Deza_Kotova_Sbornik_zadach_po_teorii_chisel

10.(а+ тЬ, Ь) = (а, Ь) для любого т Е Z.

11.(а, Ь) ·[а, Ь] = аЬ для любых а, Ь Е N.

Доказательство первого угверждения основано на том, что любой об­

щий делитель ЧИСеЛ а= п:=I pri И Ь = п:=I rl/;, Где O:j, /Зi ;;;:: 0, имеет ВИД

± п:=I P7i' где о:::;; 1/i :::;; min{a:j, /Зi}, в то время как любое общее кратное

ЭТИХ ЧИСеЛ имеет ВИД ± п:=I pfi, Где (Ji ;;;:: max{a:j, Д}. Для доказатель­

ства свойства 9 рассмотрим множество Ма,ь общих делителей чисел а и Ь и множество Мь,с общих делителей чисел Ь и с. Докажем, что эти множе­

ства совпадают. Действительно, если х Е Ма,ь, то xla и xlb, а значит, xlc

в силу равенства а = bk + с, то есть х Е Мь,с. Аналогичные рассуждения

позволяют угверждать: если у Е Мь,с, то у Е Ма,Ь· Итак, множества Ма,ь

и Мь,с совпадают, а, следовательно, совпадают и их наибольшие элемен­

ты, то есть (а, Ь) = (Ь, с). Доказательства остальных свойств можно найти,

например, в [3], [28].

примеры решения задач

1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

чисел: 15, -12, 3.

Решение. Рассматривая множества {±1, ±3, ±5, ±15}, {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} и {±1, ±3} делителей чисел 15, -12 и 3, соответствен­

но, мы убеждаемся в том, что наибольший общий делитель указанных

чисел равен 3. Рассматривая множества {±15, ±30, ±45, ±60, ... },

{±12, ±24, ±36, ±48, ±60, ...} и {±3, ±6, ±9, ... , ±60, ... } кратных

чисел 15, -12 и 3, соответственно, мы убеждаемся в том, что наи­

2.Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

чисел 1500, -1224, -1440.

Решение. Для решения задачи разложим каждое из чисел 1500, 1224

и1440 на простые множители. Легко убедиться в том, что 1500 =

= 22 • 3 · 53 , 1224 = 23 • 32 • 17, и 1440 = 25 • 32 • 5. Другими словами, (1500, -1224, -1440) = (1500, 1224, 1440) = (22-3 1·53.!7°, 23 -32 -5°-17 1,

25 • 32 • 51 • 17°). Выбирая минимальные значения показателей входящих

в разложения простых чисел, мы получим, что (1500, -1224, -1440) =

= 22 • 31 ·5о.17° = 22 • 3 = 12. Аналогично, [1500, -1224, -1440) = · = [22 .3 1 .53 ·17°, 23 • 32 .5о·171 , 25 ·32 ·51 ·17°], и, выбирая минимальные

значения показателей входящих в разложения простых чисел, мы

получим, что [1500, -1224, -1440) = 25 • 32 • 53 • 171 = 612 ООО. t>

3. Сократите дробь 1224/1440.

Решение. Для решения задачи найдем (1224, 1440). Как было пока­

4.Приведите дроби 1/1224, 7/1500 и -13/1440 к наименьшему общему

знаменателю и найдите их сумму.

Решение. Для решения задачи вспомним, что

[1224, 1500, 1440] = 25 • 32 · 53 • 171 = 612 ООО.

Тогда

3. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю и найдите их

4.Докажите, что (та, тЬ) = т(а, Ь) для любого т Е N.

5.Докажите, что если mla и mlb, где т Е N, то (а/т, Ь/т) =(а, Ь)/т.

2. Приведите дроби 1200/3690, 9/100002, 1/1224 и 7/1500 к общему

знаменателю.

3.Найдите натуральное число с, если с= (735, Ь), где Ь = (1050, 80).

4.Найдите натуральные числа тип, сумма которыхравна 20, а (т, п) = 5.

5.Найдите НОД чисел 11111 111 и ...111 " . .." ,. 111,.,.

сто единиц

б. Докажите, что для любых целых чисел а1, а2, ••• , an, хотя бы одно

из которых отлично от нуля, существует наибольший общий делитель.

1. Докажите, чточтодлялюбыхцелыхчисел а1, а2, ... , an, хотя бы одно из

которых отлично от нуля, (а1, а2, . .. , ak, О, О, ... , О)= (а1, а2, ... , ak)·

8. При любом натуральном п найдите наименьшее общее кратное чисел:

9.Докажите, что [1, 2, ... , n, п + 1, ... , 2п] = [п + 1, ... , 2п].

10.Чему может быть равно наименьшее общее кратное трех последова­

тельных натуральных чисел?

11. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9 и 10.

12.Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 7 и дающее

остаток 1 при делении на каждое из чисел 2, 3, 4, 5, 6.

13.Докажите, что аЬс =[а, Ь, с](аЬ, ас, Ьс), если а, Ь, с Е N.

14. Какое наименьшее число студентов могло сдавать экзамен при усло­

вии, что четырнадцатая часть из них получила оценку «неудовлетво­

рительно», 75% - «удовлетворительно», 15% - «Хорошо» и не менее пяти человек - «ОТЛИЧНО» ?

15.В депо было сформировано 2 поезда из одинаковых вагонов: пер­

вый - на 456 пассажиров, второй ~ на 494 пассажира. Сколько

вагонов в каждом поезде, если известно, что общее число вагонов не превышает 30?

§ 5. Алrоритм Евклида

Алгоритм Ев1СЛида - алгоритм для определения наибольшего общего

делителя двух чисел путем последовательного применения теоремы о де­

лении с остатком.

Именно, для любого целого а и любого натурмьного Ь, не делящего а, наибольший общий делитель чисел а и Ь равен последнему ненулевому остатку r8 следующего мгоритма:

а= Ьq1 + r1, О< r1 < Ь, Ь = r1q2 + r2, О< r2 < r1,

... '

rs-2 = r,_iqs + Т8, О< r, < r,_1, rs-1 = r,q, +О,

где qi, ri Е Z, i = 1, 2, ... , в. Другими словами, наибольший общий делитель

чисел а и Ь (а Е Z, Ь Е N, Ь ~а) равен последнему ненулевому остатку

мгоритма Ев1СЛида, записанного для этих чисел.

Действительно, пользуясь свойством 9 предыдущего параграфа, мы

можем утверждать, что (а, Ь) = (Ь, r1) = (r1, r2) = (r,-2, rs-1) = (rs-1, r,),

в то время как (r8 -1, r8 ) = r8 по свойству 8 предыдущего параграфа.

При этом наличие хотя бы одного ненулевого остатка обеспечивается

условием Ь f а, в то время как существование последнего ненулевого остатка (то есть конечное число шагов алгоритма) следует из того факта,

= 1029 · 1 + 42, 1029 = 42 · 24 + 21, 42 = 21 · 2 +О, и мы получаем, что (1071, 1029) = 21.

Алгоритм Евклида является одним из старейших известных алгорит­ мов. Он встречается в «Началах» Евклида около 300 года до нашей эры. Евклид формулировал проблему геометрически, как задачу нахождения

общей «меры» для двух отрезков, и его алгоритм состоял в последова­

тельном вычитании меньшего отрезка из большего. Однако вероятно, что

Зn3 + 5п2 + 2 = п. (Зn2 + 5п) + 2. Далее, п = 2 · k + r, где r Е {О, 1}.

При r =О, то есть в случае п = 2k, последний ненулевой остаток ал­

горитма Евклида равен 2, то есть (6n6 +10n5 +4n3 +n, 3n3 +5n2 +2) = 2

при четных п. При r = 1, то есть в случае п = 2k + 1, следующий шаг алгоритма имеет вид 2 = 1·2+0, и последний ненулевой остаток алго­

ритма Евклида равен 1, то есть (6n6 + 10n5 +4n3 +n, 3п3 +5n2 +2) = 1

Решение. В первом случае, следуя алгоритму Евклида, получаем:

22n + 15 = (6n + 4) · 3 + (4n + 3), бп + 4 = (4п + 3) · 1 + (2n + 1), 4n + 3 = (2n + 1) · 2 + 1, и 2n + 1 = 1·(2n+1) +О. Таким об­

6п+4

--- несократима. Во втором случае, следуя алгоритму Евклида,

22n + 15

получаем: 16n+60 = (Iln+41)·(5n+l9), lln+4l = (5n+l9)·2+(n+3), 5п + 19 = (n + 3) · 5 + 4. Далее, п + 3 = 4 · k + r, где r Е {О, 1, 2, 3}.

При r =О, то есть в случае п + 3 = 4k, последний ненулевой оста­

ток алгоритма Евклида равен 4, то есть ( l6n + 60, 11п + 41) = 4 при

п = 4k - 3 или, что то же, при п = 4t + 1, и дробь сократима на 4:

16п + 60 _ 16(4t + 1) + 60 _ 64t + 76 _ 16t + 19 lln+41 -11(4t+l)+41 - 44t+s2-11t+12·

При r = 1, то есть в случае п+3 = 4 · k +1, следующий шаг алгоритма имеет вид 4 = l · 4 + О, и последний ненулевой остаток алгоритма

есть в случае п + 3 = 4 · k + 2, следующий шаг алгоритма имеет вид 4 = 2 · 2 +О, и последний ненулевой остаток алгоритма Евклида равен

2, то есть (l6n + 60, l ln + 41) = 2 при п = 4k - 1 или, что то же, при

п = 4t + 3, и дробь сократима на 2:

Наконец, при r = 3, то есть в случае n + 3 = 4 · k + 3, следующие два шага алгоритма имеют вид 4 = 3 · 1 + 1, 3 = l · 3 +О, и последний

ненулевой остаток алгоритма Евклида равен 1, то есть (16n+60, lln+

5. Для целых чисел а и Ь найдите наибольший общий делитель чисел

Sa + 3Ь и За+ 2Ь, если (а, Ь) = 5.

Решение. Записав цепочку равенств 5а + ЗЬ = (За+ 2Ь) · 1+ (2а + Ь),

За+2Ь = (2а+Ь)· 1+(а+Ь), 2а+Ь = (а+Ь)· I+а, а+Ь =а· I+Ь и поль­

зуясь тем, что (а, Ь) = (Ь, с) в случае равенства а= b·k+c, мы можем

записать, что (5а + ЗЬ, За+ 2Ь) = (За+ 2Ь, 2а + Ь) = (2а + Ь, а+ Ь) =

=(а+ Ь, а)= (а, Ь), откуда следует, что (5а + ЗЬ, За+ 2Ь) = 5. С>

Замечание. Алгоритм, использованный при решении данной задачи, не яв­ ляется алгоритмом Евклида, поскольку при целых а и Ь вторые слагаемые

правых частей полученных равенств далеко не всегда являются «настоящи­

ми» остатками: например, при а = -10, Ь = 5 величина 2а + Ь = -15, в то

время как остаток должен быть, по крайней мере, неотрицательным числом.

Уnражненuя

1. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите:

2.Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите наибольший общий дели­

тель d чисел а и Ь и укажите два целых числа х0, Уо, таких что d=а·хо+Ь·уо:

3. При любом натуральном п найдите наибольший общий делитель чисел:

б} (l3а+2Ь,20а+ЗЬ), если (а,Ь)=l; г) (7а+2Ь,11а+ЗЬ), если (а,Ь)=4.

задачu

1. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите:

2. При любом натуральном n найдите наибольший общий делитель

чисел:

а) n2 + 1 и n3 + 2n2 + 2n + 1;

б) n3 + 3n2 + 6n + 2 и n2 + 3n + 5;

в) n4 + 2n3 + 2n2 + 3n + l и n3 + 2n2 + 2n + 2.

3. При любом натуральном n найдите наибольший общий делитель

6. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите наибольший общий дели­

тель d чисел а и Ь и укажите два целых числа Хо, Уо, таких что d = а ·Хо + Ь ·Уо:

7. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите хотя бы одно целое решение

уравнения:

8. Докажите, что дшi любого натурального n уравнение 7х - 10у = n

разрешимо в натуральных числах.

9. Докажите, что наибольший общий делитель чисел а и Ь делится

на любой их общий делитель.

§ 6. Взаимно простые числа

Два целых числа а и Ь называются взаимно простыми, если их наи­ больший общий делитель равен 1. Другими словами, числа а и Ь взаимно

просты, если они не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1.

Например, 6 и 35 взаимно просты, так как (6, 35) = 1, но 6 и 27 не являются взаимно простыми, так как (6, 27) = 3.

Число 1 взаимно просто с любым целым числом; число О взаимно

просто ТОЛЬКО с 1 и -1.

Свойства взаимно прост~.1х чисел

1.Целые числа а и Ь являются взаимно простыми тогда и только тогда,

когда существуют целые числах и у, такие что ах+Ьу = 1 (критерий взаимной простоты).

2.Если Ь/ас и (Ь, с) = 1, то Ьlа.

3.Если Ь/а, с/а и (Ь, с) = 1, то Ьс/а.

4.(а, Ь) = 1 тогда и только тогда, когда (an, ьт) = 1 для любых неотри-

цательных целых чисел тип.

Например, доказательство критерия взаимной простоты опирается на сле­

дующие соображения: с одной стороны, если (а, Ь) = 1, то, как было дока­

зано ранее, существуют целые числа х и у, такие что ах+ Ьу = 1; с другой

стороны, если ах+ Ьу = 1 и (а, Ь) = d, то d/(ax + Ьу), откуда следует, что d/ 1, то есть d = 1. Для доказательства остальных свойств можно использо­

вать общие соображения теории делимости (см., например, [28]). Однако

рассуждения станут значительно проще, если воспользоваться следующим

очевидным соображением: натуральные числа а и Ь являются взаимно про­ стыми тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.

прuмеры решенuя задач

1. Докажите, что п5 - п делится на 30 при любом натуральном п.

Реwение.

Конечно, можно решить данную задачу стандартным способом: рас­ смотрев все тридцать остатков О, 1, "., 29 при делении на 30, убе­

диться, что п5 и п имеют одинаковые остатки при делении на 30, и, следовательно, число п5 - п дае1' ОС1'а1'ок ноль при делении на 30, то

есть делится на 30. Однако значительно проще решить данную задачу,

пользуясь свойствами взаимно простых чисел. Именно, 30 = 2 · 3 · 5,

причем числа 2, 3 и 5 попарно взаимно просты. Если мы покажем, что