stat04
.pdf21
ЗАДАНИЕ С-3
Приведение пространственной системы сил к заданному центру.
Определить главный вектор R и главный момент M 0 заданной системы
сил относительно центра O. Схемы вариантов приведены на рис. 14–18, необ- ходимые данные - в таблице 3.
Таблица 3.
№№ |
a=OE, |
b=OL, |
c=OB, |
F1, |
F2, |
F3, |
F4, |
F5, |
α, |
β, |
М, |
п/п |
м |
м |
м |
H |
H |
H |
H |
H |
град |
град |
Нм |
1 |
15 |
20 |
15 |
9 |
14 |
12 |
14 |
15 |
60 |
30 |
10 |
2 |
30 |
40 |
30 |
12 |
18 |
16 |
18 |
20 |
75 |
15 |
20 |
3 |
45 |
60 |
45 |
15 |
22 |
20 |
22 |
25 |
30 |
60 |
30 |
4 |
60 |
80 |
60 |
18 |
26 |
24 |
26 |
30 |
15 |
75 |
40 |
5 |
15 |
20 |
15 |
21 |
30 |
28 |
30 |
35 |
60 |
30 |
10 |
6 |
30 |
40 |
30 |
24 |
34 |
32 |
34 |
40 |
75 |
15 |
20 |
7 |
45 |
60 |
45 |
27 |
38 |
36 |
38 |
45 |
30 |
60 |
30 |
8 |
60 |
80 |
60 |
30 |
42 |
40 |
42 |
50 |
15 |
75 |
40 |
9 |
15 |
20 |
15 |
33 |
46 |
44 |
46 |
55 |
60 |
30 |
10 |
10 |
30 |
40 |
30 |
36 |
50 |
48 |
50 |
60 |
75 |
15 |
20 |
11 |
45 |
60 |
45 |
12 |
54 |
16 |
54 |
20 |
30 |
60 |
30 |
12 |
60 |
80 |
60 |
15 |
58 |
20 |
58 |
25 |
15 |
75 |
40 |
13 |
15 |
20 |
15 |
18 |
17 |
24 |
17 |
30 |
60 |
30 |
10 |
14 |
30 |
40 |
30 |
21 |
19 |
28 |
19 |
35 |
75 |
15 |
20 |
15 |
45 |
60 |
45 |
24 |
21 |
32 |
21 |
40 |
30 |
60 |
30 |
16 |
60 |
80 |
60 |
27 |
23 |
36 |
23 |
45 |
15 |
75 |
40 |
17 |
15 |
20 |
15 |
30 |
25 |
40 |
25 |
50 |
60 |
30 |
10 |
18 |
30 |
40 |
30 |
33 |
27 |
44 |
27 |
55 |
75 |
15 |
20 |
19 |
45 |
60 |
45 |
36 |
29 |
48 |
29 |
60 |
30 |
60 |
30 |
20 |
60 |
80 |
60 |
9 |
31 |
12 |
31 |
15 |
15 |
75 |
40 |
21 |
15 |
20 |
15 |
9 |
14 |
12 |
14 |
15 |
60 |
30 |
10 |
22 |
30 |
40 |
30 |
12 |
18 |
16 |
18 |
20 |
75 |
15 |
20 |
23 |
45 |
60 |
45 |
15 |
22 |
20 |
22 |
25 |
30 |
60 |
30 |
24 |
60 |
80 |
60 |
18 |
26 |
24 |
26 |
30 |
15 |
75 |
40 |
25 |
15 |
20 |
15 |
21 |
30 |
28 |
30 |
35 |
60 |
30 |
10 |
26 |
30 |
40 |
30 |
24 |
34 |
32 |
34 |
40 |
75 |
15 |
20 |
27 |
45 |
60 |
45 |
27 |
38 |
36 |
38 |
45 |
30 |
60 |
30 |
28 |
60 |
80 |
60 |
30 |
42 |
40 |
42 |
50 |
15 |
75 |
40 |
29 |
15 |
20 |
15 |
33 |
45 |
44 |
46 |
55 |
60 |
30 |
10 |
30 |
30 |
40 |
30 |
36 |
50 |
48 |
50 |
60 |
75 |
15 |
20 |
22
Рис. 14
23
Рис. 15
24
Рис. 16
25
Рис. 17
26
Рис. 18
27
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Дано: |
F1 = 15 |
Н; |
F2 = 60 Н ; |
F3 = 30 Н; F4 = 20 Н; F5 = 25 Н; |
M = 10 Нм; |
a = 0,5 |
м; |
b = 0,4 м; |
c = 0,3 м; α = 600; β = 300 |
(рис. 19а).
РЕШЕНИЕ
Прежде, чем приступить к определению главного вектора R заданной сис- темы сил и ее главного момента M 0 относительно начала координат, введем уг- лы γ, φ и разложим силу F4 на две составляющие: F4¢ – на плоскости XOY и
F (3) |
- перпендикулярно к ней (рис.19а). |
|
||
4 |
|
|
|
|
|
F′ = F ×sin β =10 Н, |
F (3) |
= F ×cos β =17,32 Н. |
|
|
4 |
4 |
4 |
4 |
Проекцию силы F4 на ось найдем, как сумму проекций составляющих F4¢ и F4(3) , а ее момент относительно оси, согласно теореме Вариньона, будет равен
сумме моментов F4¢и F4(3) относительно этой же оси.
Для проекций главного вектора на координатные оси получим выражения:
|
|
|
5 |
|
|
|
|
= -F1 + F2 ×cosϕ + F4¢ ×sinγ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Rx = åFkx |
, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
= F3 ×cosα - F4¢ ×cosγ - F5 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ry = åFky |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
= -F2 ×sinϕ + F3 ×sinα + F4(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Rz = åFkz |
, |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||||||||||
где |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sinγ = |
|
OA |
= |
|
|
|
a |
|
= 0,78 |
, |
cosγ = |
OD |
|
= |
|
|
|
b |
|
= 0,62 , |
||||||||
|
AD |
|
|
|
|
|
|
|
AD |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a2 + b2 |
a2 + b2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sinϕ = |
ON |
|
= |
|
|
|
|
c |
|
|
= 0,51 |
, |
cosϕ = |
|
|
OA |
= |
|
|
|
a |
|
|
= 0,86 . |
||||
AN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AN |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
a2 + c2 |
|
|
|
|
|
|
a2 + c2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставив в (1) – (3) выражения для F4¢и F4(3) , заданные значения F1, F2,
…, F5, α, β, а также найденные значения тригонометрических функций углов φ и γ, получим
Rx = 44,27 Н, |
Ry = -16,25 Н, |
Rz =12,31 Н. |
Модуль главного вектора
28
а)
б) |
в) |
Рис. 19
29
R = 
(Rx )2 + (Ry )2 + (Rz )2 = 
(44,27)2 + (-16,25)2 + (12,31)2 = 48,74 Н.
Направляющие косинусы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
Rx |
|
|
|
44,27 |
|
|
|
||
cos(R,i )= |
|
|
= |
= 0,91 , |
||||||
|
R |
48,74 |
||||||||
r r |
|
|
|
|
|
|||||
|
Ry |
|
-16,25 |
|
||||||
cos(R, j )= |
|
= |
= -0,33 , |
|||||||
|
R |
48,74 |
|
|||||||
r r |
|
|
|
|
||||||
|
Rz |
|
|
12,305 |
|
|
||||
cos(R,k )= |
|
|
= |
= 0,25 . |
||||||
|
R |
|
|
48,74 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Проекции главного момента системы сил относительно начала координат на координатные оси равны суммам моментов всех сил относительно соответ- ствующих координатных осей. Поэтому, будем иметь:
|
Mox |
5 |
r |
|
|
|
= M x = åmx (Fk ) = F3 × h3 + F4(3) ×b + F5 ×c , |
(4) |
|||
|
|
k =1 |
r |
|
|
|
Moy |
5 |
= F2 × h2 - F3 ×sinα × a , |
|
|
|
= M y = åmy (Fk ) |
(5) |
|||
|
|
k =1 |
r |
|
|
|
Moz |
5 |
|
|
|
|
= M z = åmz (Fk ) = F1 ×b + F3 ×cosα × a - F4¢ × h4 - F5 × a + M , |
(6) |
|||
|
|
k =1 |
|
|
|
Из рис. 19 |
|
|
|
|
|
h2 |
= a ×sinϕ = 0,5×0,51 = 0,26 |
м, |
|
||
h3 |
= AE × sinα = (AB - BE) × sinα = |
|
|||
|
= (a - c ×ctgα) ×sinα = (0,5 - 0,3×ctg600 ) ×sin 600 = 0,28 м, |
|
|||
h4 |
= b ×sinγ = 0,4×0,78 = 0,31 |
м. |
|
||
Подставив в (4) – (6) числовые значения всех необходимых величин, полу-
чим:
Mox = 22,92 Нм, |
Moy = 2,45 Нм, |
Moz = 7,87 Нм |
Модуль главного момента
Mo = 
(Mox )2 + (Moy )2 + (Moz )2 = 
22,922 + 2,452 + 7,872 = 24,36 Н×м.
Направляющие косинусы
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
r |
r |
Mox |
|
|
|
22,92 |
|
|
||
cos(Mo |
,i )= |
= |
|
= 0,941, |
||||||
|
|
24,36 |
|
|||||||
r |
|
|
Mo |
|
|
|||||
r |
|
Moy |
|
|
2,45 |
|
|
|||
cos(Mo |
, j )= |
|
= |
|
= 0,101, |
|||||
|
|
|
24,36 |
|||||||
r |
|
|
Mo |
|
||||||
r |
|
Moz |
|
|
|
7,87 |
|
|
||
cos(Mo |
,k )= |
|
= |
|
= 0,323. |
|||||
|
|
24,36 |
||||||||
|
|
|
Mo |
|
||||||
Примечание. При вычислении моментов сил относительно координатных осей во многих случаях целесообразно разлагать силу на составляющие, парал- лельные осям координат, а затем применять теорему Вариньона. Проиллюстри-
руем этот метод на примере вычисления момента силы F4 относительно оси Oz.
Выше показано |
разложение силы F4 |
на |
две составляющие F4¢ и F4(3) |
(F4 = F4¢ + F4(3) ) . |
Далее разложим силу |
F4¢, |
расположенную в координатной |
плоскости Oxy на две составляющие F4(1) и F4(2) , параллельные соответственно
осям Ox и |
|
Oy (рис. С-3.6б). |
|
Следовательно, F4¢ = F4(1) + F4(2) , а |
||||||||||
F4¢ = F4(1) + F4(2) + F4(3) , |
то-есть сила F4 разложена на составляющие F4(1) , F4(2) , |
|||||||||||||
F (3) , параллельные осям координат (рис. 19в). Модули сил F (1) |
и F (2) легко вы- |
|||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
числяются: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F4(1) = F4¢ ×sinγ = F4 ×sin β ×sinγ = 7,8 |
Н, |
|
||||||||||||
F4(2) = F4¢ ×cosγ = F4 ×sin β ×cosγ = 6,2 |
Н, |
|
||||||||||||
На основании теоремы Вариньона получим |
|
|||||||||||||
M |
z |
(F ) = M |
z |
(F (1) ) + M |
z |
(F (2) ) + M |
z |
(F (3) ) , |
|
|||||
|
4 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
4 |
|
||||
M |
z |
(F (1) ) = -F (1) × AB = -3,12 |
Н×м, |
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
z |
(F (2) ) = M |
z |
(F |
(3) ) = 0 . |
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, M z (F4 ) = -3,12 |
Нм. |
|
|
|
|
|||||||||