Беркетов_ответы_на_билеты

Вероятность того, что не осуществится ни один из этих переходов, равна

Отсюда вероятность первого варианта

Pm(t) ( ) .

Аналогично, вероятность второго варианта равна вероятности того, что в момент t система была в состоянии Хi (i?m), умноженной на условную вероятность перехода за время Dt в состояние Хm :

Pi (t) ·lim·Dt

Применяя правило сложения вероятностей, получим:

Pm(t+Dt) = Pm(t) ( ) + = Pm(t) (1 – lm1Dt – lm2Dt – … – lmnDt) + P1(t) l1mDt + + P2(t)l2mDt + … + Pn(t)lnmDt ;

Pm(t+Dt) – Pm(t) = P1(t) l1mDt + P2(t)l2mDt + … + Pn(t)lnmDt - Pm(t) lm1Dt – Pm(t) lm2Dt – … – Pm(t) lmnDt .

Последнее равенство делим на Dt , получим

P1(t) l1m + P2(t)l2m + … + Pn(t)lnm - Pm(t) lm1 – Pm(t) lm2 -…- Pm(t) lmn ;

Перейдем к пределу при Dt -> 0

При этом правая часть уравнения не изменится, поскольку она не зависит от Dt . Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид:

Интегрирование этой системы с учетом условий дает все вероятности состояний.

Поскольку совместно с этим условием число уравнений для определения вероятностей составляет n+1 , то одно любое из дифференциальных уравнений системы всегда можно опустить.

Oбратим внимание на структуру уравнений Колмогорова. Все они построены по вполне определенному правилу, которое можно сформулировать следующим образом:

В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько переходов связано с данным состоянием. Если переход направлен из данного состояния, то соответствующий член имеет знак ”минус”, если в данное состояние – знак ”плюс”. Каждый член равен произведению плотности вероятности соответствующего перехода, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит переход.

11.Эргодические марковские цепи с непрерывным временем, финальные вероятности,

понятие стационарного режима.

При некоторых условиях в Марковской цепи устанавливается стационарный режим для больших k, в котором система продолжает блуждать по состояниям, но вероятности этих состояний уже от номера шага не зависят. Эти вероятности можно трактовать как среднюю долю времени, которую система проводит в каждом из состояний.

, если предел существует, то вероятности называются финальными или предельными, а Марковская цепь называется эргодической.

Эргодические марковские цепи описываются сильно связанным графом. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния Si в любое состояние Sj (i,j=1..n) за конечное число шагов.

Отсутствие 0 и 1 в матрице состояний является достаточным условием для существования финальных вероятностей.

Условие стационарного режима для системы S с конечным числом состояний:

•Множество всех состояний W системы S должно быть эргодическим;

•Цепь Маркова должна быть однородной;

•В Марковской цепи не должно быть циклов.

12. Метод определения финальных (стационарных) вероятностей для состояний эргодической марковской цепи с непрерывным временем.

Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (t стремится к бесконечности) наступает стационарный режим, при котором вероятности Pi состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е. Pi=const.

Каждая компонента Pi вектора таких стационарных вероятностей характеризует среднюю долю времени, в течение которого система находится в рассматриваемом состоянии Si за время наблюдения, измеряемое К шагами.

Для определения стационарных вероятностей Pi нахождения системы в состоянии Si (i=1..n) нужно составить систему n линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными:

n

Pi=Ʃ(Pj*Pji) i=1..n (3) j=1

Причем, искомые вероятности должны удовлетворять условию:

Поэтому любое уравнение системы (3) можно заменить уравнением (4).

Систему линейных алгебраических уравнений (3) удобно составлять непосредственно по размеченному графу состояний. При этом в левой части уравнения записывается вероятность состояния, соответствующего рассматриваемой вершине графа, а в правой части - сумма произведений. Число слагаемых соответствует числу дуг графа, входящих в рассматриваемое состояние. Каждое слагаемое представляет произведение вероятности того состояния, из которого выходит дуга графа, на переходную вероятность, которой помечена соответствующая дуга графа.

13.Процессы рождения и гибели. Вывод формул для финальных вероятностей

состояний.

Среди однородных марковских процессов существует класс случайных процессов, имеющих широкое применение при построении математических моделей в областях демографии, биологии, медицины (эпидемиологии), экономике, коммерческой деятельности. Это так называемые процессы рождения-гибели, марковские процессы со стохастическими графами состояний следующего вида:

Размеченный граф процесса "рождения-гибели"

Этот граф воспроизводит известную биологическую интерпретацию: величина отображает интенсивность рождения нового представителя некоторой популяции, например, кроликов, причем текущий объем популяции равен k ; величина является интенсивностью гибели (продажи) одного представителя этой популяции, если текущий объем популяции равен k . В частности, популяция может быть неограниченной (число n состояний марковского процесса является бесконечным, но счетным), интенсивность может быть равна нулю (популяция без возможности возрождения), например при прекращении воспроизводства кроликов.

Для марковского процесса рождения-гибели, описанного стохастическим графом, приведенным на рисунке, найдем финальное распределение. Пользуясь правилами составления уравнений для конечного числа n предельных вероятностей состояния системы S1,S2,S3 ,…,Sk,…,Sn, составим соответствующие уравнения для каждого состояния:

Аналогично можно составить уравнения для остальных состояний системы S1,S2,S3 ,…,Sk,…,Sn. В результате получим следующую систему уравнений:

Решая эту систему уравнений, можно получить выражения, определяющие финальные состояния системы массового обслуживания:

Следует заметить, что в формулы определения финальных вероятностей состояний p1,p2, pk ,…, pn, входят слагаемые, являющиеся составной частью суммы выражения, определяющей p0 . В числителях этих слагаемых находятся произведения всех интенсивностей стоящих у стрелок графа состояний, ведущих слева направо до рассматриваемого состояния Sk , а знаменатели представляют собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до рассматриваемого состояния Sk , т.е. µ1 , µ2 , µk, ,…, µn. В связи с этим запишем эти модели в более компактном виде:

14.Системы массового обслуживания: основные определения и свойства.

СМО - это система, в составе которой можно выделить обслуживающие приборы и потоки заявок. Заявка - это требование какого-либо обслуживания, выполняемого в течение некоторого промежутка

времени (возможно, нулевого).

Обслуживающий прибор (ОП) - это устройство (подразделение, исполнитель и т.д.), которое реализует процесс обслуживания заявки.

Поток заявок - это перемещение заявок от одного ОП к другому.

-

-

Рис. Общая схема структуры СМО

На рис. представлена общая схема структуры систем массового обслуживания.

Заявки поступают на вход всей СМО и далее каждого ОП с заданным интервалом времени. При определенных сочетаниях интервала поступления и интервала обслуживания заявок в СМО могут возникать очереди на входе обслуживающих приборов.

Имитационные модели СМО имитируют обслуживание потока заявок. Основные вопросы, на которые отвечает имитационная модель, это:

-время обслуживания заявки в моделируемой системе с учетом ожидания в очередях;

-загрузка ресурсов системы.

Перечислим некоторые основные понятия СМО.

Каналы — то, что обслуживает; бывают горячие (начинают обслуживать заявку в момент ее поступления в канал) и холодные (каналу для начала обслуживания требуется время на подготовку). Источники заявок — порождают заявки в случайные моменты времени, согласно заданному пользователем статистическому закону.

Заявки, они же клиенты, входят в систему (порождаются источниками заявок), проходят через ее элементы (обслуживаются), покидают ее обслуженными или неудовлетворенными. Бывают нетерпеливые заявки — такие, которым надоело ожидать или находиться в системе и которые покидают по собственной воле СМО. Заявки образуют потоки — поток заявок на входе системы, поток обслуженных заявок, поток отказанных заявок. Поток характеризуется количеством заявок определенного сорта, наблюдаемым в некотором месте СМО за единицу времени (час, сутки, месяц), то есть поток есть величина статистическая.

Очереди характеризуются правилами стояния в очереди (дисциплиной обслуживания), количеством мест в очереди (сколько клиентов максимум может находиться в очереди), структурой очереди (связь между местами в очереди). Бывают ограниченные и неограниченные очереди. Перечислим важнейшие дисциплины обслуживания. FIFO (First In, First Out — первым пришел, первым ушел): если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание. LIFO (Last In, First Out — последним пришел, первым ушел): если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание (пример — патроны в рожке автомата). SF (Short Forward

— короткие вперед): в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания.

ВСМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

ВСМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь

иожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь – ограничена или не ограничена.

Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, следующие СМО:

·СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);

·СМО с обслуживанием с приоритетом, т.е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т.д.

Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Судить о результатах работы СМО можно по показателям. Наиболее популярные из них:

•вероятность обслуживания клиента системой;

•пропускная способность системы;

•вероятность отказа клиенту в обслуживании;

•вероятность занятости каждого из канала и всех вместе;

•среднее время занятости каждого канала;

•вероятность занятости всех каналов;

•среднее количество занятых каналов;

•вероятность простоя каждого канала;

•вероятность простоя всей системы;

•среднее количество заявок, стоящих в очереди;

•среднее время ожидания заявки в очереди;

•среднее время обслуживания заявки;

•среднее время нахождения заявки в системе.

15.Простейшая одноканальная СМО с отказами.

Простейшей одноканальной моделью с вероятностным входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения

Под интенсивностью потока понимают где m(t, t+t) - среднее число событий в интервале (t, t+t).

Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выведенных для СМО с ограниченной очередью, путем перехода к пределу при :

Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле

Имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем ρ . Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при . Эта сумма сходится, если прогрессия

бесконечно убывающая при ρ<1, что определяет установившийся режим работы СМО, а при очередь при с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому следовательно, относительная пропускная способность , соответственно , а абсолютная пропускная способность .

Вероятность пребывания в очереди k заявок равна:

среднее число заявок в очереди -

среднее число заявок в системе -

среднее время ожидания обслуживания в очереди -

среднее время пребывания заявки в системе -

Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания , то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при , .

17.Простейшая одноканальная СМО с ограниченной очередью.

Пусть на вход СМО, имеющей n каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ . Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна , а максимальное число мест в очереди равно m .

Граф такой системы представлен на рисунке 7.

Рисунок – Граф состояний многоканальной СМО с ограниченной очередью S0 – все каналы свободны, очереди нет;

Sl – заняты l каналов (l = 1, n), очереди нет;

Sn+i - заняты все n каналов, в очереди находится i заявок (i = 1, m).

Граф на рисунке является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

S0 → S0 ; S g → Sn+m ; Sk → Sl , (k = 1, n); Sk → Sn+i , (k = n, n + m);

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5). В результате получим:

ρ n+i

pn+i = ni n! p0 , (i = 1, m)

Образование очереди происходит, когда в момент поступления в СМО очередной заявки все каналы заняты, т.е. в системе находятся либо n, либо (n+1),…, либо (n + m – 1) заявок. Т.к. эти события несовместны, то

вероятность образования очереди pоч равна сумме соответствующих вероятностей pn , pn+1 ,..., pn+ m−1 :

n

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.:

ρ n + m

p = pn + m = nm n! p0

Относительная пропускная способность равна:

ρ n + m

Q = p = 1 − p = 1 − nm n! p0

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле (11) и может быть записано в виде:

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде:

Среднее число заявок, находящихся в СМО

L = L + L

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

18.Моделирование случайных событий и дискретных величин.

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события.

имеются случайные числа xi т. е. возможные значения случайной величины ξ, равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р.

Для получения дискретных случайных величин можно использовать метод обратной функции. Если ξ, — равномерно распределенная на интервале (0, 1) случайная величина, то искомая случайная величина η получается с помощью преобразования

где Fη−1 — функция, обратная Fη.

Алгоритм вычисления по (10.4) и (10.5) сводится к выполнению следующих действий:

если х1<р, то η=у1, иначе если х2<р1+р2, то η=у2 иначе,

Моделирование нормального закона распределения случайной величины. Для моделирования нормального закона распределения случайной величины нельзя непосредственно воспользоваться методом обратной функции, поэтому используем центральную предельную теорему. Пусть случайная величина Х имеет

закона Ф(z) при всех значениях аргумента, то есть

Для получения нормального закона распределения случайной величины достаточно суммировать шесть случайных величин, полученных c помощью генератора случайных чисел R, и, пронормировав полученные значения так, чтобы определить Z, по формуле (3.8) найти значение X.

12

Обычно суммируют 12 случайных величин Ri, Z = ∑Ri , тогда дисперсия D(Z) будет равняться единице.

i=1

Рассмотрим, как моделируются нормально распределенные случайные величины в системе моделирования GPSS.

Выполним аппроксимацию функции нормального распределения случайной величины Z c параметрами тz

=0 и σz =1. Для этого достаточно 25 точек. В табл. 3.3 занесенные соответствующие значения аргумента Х и

функции F (x).

Для того, чтобы получить функцию нормального распределения c математическим ожиданием mx ≠ 0 и среднеквадратичным отклонением σ x ≠ 1, необходимо сделать вычисления по формуле (3.8).

На рис. 3.11 изображен график функции, полученной в результате аппроксимации функции нормального распределения Ф(z), а на рис. 3.12 – более удобный для моделирования график функции (как аргумент используют генератор случайных чисел и получают значение функции).

Если необходимо обеспечить положительные разыгрываемые значения, то нужно выполнить условие тx ≥ 5

σ x .

Рис. 3.11

Рис. 3.12

В рассмотренных приближенных методах «хвосты» нормального распределения оказываются неточными. Существуют и более точные методы моделирования нормального распределения случайной величины .

21. Моделирование случайных величин с произвольным распределением (метод аппроксимации плотности кусочно-постоянной функцией).

Пусть требуется получить последовательность случайных чисел функцией плотности fn(у), возможные значения которой лежат в интервале (а, b). Представим fη(у) в виде кусочно-постоянной функции, т. е. разобьем интервал (а, b) на т интервалов, как это показано на рис. 1.

рис 1

будем считать fn(y) на каждом интервале постоянной. Тогда случайную величину η можно представить

η = ak +η*k

где аk — абсцисса левой границы k-то интервала; ηk* — случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри k - то интервала, т. е. на каждом участке ak ÷ ak+1 величина ηk* считается распределенной равномерно. Чтобы аппроксимировать fn(y) наиболее удобным для практических целей способом, целесообразно разбить (а, b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания случайной величины η в любой интервал (аk, аk+1) была постоянной, т. е. не зависела от номера интервала k. Таким образом, для вычисления аk воспользуемся следующим соотношением:

ak +1

∫ fη (y )dy = 1 / m

Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чисел сводится к последовательному выполнению следующих действий:

1) генерируется случайное равномерно распределенное число хi из интервала (0, 1);