Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЧМ В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЁТАХ(часть 1)_v1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

2.1.3 Решение СЛАУ методом Гаусса с выбором главных элементов по столбцу

Приведѐм решение рассмотренной выше системы, в котором для гарантии вычислительной устойчивости перед исключением неизвестных из уравнений с k го по n ое выбирают и переставляют с k ым (I-ым на шаге k=1) то уравнение (II-ое см. решение), в котором

коэффициент (главный элемент) при неизвестном

xk наибольший по

абсолютной величине. Шаг k=1:

2x1

1x2

1x3

(I)

4x1

3x2

0x3

(II)

3x2

0x3

4x1

(II) перестановка уравн.

2x1

1x2

1x3

(I)

2x1

2x2 3x3 9 (III)

9 (III)

Исключение неизвестного xk x1 выполняют по схеме, заданной в нумерации уравнений:

4x1 3x2				0x3				2	(II)	4x1		3x2			0x3			2	(II)
2x 1x	2	1x			3	1			(I ) I - (2/4) (II)		0 0.5x			2	1x		3	0	(I )
1
2x 2x				3x				9	(III ) (III) ( 2/4) (II)						3x			10	(III )
			2				3			0 3.5x			2			3
1

На втором ( k 2 ) шаге также сначала выбирается главный элемент

среди коэффициентов при неизвестном				xk x2	среди уравнений с
k го по n ое и переставляют местами строки так, чтобы строка с
главным элементом стала k ой . Шаг k=2:
4x1 3x2	0x3	2	(II)	4x1 3x2		0x3	2 (II)
	1x3	0			3.5x2	3x3	10(III )
0 0.5x2			(I ) перестановка уравн. 0
	3x3 10		(III )		0.5x2	1x3	0 (I )
0 3.5x2				0

Затем выполняют исключение неизвестного xk						x2 из строк с k 1 ой
по n ую (здесь из 3-ей строки) по схеме:
4x1 3x2		0x3	2	(II)		4x1 3x2	0x3	2	(II)
	3.5x2	3x3	10	(III )		0 3.5x2	3x3	10	(III )
0
	0.5x2	1x3	0	(I ) (I ) - (-0.5/3.5) (III )				1.43	(I )
0					0 0x2 1.43x3

Этим завершается прямой ход метода исключения Гаусса.

Обратный ход (или обратная подстановка) состоит в вычислении xn x3 из последнего уравнения: xn x3 1.43/1.43 1, а затем его под-

становки в уравнения, расположенные выше, и вычислении сначала

x2 (10 3 x3 ) / 3.5 (10 3 1) / 3.5 2 из 2-го уравнения,	а затем и
x1 (2 3x2 0 x3 ) / 4 (2 3 2 0) / 4 1 из 1-го уравнения.

2.1.4 Характеристики метода Гаусса (прямых методов)

Число арифметических операций, выполняемых при решении СЛАУ по рассмотренному алгоритму метода Гаусса, выражается (для больших n) формулой 2n3/3, в которой опущены слагаемые с меньшими степенями при n.

Относительная погрешность вычисления неизвестных зависит от числа обусловленности cond (A) матрицы системы, от числа t разрядов (обычно двоичных, т.е. s=2), отводимых для хранения мантис-

сы

чисел,

оценивается

формулой

k f (n) cond (A) s

, в которой

- норма вектора –

x x*

общая мера вектора (в частности, длина вектора тоже есть норма). Коэффициент k порядка единицы (обычно не превышает s), а f (n) n32 , причѐм степень можно существенно уменьшить (до ½), если вычислять скалярные произведения с двойной точностью. Отметим, что повысить точность полученного приближѐнного реше-


~	(добавкой x ) с помощью итерационного уточнения – повтор-
ния x	(добавкой x ) с помощью итерационного уточнения – повтор-
ного решения системы		~	b	(где	~	~
ного решения системы		A x b	b	(где	b	Ax ) – можно лишь

увеличив точность вычисления главной составляющей (повторного) решения - вычисления скалярного произведения.

Рассмотренный алгоритм (и алгоритмы с LU-разложением) применяют для решения систем с плотно заполненными матрицами. Для часто встречающихся в технике положительно определѐнных матриц и матриц специальной структуры, в частности, ленточных, используются эффективные модификации разложений прямыми методами. Для больших разреженных матриц более эффективными считаются итерационные методы.

2.2Программное обеспечение

ВExcel не включена функция, непосредственно предназначенная для решения СЛАУ. И хотя решение можно получить через обраще-

ние матрицы, но это не правильный путь – более трудоемкий и менее точный. Сравните два способа вычисления x из одного уравнения 3x=6: через обращение x=(1/3)*6 и простое деление x=6/3. Поэтому для решения в Excel СЛАУ методом Гаусса в лаборатории можно использовать (из папки C:\Materials\VBA_Excel) модуль Math.bas, в который нами включены процедура KGAUSS и функция xCdGauss, определѐнная пользователем. Процедуру KGAUSS можно вызывать из макроса; еѐ заголовок (и текст см. в Math.bas):

Sub KGAUSS(ByRef Ab( ) As Double, ByVal N As Long, _

ByRef x( ) As Double, ByRef IAI As Long) , где:

Ab(? To N, ? To N+1) – расширенная (включающая столбец правой части) матрица системы (?={0| 1}),

N – макс. индекс в первой размерности у массивов Ab и x.

x(? To N) – вектор решения,

IAI ~ признак вырожденности: IAI=0

– гл. элемент 0, IAI=1 – не 0.

Функция, определѐнная пользователем, xCdGauss используется следующим образом. Для решения СЛАУ с расширенной матрицей A1:D3 коэффициентов, например,

показанной в таблице 2.1, выделяется горизонтальный диапазон, например, A4:D4 из N+1 ячеек (N=3 – число уравнений). Затем нажимают клавишу F2 и выбирают в ленте: Формулы,

Вставить функцию, Категория -

Рисунок 2.4.

Таблица. 2.1.

	A		B		C		D
1	2	1		1		7
2	4	3		0		10
3	-2	2		3		11
4	1		2		3		10,72727

Определѐнные пользователем,

xCdGauss, OK. В возникшем окне Аргументы функции (см. рис. 2.1) указывают для аргумента Ab диапазон A1:D3 ячеек с коэффициентами расширенной матрицы СЛАУ, а затем нажимают Ctrl+Shift+Enter. В ячейках A4:C4 появятся вычисленные значения неизвестных СЛАУ, а в ячейке D4 число обусловленности матрицы системы.

Из MatLab для решения СЛАУ можно использовать функцию linsolve в команде: x=linsolve(A, b). Она использует в решении LUразложение матрицы. Заметим, что на месте вектора b можно указать матрицу из нескольких различных векторов (для нескольких СЛАУ с одинаковой матрицей A - в технике это соответствует различным нагружениям одной и той же системы). При решении выполняется одно единственное LU-разложение матрицы и обратные подстановки для всех векторов.

2.3 Задание к расчетно-графической работе №2

1.Для предложенного варианта СЛАУ выполнить (в Excel) пошаговое решение методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Перенести в отчѐт результаты шагов решения.

2.Проверить полученное в п.1 решение СЛАУ с помощью «стандартных» программных средств: вычислениями в MatLab, выполнением процедур и функций в Excel. Описать в отчѐте этапы и результаты выполненной проверки.

2.3.1Пример выполнения варианта задания

1.Описание пошагового решения в Excel СЛАУ методом Гаусса

(с выбором главных элементов по столбцу)

Для изучения решения СЛАУ методом Гаусса в Excel следует скопировать в свою папку и запустить файл C:\Materials\ VBA_Excel\GaussMethod.xlsm, с которым подключаются три макроса:

E - формирует единичную матрицу,

L – нормирует вектор-столбец делением на первый элемент, x – решает систему с верхней треугольной матрицей.

Они запускаются щелчком мыши по световой круглой кнопке возле надписи с соответствующей буквой (см. таблицу 2.2). Единичную матрицу можно также вызвать, запустив в MatLab (из Excel) выполнение функции eye(n). Перестановки и исключения выполняются умножением на вспомогательные матрицы, которые формируются

вручную из единичной. Так для выполнения перестановок 1-ой и 2-ой строк расширенной матрицы Ab надо слева на неѐ умножить единичную, у которой в этих строках единицы с главной диагонали сдвинуты во 2-ой и 1-ый столбцы.

При пошаговом решении СЛАУ в Excel (на этапе 1 ) расширенную матрицу Ab1 помещаем в диапазон G2:J4 (см. таблицу 2.2). В 1-ом столбце Ab1 главный элемент равен 4, он находится во 2-ой

строке. В соответствии с этим, (на этапе	2	) слева в ячейках B2:D4
набиваем (или переделываем из единичной)		матрицу		перестановок
P1, которая будет задавать перестановки 1-ой и 2-ой строк. Под мат-

рицей Ab1 (в диапазоне G6:J8) размещаем (на этапе			3	) матрицу, ко-
торая получится как результат умножения P1 на Ab1.

Таблица 2.2

	A	B	C	D	E		F	G	H	I		J
1		Матрица перестановок (шаг k=1)				2		Расширенная матрица СЛАУ				1
2		0	1		0			2	1	1		7
3	P1=	1	0		0		Ab1=	4	3	0		10
4		0	0		1			-2	2	3		11
5		Матрица исключений (шаг k=1)				4		Строки переставлены (шаг k=1)				3
6		1	0		0			4	3	0		10
7	L1=	-0,5	1		0		P1*Ab1=	2	1	1		7
8		0,5	0		1			-2	2	3		11
9		Матрица перестановок (шаг k=2) 6						Матрица СЛАУ после шага k=1				5
10		1	0		0			4	3	0		10
11	P2=	0	0		1		Ab2=L1(P1Ab1)=	0	-0,5	1		2
12		0	1		0			0	3,5	3		16
13		Матрица исключений (шаг k=2)				8		Строки переставлены шаг k=2				7
14		1	0		0			4	3	0		10
15	L2=	0	1		0		P2*Ab2=	0	3,5	3		16
16		0	0,14286		1			0	-0,5	1		2
17								Матрица СЛАУ после шага k=2				9
18								4	3	0		10
19							Ab3=L2(P2Ab2)=	0	3,5	3		16
20								0	0	1,4286	4,2857


21	10 Решение СЛАУ с верхней треугольной матрицей x1,x2, x3=	1	2	3

Напомним, как выполняется в Excel умножение матриц. Для этого: выделяем G6:J8, нажимаем F2, в ячейку G6 вставляем как формулу функцию МУМНОЖ. Вызвав эту функцию, указываем сначала диапазон B2:D4 первой матрицы, а затем – второй G2:J4. Для записи

x1 , x2 ,

матрицы результата в диапазон, начинающийся в ячейке G6, следует нажать Ctrl+Shift+Enter.

После получения матрицы P1*Ab1 с переставленными 2-ой и 1-ой строками готовим (на этапе 4 ) слева матрицу L1 для исключения не-

известных из строк со 2-ой по 3-ью (c k+1 по n) первого столбца. Для этого выделяем диапазон B6:D8 (строк c k по n) и запускаем макрос E создания единичной матрицы (по Ctrl+Shift+E или кликнув по кружку E - фигуры, с которой мы связали этот макрос). Затем выделяем в матрице P1*Ab1 1-ый столбец (G6:G8) с главным элементом. Копируем значения из G6:G8 и, выделив B6:B8, помещаем специальной вставкой (значения) в столбец единичной матрицы. Не сбрасывая выделение B6:B8, запускаем (по Ctrl+Shift+L или кликнув по L-кружку фигуры) макрос Lk нормирования этого вектора. В результате получаем

показанную в таблице 2.2 (для этапа 4	) матрицу L1. После умно-
жения (на этапе 5 ) этой матрицы	на расширенную матрицу

P1*Ab1 (диапазон G6:J8) заносим в G10:J12 матрицу произведения Ab2=L1*(P1*Ab1) с исключенным неизвестным x1 из G11:G12.

Аналогичным образом действуем далее (на этапах 6 , 7 , 8 , 9 ) до получения матрицы Ab3 (G18:J20), у которой все элементы под главной диагональю (левой (3х3)-подматрицы Ab3) равны нулю. Расширенная матрица Ab3 соответствует СЛАУ с верхней треугольной матрицей; она просто решается последовательным вычислением

x3 - обратной подстановкой. Еѐ алгоритм реализован в макросе TrSolve, который запускаем по Ctrl+Shift+x (или кликнув по соответствующему x-кружку фигуры) при предварительно выделенной расши-

ренной матрице (G18:J20). Выводим (на этапе 10 ) вычисленные неизвестные x1 , x2 , x3 системы в ячейки G21:I21 под соответствующими столбцами верхней треугольной матрицы Ab3.

2. Проверка полученного решения

Рассмотренная далее проверка решения выполнена в режиме подключения к Excel пакета MatLab. Режим предварительно устанавливается в меню «Пара-

метры Excel».

а) Отсылаем по частям записанную в ячейках листа Excel расширенную матрицу в MatLab. Для этого сначала выделяем ячейки с матрицей, а затем, вызвав связь с MatLab (кнопкой связи или из контекстного меню), выбираем «Send data to MATLAB» и указываем имя матрицы для MatLab, например, «A» (латинское) и щѐлкаем по «OK». Потом таким же образом отсылаем в MatLab вектор правых частей, в переменную «b». Затем вызываем запуск «Run MATLAB command» команды в MatLab, набиваем в поле окна ввода команду x=A\b (или x=linsolve(A, b) ) и щѐлкаем по «OK». Для вызова из MatLab значений вектора решения «x» сначала выделяем первую ячейку под вектор решения, вызываем команду «Get data from MATLAB», в окне ввода набиваем «x» и щѐлкаем по «OK».

б) Для проверки в Excel можно написать обычный макрос, который прочитает расширенную матрицу с листа и обратится к процедуре KGAUSS. А можно использовать функцию, определѐнную пользователем, xCdGauss, как это описано в разделе «Программное обеспечение».

2.3.2 Варианты заданий (варианты СЛАУ)

			1 1		2					4			0			1	3	2
							b
1.	A		3 1 1					13			16.	A		1		1	2	b	5

	2 3 1							1						4		1	2		7

				1	3 2					7		A			3 1 1			b		7
2.	A 2				6	1	b			3	17.				2	5	3		7
				5	1 4					7					1 1		1			1

		5 8			1			4							2 1		3			11
3.	A	1		2	3		b	6			18.	A			0	2	3	b			9
		2		3 2				3							1 3		2			12

4.		0 1 1						3			19.		3 4				2			5
	A			3 1 2			b		15			A			1 5		1	b		6

		1 3 2							9						2	1	3		9
											47

		1		1	1			7
5.	A	3		2	0	b	5
		2		1	6		14
		2		1	6		14
	A		2	1	1	b		1
6.	A		1 1		1	b		6
			3	1	1			4
			3	1	1			4

		0	2	7		3
7.	A	2	1	3	b	3
		3	4
		3	4	5		7


			2 1 1				7
8.	A		1 3 2			b	4
			2 1 4
			2 1 4			2
9.		2		3	4		11
	A	1		2	3	b	2
		3		2	5		9
		3		2	5		9
			1	2	1		3
10.	A		3	5 3		b	2
			1 7		2		12
			1 7		2		12

	A		2	3	1			2
11.	A		2	1	3	b		6
			3	2				5
			3	2	1			5
		1		2	4		5
12.	A	5		1	2	b	7
		3	1		1
		3	1		1		2


		2		5	3		0
13.	A	4		3	2		b 11
		5		6	2
							10
		2		1	1		b	0
14.	A	3		4		2		16
		3		2	4
								4
			1	1	2			5
15.	A		2	1	2		b	7
			4	1	4			1

		2	1	3		5
20.	A	3	4	5	b	4
		2	1			8
		2	1	4		8

		1		5	1	b		7
21.	A	2		1	1	b		5
		3		2	4
		3		2	4		18
	A		2	5	5		3
22.	A	11 3			1	b	14
			1	1	1			6
			1	1	1			6

			1		1		1				b		0
23.	A		1			1	2						8
			7			5	2
												12
		2				3	1					4
24.	A	1				0	1			b		6
		1										3
					1 1
25.				3		1	5						10
	A			2		3 4					b		8

				5		3	4
													5
	A		1			2	2							1
26.			1			1	2				b 16
						1	1							2
			1
	A				2	1 3					b					1
27.					1	3			1							5
					5	2		1
																2
	A			3		1	2							5
28.				2		3		1			b			17
				5		1		3						19

	A				8 3		4								9
29.					3 4			1			b 3
					4 5		8								5

					2 1 3						b					9
30.	A				1	2		1								13
					3 1											6
							1

3РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №3 Решение СЛАУ итерационными методами

3.1Краткие теоретические сведения

3.1.1Об итерационных методах

Вряде случаев для решения СЛАУ удобно использовать итерационные методы (или методы последовательного приближения). В них вектор x0 начального приближения корректируется на после-

дующих k шагах приближения (до xk ) и в случае сходимости позволяет приблизиться к точному решению x* , к которому стремится xk при бесконечном увеличении числа k точно выполненных шагов. Реально вычисления прекращают при достижении требуемой точности; из-за этого в решение и при абсолютно точных вычислениях образуется погрешность метода. Этой погрешности нет в прямых методах (поэтому их также называют точными), но в результатах присутствует накопленные ошибки округлений.

Для решения СЛАУ Ax=b методом последовательных приближений сначала необходимо представить систему в подходящей для итераций форме. Общий вид преобразованной системы

x Cx d ,

(3.1)

позволяет получить итерационную формулу, например, для разбираемого далее метода простых итераций:

x(k 1) Cx(k ) d ,

(3.2)

где надстрочные (k+1) и (k) здесь - номера приближений (итераций). Преобразование к виду (3.1) можно выполнить по разным схемам; здесь будет рассмотрена одна часто встречаемая схема.

3.1.2 Метод простых итераций

Для получения итерационной формулы используем специальную схему преобразования системы: выразим неизвестные, расположенные на главной диагонали, следующей системы:

	6x1 4x2	1x3	3	(I) (II)
	2x1 5x2	3x3	11	(II) (III)

			10	(III) (I)
0x1 3x2 4x3

x1(k 1)x2(k 1)x3(k 1)

0x1(k )

2x1(k )

0x1(k )

4x2(k ) 1x3(k ) 6 36

0x3(k ) 3x3(k ) 5 115

3x2(k ) 0x3(k ) 4 104

Выберем какой-то вектор x(0) начального приближения, например, x(0) 36 11 5 104 T 0.5 2.2 2.5 T , и найдѐм последующие приближения x(1) ,…, x(15) :

x1(1)		0x1(0) 4 2.2 1 2.5		6 0.5 1.38				1.14			1.11

	(1)		(0)		5 2.2 0.5		x(13)			x(15)
	x2	2 0.5	0x2 1 2.5			,…,		1.77	,...,		1.82
	x(1)	0 0.5 3	2.2 0 x(0)		4 2.5 0.85
								0.89			0.91
	3		3

В этом методе, называемом методом простых итераций или мето-

дом Якоби, на каждом шаге все компоненты вектора x(k ) использовались для вычисления вектора нового приближения x(k 1) . Можно заметить, что значения компонент вектора x(k ) постепенно приближаются к решению x* 1 2 1 T системы уравнений (с номерами I, II, III) из раздела 2, в которой здесь предварительно было выполнено преобразование, обозначенное в нумерации уравнений. Это предварительное преобразование исходной системы из раздела 2 выполнено с целью обеспечить сходимость итерационного процесса. Рассмотрим этот важный для итерационных методов вопрос.

Условия сходимости метода

Усматривая аналогию в решении СЛАУ Ax=b, x=? с методом простой итерации для одного скалярного уравнения a·x=b, x=?, запишем для них итерационные формулы:

x(k 1) c x(k ) d (x(k ) ) ,	x(k 1)	Cx(k ) d .	(3.3)
x * x(k 1) c (x * x(k ) ) ,	x* x(k 1) C(x* x(k ) ) .		(3.4)
Для указанного слева одного	линейного	уравнения неравенство

c 1 является достаточным условием сходимость к корню при любом начальном x(0) . Если ввести скалярную меру x , называемую нормой вектора, характеризующую размер вектора, применить

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20181.53 Mб34Численные методы.doc
#
12.09.20193.86 Mб17Чистовик металл сс.doc
#
22.11.201968.61 Кб4Чистяков в 2х т т1 Соборное уложение План семин...doc
#
11.11.2019301.57 Кб4Чистяков. в 9т т1 Русск правда С.36-49. 64-73.doc
#
11.11.2019670.21 Кб3Чистяков.в 9т т1 Русск пр С.80-130.doc
#
05.06.20152.72 Mб41ЧМ В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЁТАХ(часть 1)_v1.pdf
#
15.11.2019809.47 Кб3Чмстяков В 9 т.т11 Псков.ссуд грам С.322-387..doc
#
13.08.20191.28 Mб39ЧПУ ЛАБ 2ТАП фрезерование в печать интервал 1,5...doc
#
27.03.201656.83 Кб37Шаблон оформления РГР.doc
#
27.03.2016243.2 Кб29Шаронов. Adidas.doc
#
05.06.2015300.54 Кб38шатун для мсик.doc