![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Mec-lab-2006
.pdf![](/html/2706/69/html_zocWOD3SJ7.brsW/htmlconvd-lhrpw011x1.jpg)
ми, отмеченными на расстоянии 10 мм (20 мм) друг от друга, составляло 1,2,5,10 единиц измеряемой величины. В конце оси указывают откладываемую величину и ее единицу измерения, а также порядок масштаба (10 ± К, где k — целое число). Типичной ошибкой при построении графиков является нанесение эксперимен- тальных значений на оси координат, что затрудняет работу с графиком.
Масштаб нужно выбирать так, чтобы кривая заняла весь лист. Предпочти- тельный размер графика не менее 100 см2. Начало отсчета необязательно начи- нать с нуля; иногда удобнее выбрать округленное число, близкое к наименьшему результату, и таким образом увеличить масштаб.
Точки на график нужно наносить тщательно и точно, обводя их каким-либо знаком (рис. 4): o,x,□ и т.д.
По нанесенным на график точкам проводится плавная линия. При этом
нужно руководствоваться следующими правилами:
а) чем больше изгибов и неровно- стей имеет линия, тем она менее веро- ятна;
б) сумма отрезков отклонений точек
от линии в одну сторону должна быть равна сумме отрезков отклонений точек от этой же линии в другую сторону;
в) по возможности не должно быть очень больших отклонений точек от линии; лучше иметь 2–3 небольших отклоне- ния, чем одно большое. На графике пишут заголовок, содержащий точное и крат- кое описание того, что изображено.
Если зависимость известна, то проводят теоретическую линию.
Правила вычислений и запись результата
При проведении расчетов или измерений необходимо ограничиться разумной точностью. Результат записать так, чтобы значащие цифры, стоящие перед по- следней, были достоверны, т.е. разряд последней цифры был равен разряду по- грешности измерений.
При округлении результата следует пользоваться следующими правилами. Ес- ли округляемая цифра меньше 5, то ее просто отбрасывают; если больше 5, то к последней неотбрасываемой цифре прибавляют единицу; если равна 5 и за ней нет значащих цифр, то округляют до ближайшего четного числа.
При записи значения больших или малых по порядку величин общепринято
использовать множитель 10 ± k , где k — целое число. Пример. Вычисление момента инерции тела по формуле
11
I = mr 2 |
é |
|
ght 2 |
ù |
|
ê |
|
|
|
- 1ú , |
|
|
( h0 + h ) |
||||
|
êh0 |
ú |
|||
|
ë |
|
|
|
û |
в которой значения величин m = 1,05 кг, r = 11,3 мм, g = 9,81 м/с2, h0 = 50,0 см, h = 38 см, t = 6,42 с.
|
−2 |
|
2 |
é |
9,81 × 0,38 × 6,422 |
ù |
2 |
|
I = 1,05(1,13 × 10 |
|
) |
|
ê |
|
- 1ú |
= 0,0624 кг×м |
. |
|
|
0,50( 0,50 + 0,38 ) |
||||||
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
Допустим, что суммарная абсолютная погрешность измерений включает в се- бя случайную и систематическую погрешности и равна 1,2×10–2 кг×м2. Случайная погрешность определена с доверительной вероятностью Р = 0,95. Результат запи- сывают в виде доверительного интервала, вынося за скобку множитель 10±n, ко- торый показывает порядок измеряемой величины. При этом среднее значение ве- личины округляют так, чтобы последние цифры величины и погрешности были в одном разряде. Так, в нашем примере
I = ( 6,2 ± 1,2 )10−2 кг×м2.
12
![](/html/2706/69/html_zocWOD3SJ7.brsW/htmlconvd-lhrpw013x1.jpg)
ВВОДНАЯ РАБОТА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
Цель работы: получить навыки в обработке результатов измерений, оценке погрешностей, определить ускорение свободного падения.
Оборудование: маятник, секундомер, линейка.
Описание метода
Математический маятник представляет собой точечное тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити. Его период колебаний определяется формулой
Гюйгенса
T = 2π |
|
l |
|
, |
(1) |
|
g |
||||||
|
|
|
|
|
где l — длина нити, g — ускорение свободного падения.
Формулу (1) можно использовать для экспериментального определения уско- рения свободного падения по результатам прямых измерений расстояния l и пе- риода колебаний Т для шарика на нити:
g = |
4π 2l |
. |
(2) |
|
T 2 |
||||
|
|
|
Описание установки
Маятник представляет собой шарик, подвешенный на нити к кронштейну на стойке. На стойке установлен фотоэлемент. На основании стойки расположен электронный секундомер. Период колебаний рекомендуется определять, для по- вышения надежности и точности, по времени 10 колебаний Т = t /10. Для этого отвести шарик на небольшой угол, в пределах 50 и отпустить. При нажатии кноп- ки “Сброс“ электронного секундомера, начинается отсчет времени и числа коле- баний. В момент, когда происходит десятое колебание, а на табло еще светится цифра 9, нажать кнопку “Стоп“. Тогда после окончания десятого колебания се- кундомер остановит счет.
Длину нити можно изменять, наматывая ее на барабанчик. Расстояния от точ- ки подвеса до центра шарика можно измерить по шкале на стойке или линейкой.
Выполнение работы
1. Включить секундомер. Установить некоторую длину нити. Подвести фото- элемент так, чтобы риски на фотоэлементе или центр луча совпали с риской цен- тра шарика. Измерить расстояние от точки подвеса нити, где она выходит из кронштейна, до центра шарика по шкале на стойке. Оценить систематическую
13
![](/html/2706/69/html_zocWOD3SJ7.brsW/htmlconvd-lhrpw014x1.jpg)
погрешность измерения как точность установки центра луча на центр шарика. Ре- зультаты записать в таблицу.
2. Отклонить шарик от положения равновесия на небольшой угол и отпус- тить. Проследить, чтобы шарик качался
перпендикулярно лучу и не задевал за фотоэлемент. Измерить период колеба- ний по времени 10 колебаний Т=t / 10.
Оценить погрешность измерения q Т = = q t /10, где q t — единица последнего разряда табло секундомера.
Повторить опыт не менее 5 раз, из- меняя длину нити от наибольшей, по шкале стойки, до наименьшей, равной примерно 10 диаметрам шарика (чтобы маятник еще можно было считать мате- матическим). Результаты записать в таблицулицу. .
|
|
|
|
|
Таблица |
||
l, м |
T, c |
g, м/с2 |
á ñ |
2 |
á ñ 2 |
|
2 2 |
|
|
|
(gi– g ), м/с |
|
(gi– g ) , (м/с ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,518 |
1,4382 |
9,87 |
+0,06 |
|
36×10–3 |
|
|
0,459 |
1,3534 |
9,89 |
+0,08 |
|
64×10–3 |
|
|
0,386 |
1,2478 |
9,77 |
– 0,04 |
|
16×10–3 |
|
|
0,299 |
1,1063 |
9,65 |
– 0,15 |
|
225×10–3 |
|
|
0,190 |
0,8707 |
9,88 |
+0,07 |
|
49×10 |
–3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q l = 0,001 |
qТ = 0,0001 |
ágñ = 9,81 |
å(g–ágñ) = |
|
å(g–ágñ)2 = |
||
|
|
|
=0,02 |
|
=390×10–4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обработка результатов измерений
1.Для каждого опыта рассчитать по формуле (2) ускорение свободного паде- ния. Принять p = 3,141. Результат округлить до трех значащих цифр и записать в таблицу.
2.Определить среднее значение ускорения свободного падения с точностью до трех значащих цифр, ágñ = 9,81 м/с2.
3.Получить формулы для оценки систематической погрешности, используя аналогию дифференциала функции (2) dg и погрешности q g. Вначале формулу (2)
прологарифмируем, а затем продифференцируем: |
|
lng = ln4 + 2lnp + lnl – 2lnT, |
(3) |
14 |
|
![](/html/2706/69/html_zocWOD3SJ7.brsW/htmlconvd-lhrpw015x1.jpg)
|
dg |
|
= |
2dπ |
|
+ |
dl |
- |
|
2dT |
. |
|
|
|
|
(4) |
|||
|
g |
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
l |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Заменим знак дифференциала на знак систематической погрешности, приняв |
|||||||||||||||||||
значение ускорения равным среднему, преобразуем формулу (4) к виду |
|
||||||||||||||||||
q g = á gñ |
|
æ |
2q p ö2 |
|
æq l |
ö2 |
æ |
2q T ö |
2 |
|
|
||||||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
+ ç |
|
÷ |
+ ç |
|
÷ |
. |
(5) |
||||||
|
p |
|
|
|
T |
||||||||||||||
|
è |
|
ø |
|
|
è l |
ø |
è |
ø |
|
|
|
4. Оценить систематическую погрешность q g, приняв q p = 0,001 как погреш- ность округления и q Т = 0,0001 с. Тогда относительная погрешность измерения расстояния q l/l оказывается на порядок выше, чем q p / p и q Т/Т, которыми мож-
но пренебречь. В результате получим qg = ágñ θll = 9,38681 ×1 = 0,0255 м/с2. Округля- ем до одной значащей цифры: q g = 0,03 м/с2.
5. Оценим случайную погрешность измерения ускорения свободного падения. Ее можно определить методом сведения к прямым измерениям:
dg = t p |
|
å (gi - ágñ)2 |
|
. |
(6) |
|
n(n - 1) |
||||||
|
|
|
|
|
Для удобства оценки суммы å(gi – ágñ)2 расчеты сведены в таблицу. Сначала
находят разности между каждым измеренным значением ускорения и средним (gi – ágñ). Причем их сумма должна быть близка к нулю. Затем находят квадраты разностей (gi – ágñ)2. Приняв значение коэффициента Стьюдента из табл. 1 (с. 7) при пяти измерениях и доверительной вероятности 0,9 равным 2,1, получим:
dg = 2,1 390×10−4 = 9,3×10−2 = 0,09 м/с2.
5×4
6. В суммарной погрешности Dg = (dg)2 + (q g)2 систематическая погреш-
ность в три раза меньше случайной (а ее квадрат — в девять раз) и ей можно пре- небречь. В итоге Dg = 0,09 м/с2.
7. Сделать выводы: ознакомились с методами обработки результатов измере- ний, определили ускорение свободного падения g = 9,81 ± 0,09 м/с2, Р = 0,90. Сле- довательно, истинное значение ускорения находится внутри доверительного ин- тервала от 9,72 м/с2 до 9,90 м/с2 с доверительной вероятностью 90%. Это соответ- ствует ускорению 9,80 м/с2 для Челябинска. Для уменьшения случайной погреш- ности следует увеличить число измерений.
15
МЕХАНИКА
РАБОТА № 1
ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ УДАРА ТЕЛ
Цель работы: проверить выполнение закона сохранения импульса при ударе тел, определить коэффициент восстановления энергии при упругом и неупругом ударах.
Оборудование: баллистический маятник, весы.
Описание метода
Удар — это процесс кратковременного взаимодействия тел, при котором про- исходит значительное изменение скоростей тел, сравнимое с их скоростями до
удара. Согласно второму закону Ньютона (mV )= F t вследствие кратковре-
менности удара ( t → 0) силы взаимодействия могут быть очень велики. Поэтому на время удара можно пренебречь внешними силами по сравнению с внутренни- ми ударными силами и считать систему соударяющихся тел замкнутой. В замкну- той системе тел выполняется закон сохранения импульса: суммарный импульс тел со временем не изменяется:
å miVi = å miUi , |
(1) |
где Vi и Ui — скорости тел до и после взаимодействия.
Различают два предельных вида, две идеализации реального удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
При абсолютно упругом ударе тела в первой фазе упруго деформируются. При этом часть кинетической энергии превращается в потенциальную энергию упру- гой деформации. Затем во второй фазе тела под действием упругих сил расходят- ся, форма тел восстанавливается, и потенциальная энергия деформации тел пол- ностью превращается обратно в кинетическую. В результате кинетическая энер- гия тел до и после удара одинакова. Таким образом, механическая энергия в про- цессе абсолютно упругого удара сохраняется.
При абсолютно неупругом ударе тела деформируются неупруго, пластически. Тела после удара движутся совместно, их скорости одинаковы и это является при- знаком абсолютно неупругого удара. Часть кинетической энергии частично пре- вращается в работу неупругого пластического деформирования тел, во внутрен- нюю энергию. Поэтому механическая энергия при неупругом ударе не сохраняет- ся, происходит ее диссипация (рассеяние).
Диссипацию механической энергии при реальном ударе характеризуют коэф- фициентом восстановления энергии k, который определяется как отношение сум- марной кинетической энергии тел после удара к их энергии до удара:
16
![](/html/2706/69/html_zocWOD3SJ7.brsW/htmlconvd-lhrpw017x1.jpg)
|
′ |
′′ |
|
k = |
E1 |
+ E2 |
. |
E1 |
|
||
|
+ E2 |
Величина коэффициента восстановления энергии зависит от упругих свойств соударяющихся тел, их скоростей и масс. Для абсолютно упругого удара, при ко- тором механическая энергия сохраняется, k = 1. В других реальных случаях k < 1.
Рассмотрим прямой, центральный удар двух шаров, при котором скорости шаров перед ударом направлены вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Центры масс лежат на линии удара, т.е. на нормали к поверхности шаров в точке соприкосновения.
Упругий удар |
Неупругий удар |
До удара После удара До удара После удара Схема соударения шаров
Рис. 1
Пусть правый шар массой m1 со скоростью V1 налетает на покоящийся левый шар массой m2, V2 = 0. Запишем закон сохранения импульса для упругого и неуп-
ругого ударов в проекции на ось, направленную по скорости V1: |
|
m1V1 = – m1U1 + m2U2 , |
(2) |
m1V1 = (m1 + m2)U12 . |
(3) |
Здесь U1 и U2 — скорости правого и левого шаров после упругого удара, U12
—скорость шаров, движущихся совместно после неупругого удара.
Для проверки выполнения закона сохранения импульса по уравнениям (2) и
(3) определим скорости шаров через легко измеряемые углы отклонения нитей, от положения равновесия. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то при движе- нии, например, правого шара, висящего на нити длиной l, по закону сохранения
механической энергии
|
|
m V |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m gh = |
1 1 |
|
Þ V = |
2gh . |
(4) |
||
|
|
||||||
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
![](/html/2706/69/html_zocWOD3SJ7.brsW/htmlconvd-lhrpw018x1.jpg)
Высота падения шара h1 = l(1 – cosb1). Для малых углов отклонения cosb1 = = 1 – b12/2 и h= 2l b12 . Следовательно, скорость шара в момент перед ударом
V1 = gl b1 пропорциональна углу отклонения его от положения равновесия.
Аналогично можно определить U1 = glg 1, U2 =
glg 2 , U12 =
glg 12 .
Подставив формулы для скоростей в уравнение закона сохранения импульса
(2) и (3), получим уравнения, которые можно проверить на опыте и сделать выво-
ды о сохранении импульса при упругом и неупругом ударах: |
|
m1b1 = – m1g1 + m2 g2 , |
(5)* |
m1b1 = (m1 + m2) g12 . |
(6)* |
Для получения формулы коэффициента восстановления энергии при ударе подставим сначала формулы для скоростей в выражения кинетической энергии. Например,
E1 = m1V12 = gl m12 b1,
2 2
а затем выражения для кинетической энергии в формулы коэффициентов восста- новления энергии для упругого и неупругого ударов:
|
′ |
|
′ |
|
|
m |
g |
2 |
|
+ m |
2 |
g |
2 |
|
|
|||||
k упр = |
Е1 |
+ Е2 |
= |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
(7)* |
|||||
|
Е1 |
|
|
|
|
m |
1 |
b |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
(m |
1 |
+ m |
2 |
)g |
2 |
|
|
|
||||||
kнеупр = |
Е12 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
. |
|
(8)* |
|||||
Е1 |
|
|
|
m |
1 |
b |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
В уравнениях (5) – (8) b1 — угол отклонения правого шара перед ударом, g1 и g2 — углы отклонения правого и левого шаров после упругого удара, g12 — угол отклонения обоих шаров после неупругого удара (рис. 1).
Теоретическое значение коэффициентов восстановления энергии для упругого
удара k = 1, а для неупругого при U12 = m1V1 m1 + m2
kнеупр = |
m1 |
. |
(9)* |
||
m1 |
+ m2 |
||||
|
|
|
Получим формулу для оценки случайной погрешности среднего значения коэф- фициента восстановления энергии, например, для неупругого удара. Для этого вначале уравнение (8) прологарифмируем, а затем продифференцируем:
lnákнеупрñ = ln(m1 + m2) + 2lng12 – lnm1 – 2lnb1,
18
![](/html/2706/69/html_zocWOD3SJ7.brsW/htmlconvd-lhrpw019x1.jpg)
dk |
= |
2dγ 12 |
kнеупр |
γ 12 |
(m1, m2, β1 – величины постоянные).
Заменим знак дифференциала на знак погрешности:
δk = kнеупр |
2δγ 12 |
. |
(10)* |
|
γ 12 |
||||
|
|
|
Описание установки
Баллистический маятник представляет собой два шара, подвешенных на нитях к кронштейну, и шкалу, по которой измеряются углы отклонения шаров. Для пра-
вого шара углы отклонения отсчитываются по правой части шкалы и считаются положительными, а для левого шара — по левой части шкалы. Для удержания правого шара перед ударом в отклоненном положении на шкале установлен элек- тромагнит, который включается при нажатии на кнопку. На левом шаре приклеен кусочек пластилина. Для осуществления неупругого удара левый шар следует подвесить пластилином к точке удара, а для упругого удара — отвернуть. Цен-
тровка шаров производится перемещением нити в узле подвеса или изменением длины нитей.
Выполнение работы
1.Определить взвешиванием на весах массы шаров. Оценить систематиче- скую погрешность взвешивания. Результаты записать в табл. 1. Форма отчета приведена в приложении.
2.Произвести пробный удар. Для этого отвести правый шар к магниту и от- пустить. Если шары движутся не параллельно плоскости шкалы, произвести цен- тровку шаров.
3.Произвести серию опытов по упругому соударению шаров. Для этого левый шар отвернуть пластилином от точки удара. Отвести правый шар к магниту и
включить магнит. Измерить угол отклонения правого шара β1 и выключить маг- нит. После первого удара измерить углы отклонения левого γ2 и правого γ1 шаров. Типичной ошибкой является измерение угла γ2 для правого шара после того, как его вторично ударит левый шар.
Если правый шар после удара отклоняется в левую часть шкалы, то при изме- рении γ1 считать отрицательным. В этом случае угол измерять после отклонения шара в правую часть шкалы. Опыт провести 5 – 8 раз при одном значении β1.
Оценить погрешность измерения углов. Результаты измерений углов записать в табл. 1.
19
4. Произвести серию опытов по неупругому удару шаров. Для этого левый шар повернуть пластилином к точке удара. Отвести правый шар к магниту на тот же угол b1 и произвести удар. Угол отклонения шаров в их совместном движении измерять по отклонению левого шара по левой шкале. Опыт повторить 5 – 8 раз. Результаты записать в табл. 1.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 ±q m = …кг |
|
m2 ±q m2 = …кг |
|
b1 ±qb1 = …град |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
g1 , град |
|
|
|
|
|
|
ág1ñ =… |
|
|
|
|
|
|
|
рад |
g2 , град |
|
|
|
|
|
|
ág2ñ =… |
|
|
|
|
|
|
|
рад |
g12 , град |
|
|
|
|
|
|
ág12ñ = ... |
|
|
|
|
|
|
|
рад |
Обработка результатов
1.Вычислить среднее значение углов отклонения шаров после удара ág1ñ, ág2ñ, ág12ñ и перевести в систему СИ. Записать в табл. 1.
2.Проверить выполнение закона сохранения импульса при упругом и неупру-
гом ударах. Для этого по углу отклонения b1 определить левую часть равенств (5) и (6), а по средним значениям углов отклонения шаров после удара — правую. Ре- зультаты записать в табл. 2. Убедиться в приближенном равенстве левых и пра- вых частей уравнений.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упругий удар |
|
|
Неупругий удар |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1b1, |
– m1ág1ñ + |
ák ñ |
k |
m1b1, |
(m1+m2)х |
ák |
|
k |
кг×рад |
+m2ág2ñ, |
упр |
теор |
кг×рад |
хág12ñ, |
не- |
|
теор |
±Dk |
|
ñ±Dk |
|
|||||
|
кг×рад |
|
|
|
кг×рад |
упр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Определить средние значения коэффициентов восстановления энергии для упругого и неупругого ударов по формулам (7) и (8), подставив в них средние значения углов отклонения шаров после удара. Сравнить с теоретическим значе-
20