Модели социальных процессов

который является стандартной формой линейного разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

Решением уравнения (12.7) называется такая функция M(t), что последовательность Мt удовлетворяет этому уравнению для заданной области значений t.

Уравнение (12.7) является простейшим и легко может быть решено алгебраическими методами. В общем случае решение дан­

Mt = taQ + MQ для al = 1.

Таким образом, решение уравнения (12.7) однозначно опреде­ ляется начальным значением М0.

Равновесие и устойчивость. Одно из присущих человеку ка­ честв — стремление к стабильности — формализуется в теории динамических систем с помощью понятия равновесия.

Равновесие — состояние системы, в котором интересующие исследователя параметры остаются неизменными: Mt+i = Mt, при­ чем это не означает, что жизнь в системе вообще замирает. В рамках модели мобилизации предположение о постоянстве М, не свидетельствует об отсутствия изменений среди сторонников данной партии (часть уезжает, умирает, других партии удается привлечь на свою сторону), но общее соотношение остается при­ мерно постоянным.

Для определения точки равновесия системы М* подставим условие М(+1 = Mt в уравнение (12.5), в результате чего получим

230

Следовательно,

M* = g / (f + g).

Легко показать, что для уравнения (12.7) состояние равнове­ сия вычисляется следующим образом:

Из соотношения (12.8) можно установить, что существуют толь­ ко варианты поведения решения, изображенные на рис. 12.1 [23]. Вариант I описывает монотонную сходимость к состоянию рав­

м0

Ма

м

м0

Рис. 12.1. Качественное поведение решений уравнения (12.7)

По определению, варианты I и II характеризуют устойчивую систему — все решения сходятся к положению равновесия неза-

231

висимо от значений М0 и а0, а варианты III и IV — неустойчивую систему.

Оценка параметров динамической модели. Модель мобилиза­ ции использовалась для изучения динамики числа голосов, подан­ ных за демократическую партию США в Лэйк Кантри (штат Ин­ диана) в период 1920-1968 гг. [23].

Для оценки численных значений коэффициентов а0, а^ моде­ ли применялся метод наименьших квадратов. Разностное урав­ нение (12.7) рассматривалось как линейное регрессионное урав­ нение у = т0 + т1 х, где у = М — доля избирателей в Лэйк Кантри, голосующих за кандидатов от демократической партии

На рис. 12.2,а изображен график наблюдаемых значений Mt, а на рис. 12.2,6 — график решения разностного уравнения (12.7) при М0 = М1920.

Рис. 12.2. Динамика голосующих за демократов на президентских выборах в Лэйк Кантри (1920-1968)

Сравнение графиков на рис. 12.2, а и б показывает, что раз­ ностное уравнение достаточно хорошо описывает качественные характеристики процесса мобилизации. Ясно, что данная мо­ дель является чрезвычайно упрощенной, реалистические моде­ ли требуют учета большого числа факторов и нелинейных соот­ ношений, однако для понимания поведения систем иногда достаточно изучить простые варианты модели.

232

Дифференциальные уравнения содержат не только функции, но и их производные. Запишем разностные уравнения, рассмот­ ренные в предыдущем параграфе, в следующем виде:

Здесь At = 1. Уравнение (12.11) связывает состояние дина­ мической системы в двух точках: t и (t + At). Перейдя в левой части этого уравнения к пределу при At —» 0, получим

общем случае это не обязательно. Отметим, что дифференциаль­ ное уравнение в отличие от разностного описывает динамику по­ ведения системы в каждой точке t. Уравнение (12.12) функцио­ нально связывает скорости изменения (производные по t) величин, характеризующих поведение системы, с самими величинами M(t).

Не отыскивая решения аналитически, в виде формулы, мож­ но составить представление об общей картине этих решений на основе геометрического смысла уравнения (12.12). Напомним гео­ метрический смысл производной dM/dt. В плоскости (M,t) для кривой M(t) величина dM/dt равна тангенсу угла наклона каса­

233

Если увеличить число точек, в которых проведено направле­ ние касательной, то, как видно из рисунка, образуется множест­ во кривых, являющихся решением дифференциального уравне­ ния (12.12). Это уравнение имеет бесконечное множество решений, а через каждую точку (М0, tQ) плоскости проходит од­ но решение. Таким образом, для того чтобы получить конкрет­ ное решение уравнения, надо задать начальное условие (М0, t0).

Решением дифференциального уравнения называется функ­ ция, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество. Графики решения дифференциального уравнения на­ зываются интегральными линиями этого уравнения. Рассмотрим несколько примеров.

Занимаясь вопросами наукометрии, В.В.Налимов сформули­ ровал две модели развития науки [8]. В простейшей модели пред­ полагается, что скорость роста числа публикаций пропорциональ­ на их достигнутому числу:

где у — число публикаций; k — константа. Решениями уравне­ ния являются функции типа е', т.е. с увеличением времени t число публикаций растет экспоненциально.

Так как при t —> °о функция y(t) = е' принимает бесконечно боль­ шие значения, модель (12.13) справедлива только на ограничен­ ном временном интервале. Ясно, что при некотором t = t* меха­ низм роста числа публикаций должен измениться. Для любого научного направления наступает этап насыщения (торможения).

Рассмотрим уравнение

сравнимым по величине с Ь, то (Ь-у) —> 0 и, следовательно, dy/ dt —» 0, т.е. рост у прекращается.

Отметим, что данное логистическое уравнение является нели­ нейным, так как его правая часть содержит у2.

В приведенных примерах динамическая модель описывается одним дифференциальным уравнением. Значительно более реали­ стические модели можно получить, рассматривая совокупность уравнений.

Системой дифференциальных уравнении называется совокуп­ ность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и

234

рые при подстановке в уравнения обращают их в тождества.

В данном учебном пособии рассматриваются системы диффе­ ренциальных уравнений, содержащие столько уравнений, сколь­ ко в них входит неизвестных функций, при этом все они являются функцией одной независимой переменной t.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следую­

Отметим, что в правых частях уравнений переменная t в явном виде не содержится. Такие системы называются автономными динамическими системами второго порядка. Основная геомет­ рическая интерпретация системы (12.15) связана с рассмотрени­ ем плоскости (х, у), называемой фазовой плоскостью, и сущест­ венно отличается от геометрической интерпретации, описанной выше. Ее можно назвать кинематической, так как в этой интер­ претации каждому решению ставится в соответствие движение точки по кривой, а не кривая в пространстве.

Системы типа (12.15) используются для описания эволюци­ онных процессов. Точка фазового пространства определяет со­ стояние системы. Приложенный к этой точке вектор с коорди­ натами dx/dt, dy/dt задает скорость изменения состояния. Точка,

поставим геометрическую интерпретацию системы (12.15) в про­ странстве (х,у,t) с интерпретацией на фазовой плоскости.

1.В каждую траекторию фазовой плоскости проектируется совокупность интегральных кривых в пространстве (х, у, t). Эти кривые получаются друг из друга заменой t на t-C, где С — произвольная константа (рис. 12.4, а).

2.Если точка (а, Ь) является состоянием равновесия системы (12.15) Р(а, Ъ) = 0; Q{a, b) = 0, то интегральная кривая будет пря­ мой, параллельной оси t. Эта прямая проектируется на плос­

кость (х, у) в единственную точку (а, Ь).

3. Если система имеет периодическое решение с периодом а, то в пространстве (х, у, t) соответствующая интегральная кривая

235

а) б)

Рис. 12.4. Поведение решений в пространстве (я, у, t) и на фазовой плос­ кости

представляет собой спираль с шагом а. Эта спираль проектиру­ ется на фазовую плоскость в замкнутую кривую (рис. 12.4, б).

При проекции спирали на плоскость (х, t) или (у, t) получим синусоидальную кривую, которая показывает изменение пере­ менной x(t) или y(t).

Системы дифференциальных уравнений часто используются для описания работы технических устройств (механических, элек­ трических и т.д.). Так как система дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений (конкретное решение оп­ ределяется начальными условиями), то и технические устройства (машины, механизмы) могут иметь бесконечное множество режи­ мов. На практике эти устройства работают во вполне определен­ ных режимах, что может объясняться выбором конкретных началь­ ных условий и тем, что устройство само стабилизует свою работу.

Рассмотрим хрестоматийный пример стенных часов с маят­ ником. Если маятник отклонить от вертикального положения достаточно сильно, то часы будут идти с определенной амплиту­ дой колебаний очень долго. Если маятник отклонить недоста­ точно сильно, то после небольшого числа колебаний он остано­ вится. Таким образом, у данной динамической системы существуют два стационарных решения: периодическое решение, соответствующее нормальному ходу часов, и состояние равнове­ сия — скорость маятника равна нулю. Всякое другое из беско­ нечного множества решений быстро приближается к одному из двух стационарных решений, каждое из которых является ус­ тойчивым в том смысле, что решение, не слишком сильно откло-

236

няющееся от стационарного в начальный момент, стремится к стационарному.

В окрестности особых точек фазовые траектории могут быть шести типов, схематично показанных на рис. 12.5 (стрелки на фа­ зовой траектории указывают направление изменения параметра t).

На рис. 12.5 особая точка условно помещена в начало коор­ динат. Траектории, которым принадлежит особая точка на рис. 12.5,5, называются сепаратрисами.

Рис. 12.5. Фазовые траектории в окрестности особой точки:

а — устойчивый узел; б — неустойчивый узел; в — устойчивый фокус; г — неустойчивый фокус; д — "седло"

Классификация типов поведения фазовых кривых в окрестно­ сти особой точки была осуществлена великим французским мате­ матиком и философом Анри Пуанкаре (1854-1912), который ввел также понятие предельного цикла, играющее важнейшую роль в различных приложениях теории дифференциальных уравнений.

Предельным циклом дифференциального уравнения называ­ ется изолированное периодическое решение этого уравнения (рис. 12.6). Для качественного исследования поведения дина­ мической системы достаточно определить состояния равновесия, наличие предельных циклов, ход сепаратрис. С точки зрения

237

программного обеспечения (пакеты прикладных программ DYANA, STELLA, Mathcad, Mathlab, Mathematica и др.). Не составляет труда получить достаточно точное решение дифференциального уравне­ ния с помощью Excel [6].

Вместо решения дифференциального уравнения можно иссле­ довать его аналог — разностное уравнение. Последнее можно счи­ тать приближенной моделью дифференциального уравнения. Сле­ дует иметь в виду, что решения разностного уравнения часто ведут себя менее гладко, чем решения дифференциального урав­ нения. В разностной модели учитывается поведение системы толь­ ко на концах дискретных временных интервалов, тогда как диф­ ференциальное уравнение описывает непрерывное течение процесса при каждом t.

При моделировании социальных процессов считается, что раз­ ностные уравнения более точно описывают процессы, связанные с электоральным циклом [23]. Действительно, возвращаясь к моде­ ли мобилизации из § 12.2, заметим, что процесс мобилизации можно считать дискретным, так как его действие проявляется в основном в период выборов.

Как будет показано в следующем параграфе, в простых слу­ чаях качественный анализ поведения системы может быть про­ делан без использования ЭВМ.

12.4. Модель гонки вооружений Ричардсона

Рассмотрим следующую ситуацию, в которой могут оказаться две враждующие страны. Первая страна ("желтые") вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны с соседней враждебной стра­ ной ("зеленые"). В свою очередь "зеленые", зная о росте затрат на вооружение у "желтых", также увеличивают расходы на воо­ ружение. Предположим, что каждая страна изменяет скорость роста (сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой. Математически эта ситуация может быть смоделирована

238

следующим образом. Пусть x(t) — расходы на вооружение "жел­ тых" к моменту t >0, y(t) — то же, но "зеленых". Тогда простей­ шая модель гонки вооружений может быть сформулирована в виде системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

где а и Ь — положительные константы. Эти уравнения описывают положительную обратную связь.

Модель (12.16) имеет очевидный недостаток: рост затрат на воо­ ружение ничем не лимитируется. Естественно предположить, что чем больше текущий уровень затрат на оборону, тем меньше ско­ рость его роста (отрицательная обратная связь). Получаем сле­ дующую систему уравнений:

где a, b, m, n — положительные константы.

Рассмотрим третий постулат, включенный Л. Ричардсоном в модель: государство наращивает вооружение, руководствуясь своими державными притязаниями и враждебностью к другим государствам, даже если другие страны не угрожают существо­ ванию данного государства. Обозначим соответствующие коэф­ фициенты претензии через г и s (r>0 и s>0). Если г<0 и s<0, то их можно назвать коэффициентами доброй роли. Получаем сле­

Решением системы (12.18) являются функции x(t) и y(t), определяемые для данных начальных условий х0, у0 (начальное состояние гонки вооружений) [13, 24-26].

Элементарный анализ модели. Одним из важнейших свойств, которые "разумно" потребовать от гонки вооружений, является стабильность. Формализуем это требование следующим образом.

239