Методы оптимизации учебник

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Результаты всех вычислений приведены в таблице, из которой следует, что значение функции f (x) становится меньше ε = 0,1на 11-й итерации, а значение нормы градиен-

та уменьшается в 5/6 раза каждые две итерации.

Скорость сходимости метода Коши является довольно низкой, хотя на каждой итерации обеспечивается выполнение неравенства f (xk +1 ) ≤ f (xk ) .

……………………………………………………………………………

ЗАДАНИЕ 10

Решить задачу безусловной оптимизации методом Коши с точностью ε=0,1. Решение сопроводить геометрической интерпретацией.

1. − x1 +6x2 −2x12 −3x22 +3x1x2 → max

2.6x1 + 4x2 − x12 − 12 x22 − x1x2 → max

3.6x1 + 4x2 − x12 − 12 x22 − x1x2 → max

4.6x1 + 4x2 − x12 − 12 x22 − x1x2 → max

5.3x1 −2x2 − 12 x12 − x22 + x1x2 → max

6.3x1 −2x2 − 12 x12 − x22 + x1x22 → max

7.−4x1 +8x2 − µx12 − 32 x22 + 2x1x2 → max

91

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

При решении задач нелинейного программирования ввиду нелинейности функции gi (x ) выпуклость допустимого множества решений P и конечность числа его крайних точек (в отличие от ЗЛП) необязательны. Задача нелинейного программирования не всегда

имеет решение. Если задача имеет решение, то максимум функции f (x ) может дости-

гаться в крайней точке допустимой области значений P, в одной из граничных точек или в точке, расположенной внутри допустимой области P.

Определение 4.3.1.1. Решением или точкой максимума задачи условной оптимизации называется такой вектор x * P E n , что f (x * ) ≥ f (x ) для всех x P , т.е.

f (x * ) = max f (x ) .

x P

Определение 4.3.1.2. Направление S ≠ 0 называется возможным в точке x P , ес-

онный процесс, в котором исходя из начальной точки x 0 P , получают последовательность точек x k P , монотонно увеличивающих значения функции f (x ) . Это так называемые методы подъема. Элементы этой последовательности точек определяются следующим образом: x k +1 = x k + βk S k ,

92

Если точка x k - граничная точка области P, то возможные направления определяются ограничениями gi (x k ) = 0 (направление S * на рис. 4.3.2. возможным не является).

Прежде чем определять направление подъема функции f (x ) в точке x k , следует вычислить множество таких возможных направлений S k , для которых существовала бы

окрестность точки x k , принадлежащая P.

Общая схема методов условной оптимизации

Начальный этап. Задать ε > 0 и выбрать начальную точку x0 P . Основной этап.

Шаг 1. Выбрать S k (k-я итерация) - возможное направление подъема функции

f (x ) в точке x k . Если такого направления нет, то x* k =x k - решение задачи. В противном случае перейти к шагу 2.

Шаг 2. Положить x k+1 =x k +βS k , где βk находим, решая задачу

f (x k + βk S k ) → max

β>0

(x k + βk S k ) P

Шаг 3. Заменить k на k+1 и перейти к шагу 1.

Конкретные методы условной оптимизации различаются способом выбора воз-

93

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

P

g4 (x ) = 0

g3 (x ) = 0

A = ( A1, A2 ) и b = (b1,b2 ) . Далее приводится алгоритм метода Зойтендейка для случая линейных ограничений.

94

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Шаг 2. Определить возможное направление подъема , решая следующую задачу:

Шаг 3. Если все ϕ(S ) =( f (x k ),S k ) =0, то x * = x k - задача решена.

Шаг 4. Определить βk (шаг в направлении S k ), решая задачу одномерной оптимизации:

f (x k + βS k ) → max 0 ≤ β ≤ β* .

Шаг 5. Положить x k +1 = x k + βk S k , заменить k на k+1 и перейти к шагу 1.

Пример.

f (x) = 4x1 + 6x2 + 2x1 x2 − 2x12 − 2x2 2 → max

x1 + x2 ≤ 2x1 +5x2 ≤ 5− x1 ≤ 0

− x2 ≤ 0

Начальный этап.

Выбираем начальную точку x0 = (0,0) , для которой:

Основной этап.

Итерация 1.

Шаг 1. Для x0 = (0,0) заданы A10 ,b10 , A20 ,b20 .

Шаг 2. f (x0 ) = (4,6) .

Решаем задачу

ϕ(S) =( f (x0 ),S) =4S1 +6S2 →max

при условиях

− S1 ≤ 0

− S2 ≤ 0

−1 ≤ S1 ≤1

−1 ≤ S2 ≤1

При решении этой задачи симплекс-методом получаем S0 = (1,1),ϕ(S0 ) =10 .

95

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Шаг 3. Так как ϕ(S0 ) =10 ≠ 0 , переходим к шагу 4. Шаг 4. Решаем одномерную задачу:

f (x0 + βS 0 ) =10 − 2β 2 → max

0≤β≤β*

Определяем β* :