Þ у = х.

Доказательство. Пусть А(х, х) есть х = х, А(х, у) есть у = х. Тогда: |— (х = у) (х = х Þ у = х) согласно А7; |— х = х согласно теореме 12.1;

|— х = у Þ у = х по правилу удаления средней посылки.

Теорема 12.3. |— х = у Þ (у = z Þ х = z).

Доказательство. Пусть А(у, у) есть у = z, А(у, х) - х = z. Тогда, заменив х на у и у на х, получим:

|— (у = х) Þ (у = z —> х = z) согласно А7;

|—х = у Þ у = х согласно теореме 12.2; |—x=y Þ (y=z Þ x = z) по правилу силлогизма.

12.7. Доказательство логических следований в логике предикатов

12.7.1. Формализация предложений естественного языка

Язык логики предикатов традиционно служит для формализ высказываний естественного языка.

vПример. Рассмотрим область определения М = {люди} с заданными на ней предикатами:J(х): х — судья; L(x): x - юрист; S(x): х — жулик; А(х, у): х любит у.

Понятие «юрист» можно определить как множество всех людей, имеющих юридическое образование. Понятие «судья» можно определить как множество людей, имеющих юридическое образование, работающих в суде и выполняющих вполне определенные обязанности. Таким образом, множество судей является подмножеством множества юристов, т.е. свойство быть судьей влечет свойство быть юристом, и область истинности предикатаJ(x) включена в область истинности предиката L(x) (см. рис. 12.3), т.е. справедливо высказывание: каждый судья является юристом, что можно выразить в виде формулы: "x(J(x) —> L(x)).

Рассмотрим высказывание: «Некоторые юристы — жулики». Это высказывание истинно, если существуют такие объекты, которые являются одновременно и юристами, и жуликами: $x(L(x) & S(x)), т.е. области истинности предикатов L(x) и S(x) пересекаются: LÇS. Следует ли из этого, что существуют судьи-жулики? Нет, не следует.

Области истинности предикатов L(х) и S(x) могут пересекаться (рис. 12.3, б), а могут и не пересекаться(рис. 12.3, а). Мы могли бы сказать: «Возможно, существуют судьи-жулики», - однако категорию возможности нельзя выразить в теории предикатов 1-го порядка.

Формализуем некоторые другие высказывания:

$x(S(x) & "y(L(y) Þ А(х, у))) некоторые жулики любят всех юристов; $x(S(x) & "y(A(x,y) Þ L(y))) некоторые жулики любят только юристов; $x(S(x) & $y(L(y) & А(х, у))) некоторые жулики любят некоторых юристов;

суждений.

1). Общеутвердительное суждение: А: Все S суть P: "x(S(x) Þ Р(х)).

v Пример. В последующих примерах пустьx Î {люди}, у Î {произведения}. На этих областях заданы предикаты: Р(х): х - писатель, V(x): х - поэт, W(x, у): х пишет у, N(y):y - роман, К(у):у - конспект, С(у): y - стихи, U(y): у - учебник. Рассмотрим два понятия: «учебники» и «конспекты». Понятие «учебники» обладает тем свойством, что это книги, по которым учатся. Предикат U(x) среди всех книг выделяет , текоторые являются учебниками. По конспектам также учатся, однако, конспекты обладают еще и тем свойством, что они написаны от руки. Поэтому конспекты можно считать подмножеством учебников(см. рис. 12.4). Отсюда следует, что «каждый конспект является учебником», или «все конспекты — учебники», что выражается формулой: "х(К(х) Þ U(x)).

Рис. 12.4. "х(К(х) Þ U(x)) - Все конспекты – учебники

2). Общеотрицательное суждение: Е: Ни одно S не суть Р: "х(S(х) Þ

ØP(x)).

v Пример. Рассмотрим два понятия: «конспекты» и «романы». Очевидно, что области истинности этих предикатов не пересекаются(см. рис. 12.5), т.е. «ни один конспект не является романом», что выражается формулой:

"х(K(х) Þ ØN(x))

Действительно: "x(S(x) Þ Р(х)) º $x(ØS(x) Ú P(x)) º $x(S(x) & ØP(x)). Например,

2) ØE=I, т.е. «неверно, что ни одно S не суть Р» º «некоторые S суть Р».

Ø"x(S(x) Þ ØР(x)) º $xØ(ØS(x) Ú ØР(х)) º $x (S(x) & Р(х)).

Горизонтальные стороны квадрата показывают отношения контрарности и субконтрарности. Утверждения А: Все S суть Р: "x(S(x) Þ Р(x)) и Е: Ни одно S не суть Р: "x(S(x) Þ ØР(x)) называются контрарными. Они совместимы по ложности, но несовместимы по истинности, .е. могут быть одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными. Например, «все романы написаны в стихах»: "x(N(x) Þ С(х)) и «ни один роман не написан в стихах»: "x(N(x) Þ ØС(х)), — контрарные утверждения; оба они ложны. Утверждения: «все люди смертны» и «все люди бессмертны», — также контрарны, первое — истинно, второе ложно.

Утверждения I: Некоторые S суть P: $x(S(x) & Р(х)) и О: Некоторые S не суть Р: $x(S(x) & ØP(x)) называются субконтрарными. Субконтрарные утверждения совместимы по истинности, но несовместимы по ложности, т.е. могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Например, «некоторые романы - стихи»: $x(N(x) & C(x)) и «некоторые романы не стихи»: $x(N(x) & ØС(х)), - субконтрарны; оба они истинны.

Вертикальные стороны квадраты показывают отношение логического

логическое следование: "x(S(x) Þ Р(x)) |= $x(S(x) & Р(х)), откуда следует, что |А

«ни одно S не суть Р», то и «некоторые S не суть Р»: "x(S(x) Þ ØР(x)) |= $x(S(x) & ØР(х)), откуда следует, что |E Þ O| º Т. Например, если «ни один учебник не написан в стихах», то и «некоторые учебники не написаны в стихах».

Другие примеры формализации высказываний приведены в таблице 12.6.

Таблица 12.6

12.7.3. Доказательство логических следований

В данном разделе мы рассмотрим два способа доказательства логических следований: неформальный способ, основанный на доказательстве от противного, и формальный вывод в исчислении предикатов. В следующий главе будет рассмотрен более эффективный метод, позволяющий автоматизировать процесс поиска доказательства логического следования (логической общезначимости).

v Пример 12.1. На области определения «люди» заданы высказывания: 1)Некоторые студенты любят своих преподавателей.

2)Никто не любит невежественных людей.

Следовательно, ни один преподаватель не является невежественным. Пусть Р(х): х — студент, D(x): x — преподаватель, Q(x): x — невежественный, L(x, у): х любит у. Формализуем посылки:

Fl: $x(P(x) & "y(D(y) Þ L(x,y))), F2: "x(P(x) Þ "y(Q(y) Þ ØL(x,y))).

Заключение G: "y(D(y) Þ ØQ(y)).

По определению, |F1| = T, |F2| = Т. Предположим, что |G| = F. Из предположения |"y(D(y) Þ ØQ(y))| = F следует, что существует по крайней мере одно значение у = а, такое что |D(a) Þ ØQ(a)| = F, откуда получаем, что |D(a) = Т, |ØQ(a)| = F, т.е. |Q(a)| = Т. Из посылки F1: |$х(Р(х) & "y(D(y) Þ L(х, y)))| = Г

следует, что существует по крайней мере одно значениех = b, такое, что P(b) &

"y(D(y) Þ L(х, y))| = Т, откуда получаем: |Р(b)| = Т и |"y(D(y) Þ L(х, y))| = Т.

Поскольку последнее истинно для всякогоу, в том числе, для у = а, получаем

|(D(a) Þ L(b, a))|= = T, т.е. |(T Þ L(b, а))| = Т, откуда |L(b, a)| = Т.

Поскольку посылка F2: |"х(Р(х) Þ "y(Q(a) Þ ØL(x, a)))| = T для всех значений х и у, то она истинна и для х = b, у = а: |P(b) Þ (Q(a) Þ ØL(x, a))| = Т. А

поскольку |Р(b)| = Т, то |Q(a) Þ ÞØL(b, a))| = Т. Так как |Q(a)| = T, то |ØL(b, a)| =

Т. Получаем, что истинны оба утверждения: |L(b, а)| = T и |ØL(b, a)| = Т. Полученное противоречие доказывает логическое следование. В формальном выводе применяются правила: универсальной конкретизации (УК), экзистенциальной конкретизации (ЭК), удаления & (уд. &), введения & (вв. &), правило МР.

vПример 12.2. На области определения «люди» заданы высказывания:

1.Все старые члены конгресса — юристы.

2.Все женщины-юристы восхищаются каким-нибудь судьей.

3.Только судьи восхищаются судьями.

4.Все судьи восхищаются всеми судьями.

Что думает судья Джонс по поводу своей старой тещи, которая является членом конгресса? Ответ. Джонс восхищается своей тещей. Проверить, что это заключение логически следует из заданных посылок.

Пусть х — предметная переменная, которая принимает значения из области определения «люди». Введем предикаты:J(х):х — судья; L(x): х — юрист; С(х): х

— член конгресса; W(x): x — женщина; А(х, у): х восхищается у, D - Джонс, Т - теща. Формализуем посылки.

1."х(О(х) & С(х) Þ L(x))

Все старые члены конгресса — юристы.

2."x(W(x) & L(x) Þ $y(J(y) & А(х,у)))

Все женщины-юристы восхищаются каким-нибудь судьей.

3."x"y(J(y) & A(x,y) Þ J(x))

Только судьи восхищаются судьями.

4."x(J(x) Þ "y(J(y) Þ А(х,у)))

Все судьи восхищаются всеми судьями.

5.J(D) Джонс – судья.

6.W(T) & О(Т) & С(Т) старая теща, член конгресса.

Доказать: A(D, Т) - судья Джонс восхищается тещей.

Формальный вывод.