08-МУ к лаб_занятиям
.pdf
31
Математическая модель данной задачи имеет вид
F(X ) = 2x11 + 9x12 + 7x13 + x21 + 5x23 + 5x31 + 4x32 + 100x33 + 2x41 + 3x42 + 6x43 → min;
|
x |
+ x |
+ x |
= 25, |
||||||||
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
x21 + x22 + x23 = 50, |
|||||||||||
|
x |
+ x |
+ x |
= 35, |
||||||||
|
|
31 |
|
|
32 |
|
|
33 |
|
= 75, |
||
|
x |
+ x |
+ x |
|
||||||||
|
|
41 |
|
|
42 |
|
|
43 |
|
|
|
|
x |
+ x |
21 |
+ x |
31 |
+ x |
41 |
= 45, |
|||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x12 + x22 + x32 + x42 |
= 90, |
|||||||||||
x |
+ x |
23 |
+ x |
33 |
+ x |
43 |
= 50, |
|||||
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xij ³ 0 (i = 1,4; j = 1,3).
Экранная форма задачи для решения в Excel представлена на рисунке 17, задание переменных, ограничений, целевой функции, граничных условий задачи – в таблице 8 и на рисунке 18. Результаты решения представлены на рисунке 19.
Рисунок 17 - Экранная форма транспортной задачи
|
32 |
|
Таблица 8 - Формулы экранной формы задачи |
||
|
|
|
Объект математической модели |
|
Выражение в Excel |
|
|
|
Переменные задачи |
|
C3:E6 |
Формула в целевой ячейке F15 |
|
=СУММПРОИЗВ(C3:E6;C12:E15) |
|
|
|
|
|
=СУММ(C3:E3) |
Ограничения по строкам |
|
=СУММ(C4:E4) |
в ячейках F3, F4, F5, F6 |
|
=СУММ(C5:E5) |
|
|
=СУММ(C6:E6) |
|
|
|
Ограничения по столбцам |
|
=СУММ(C3:C6) |
|
=СУММ(D3:D6) |
|
в ячейках С7, D7, E7 |
|
|
|
=СУММ(E3:E6) |
|
|
|
|
|
|
|
Суммарные запасы и потребности |
|
=СУММ(H3:H6) |
в ячейках H8, G9 |
|
=СУММ(C9:E9) |
|
|
|
Рисунок 18 - Ограничения и граничные условия задачи
Рисунок 19 - Экранная форма после получения решения задачи
33
Порядок выполнения работы
1.Составить математическую модель транспортной задачи, соответствующей заданному варианту.
2.Найти оптимальное решение в табличном процессоре Microsoft Excel.
3.Сделать анализ полученного решения.
4.Оформить отчет по лабораторной работе, который должен содержать:
∙название работы;
∙исходные данные варианта;
∙построенную модель задачи;
∙результаты и анализ решения задачи.
Задание
Имеются 3 пункта поставки однородного груза А1, А2, А3 и 5 пунктов потребления этого груза В1, В2, В3, В4, В5. В пунктах А1, А2, А3 находится груз в количестве а1, а2, а3 т, соответственно. В пункты В1, В2, В3, В4, В5 требуется доставить соответственно b1, b2, b3, b4 и b5 т груза. В связи с ремонтными работами временно невозможны перевозки по некоторым маршрутам.
Стоимость перевозки единицы груза из пункта поставки в пункт потребления приведена в матрице С. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.
1.а1=200, b1=100 а2=175, b2=130, а3=225, b3=80,
b4=190, b5=100.
2.а1=200, b1=100 а2=450, b2=125, а3=250, b3=325, b4=250, b5=100.
3.а1=250, b1=120 а2=200, b2=130, а3=200, b3=100, b4=160, b5=140.
4.а1=350, b1=210, а2=330, b2=170, а3=270, b3=220, b4=150, b5=200.
5 |
7 |
4 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = 7 |
1 |
3 |
1 |
10 |
||
|
2 |
3 |
6 |
8 |
7 |
|
|
|
|||||
5 |
8 |
7 |
10 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = 4 |
2 |
2 |
5 |
6 |
|
|
||
|
7 |
3 |
5 |
9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
27 |
36 |
35 |
31 |
|
29 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = 22 |
23 |
26 |
32 |
|
35 |
|||
|
35 |
42 |
38 |
32 |
|
39 |
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
12 |
9 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = 2 |
4 |
11 |
2 |
10 |
|
|||
|
7 |
14 |
12 |
5 |
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||
5.а1=300, b1=210, а2=250, b2=150, а3=200, b3=120, b4=135, b5=135.
6.а1=350, b1=170, а2=200, b2=140, а3=300, b3=200, b4=195, b5=145.
7.а1=200, b1=190, а2=250, b2=100, а3=200, b3=120, b4=110, b5=130.
8.а1=230, b1=140, а2=250, b2=90, а3=170, b3=160,
b4=110, b5=150.
9.а1=200, b1=210, а2=300, b2=150, а3=250, b3=120, b4=135, b5=135.
10.а1=200, b1=270, а2=350, b2=130, а3=300, b3=190, b4=150, b5=110.
11.а1=150, b1=100,
а2=150, |
b2=70, |
а3=200, |
b3=130, |
|
b4=110, |
|
b5=90. |
12. а1=330, |
b1=220, |
34
4 |
8 |
13 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = 9 |
4 |
11 |
9 |
17 |
||
|
3 |
16 |
10 |
1 |
4 |
|
|
|
|||||
22 |
14 |
16 |
28 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
C = 19 |
17 |
26 |
36 |
36 |
|
|
37 |
30 |
31 |
39 |
|
|
41 |
||||
28 |
27 |
18 |
27 |
24 |
||
|
|
|
|
|
|
|
C = 18 |
26 |
27 |
32 |
21 |
||
|
27 |
33 |
23 |
31 |
34 |
|
|
|
|||||
40 |
19 |
25 |
25 |
35 |
||
|
|
|
|
|
|
|
C = 49 |
26 |
27 |
18 |
38 |
||
|
46 |
27 |
36 |
40 |
45 |
|
|
|
|||||
20 |
10 |
13 |
13 |
18 |
||
|
|
|
|
|
|
|
C = 27 |
19 |
20 |
16 |
22 |
||
|
26 |
17 |
19 |
21 |
23 |
|
|
|
|||||
24 |
50 |
55 |
27 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
C = 50 |
47 |
23 |
17 |
21 |
|
|
35 |
59 |
55 |
27 |
|
|
41 |
||||
17 |
3 |
6 |
12 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
C = 14 |
10 |
2 |
10 |
36 |
|
|
11 |
5 |
8 |
37 |
|
14 |
|
||||
а2=270, b2=170, а3=350, b3=210, b4=150, b5=200.
35
10 |
12 |
24 |
50 |
42 |
||
|
|
|
|
|
|
|
C = 13 |
22 |
49 |
66 |
32 |
||
|
26 |
27 |
35 |
67 |
63 |
|
|
|
|||||
Контрольные вопросы
1.Постановка транспортной задачи.
2.Условие разрешимости транспортной задачи.
3.Какая транспортная задача называется закрытой?
4.Что является искомыми переменными задачи?
5.Как составляются ограничения задачи?
6.Как составляется целевая функция транспортной задачи?
7.Какое решение называется допустимым?
8.Какое решение называется оптимальным?
9.С помощью какой функции в Excel задаются ограничения задачи?
10.С помощью какой функции в Excel задается целевая функция задачи?
Лабораторная работа № 6 Решение транспортных задач с дополнительными ограничениями
Цель работы: приобретение навыков решения транспортных задач с дополнительными ограничениями в табличном процессоре MS Excel.
Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы сумма запасов груза у поставщиков равнялась сумме потребностей всех потребителей:
m |
n |
|
∑ai |
= ∑b j . |
(18) |
i =1 |
j =1 |
|
В этом случае транспортная задача называется закрытой. Если условие (18) не выполняется, то задача называется открытой.
В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, то есть
m |
n |
|
bф = ∑ai |
− ∑b j . |
(19) |
i =1 |
j =1 |
|
Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:
n |
m |
|
aф = ∑b j |
− ∑ai . |
(20) |
j =1 |
i =1 |
|
36
При этом стоимости перевозки единицы груза от фиктивного поставщика и к фиктивному потребителю равны 0.
На практике возможны ситуации, когда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с помощью
введения так называемых запрещающих тарифов cijз . Запрещающие тарифы
должны сделать невозможными, то есть совершенно невыгодными, перевозки в соответствующих направлениях. Для этого величина запрещающих тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели:
cijз > max cij (i = 1,m; j = 1,n).
В математическую модель задачи при этом добавляется ограничение
xij = 0 .
Рассмотрим решение задачи оптимальной транспортировки пиловочника.
Постановка задачи. В состав ассоциации входят 4 лесозаготовительных предприятия: ЛПХ-1, ЛПХ-2, ЛПХ-3, ЛПХ-4 с годовыми объемами выпуска пиловочника - а1=330 тыс. м3, а2=550 тыс. м3, а3=500 тыс. м3, а4=400 тыс. м3, а также 4 лесопильно-деревообрабатывающих комбината: ЛДК-1, ЛДК-2, ЛДК- 3, ЛДК-4 с годовыми потребностями в пиловочнике - b1=330 тыс. м3, b2=240 тыс. м3, b3=400 тыс. м3, b4=800 тыс. м3. Известны затраты на транспортировку
1 м3 пиловочника от каждого ЛПХ к каждому ЛДК, cij (i = 1,4; j = 1,4), руб.:
10 |
2 |
1 |
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
4 |
|
||
C = |
8 |
9 |
5 |
9 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
10 |
9 |
8 |
|
|
8 |
|
|||||
В связи с ремонтом дороги между ЛПХ -1 и ЛДК -1 невозможны перевозки по этому маршруту.
Требуется определить оптимальную схему поставок пиловочника от лесозаготовительных предприятий к лесопильно-деревообрабатывающим комбинатам, минимизирующую суммарные транспортные затраты.
Решение. Сопоставим суммарные объемы поставщиков и потребителей. Общий объем пиловочника у поставщиков составляет 1780 тыс. м3, а у потребителей – 1770 тыс. м3. Поскольку объемы не равны, рассматриваемая транспортная задача относится к классу3 открытых. Для перевода ее к закрытому типу вводим фиктивного потребителя ЛДК-5 с
объемом bô = 10 тыс. м3. Транспортные расходы на поставку фиктивному потребителю принимаем равными нулю.
37
Составим математическую модель задачи. Введем обозначение: xij -
объем пиловочника, тыс. м3, поставляемый от i-го ЛПХ к j-му ЛДК. Тогда математическая модель с учетом ограничения на запрет перевозок имеет вид:
F(X ) = 10x11 + 2x12 + x13 + 6x14 + 2x21 + 2x21 + 3x23 + 4x24 + 8x31 + 9x32 + 5x33 + 9x34 +
+8x41 + 10x42 + 9x43 + 8x44 → min;
x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 330,x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 550,x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 500,x41 + x42 + x43 + x44 + x415 = 400,
x11 + x21 + x31 + x41 = 330, |
|||||
x |
+ x |
+ x |
+ x |
= 240, |
|
|
12 |
22 |
32 |
42 |
|
|
|
+ x23 |
+ x33 + x43 = 400, |
||
x13 |
|||||
x |
+ x |
+ x |
+ x |
= 800, |
|
|
14 |
24 |
34 |
44 |
= 10, |
x |
+ x |
+ x |
+ x |
||
|
15 |
25 |
35 |
45 |
|
|
|
|
x11 = 0 |
|
|
xij ³ 0, (i = 2,4; j = 2,5;).
При решении задачи в табличном процессоре MS Excel в окне Поиск решения надо добавить ограничение, учитывающее равенство нулю переменной x11 .
В результате расчета полученной математической модели на ЭВМ находим оптимальный план перевозок:
|
0 |
240 |
90 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
220 |
0 |
|
|
330 |
|
||||||
X * = |
0 |
0 |
310 |
180 |
10 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
0 |
400 |
0 |
|
|
|
|
||||||
Суммарные транспортные расходы F=8480 тыс. руб.
Таким образом, минимальные транспортные расходы в размере 8480 тыс. руб. могут быть получены при оптимальной схеме транспортировки пиловочника (рисунок 20).
Из схемы видно, что потребности всех потребителей удовлетворены в полном объеме, у поставщика ЛПХ-3 осталось 10 тыс. м3.
38
Рисунок 20 – оптимальная схема транспортировки пиловочника
Порядок выполнения работы
1.Проверить, является ли задача закрытой и привести в случае необходимости к закрытому типу.
2.Составить математическую модель транспортной задачи, соответствующей заданному варианту.
3.Найти оптимальное решение в табличном процессоре Microsoft Excel.
4.Составить оптимальную схему транспортировки пиловочника и проанализировать полученное решение.
5.Оформить отчет по лабораторной работе, который должен содержать:
∙название работы;
∙исходные данные варианта;
∙построенную модель задачи;
∙результаты и анализ решения задачи.
Таблица 9 – Исходные данные задачи по вариантам
|
3 |
|
|
|
Порядковый номер потребителя |
|
|
|
||||||||
Порядковый номер поставщика |
Годовой ,тысобъем. м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Годовой объем, |
тыс. м3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Транспортные расходы, руб. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
450 |
470 |
370 |
320 |
|
380 |
290 |
310 |
|
330 |
|
340 |
240 |
400 |
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
540 |
8 |
7 |
11 |
6 |
|
7 |
5 |
6 |
|
7 |
|
10 |
11 |
6 |
5 |
2 |
490 |
4 |
6 |
8 |
11 |
|
5 |
8 |
10 |
|
9 |
|
7 |
8 |
3 |
7 |
3 |
460 |
6 |
10 |
9 |
11 |
|
9 |
7 |
5 |
|
7 |
|
9 |
4 |
9 |
8 |
4 |
500 |
3 |
2 |
7 |
8 |
|
5 |
4 |
3 |
|
2 |
|
1 |
5 |
6 |
7 |
5 |
390 |
7 |
6 |
9 |
7 |
|
5 |
8 |
10 |
|
4 |
|
6 |
7 |
4 |
7 |
39
6 |
330 |
8 |
5 |
6 |
4 |
5 |
9 |
8 |
10 |
3 |
2 |
1 |
6 |
7 |
270 |
6 |
9 |
10 |
8 |
5 |
5 |
6 |
9 |
10 |
8 |
5 |
6 |
8 |
550 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
9 |
540 |
4 |
9 |
5 |
8 |
10 |
6 |
5 |
7 |
6 |
10 |
2 |
3 |
10 |
500 |
10 |
6 |
9 |
5 |
10 |
9 |
5 |
8 |
4 |
9 |
5 |
9 |
11 |
400 |
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
9 |
8 |
12 |
860 |
3 |
2 |
1 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
14 |
Порядковые номера поставщиков и потребителей выбираются согласно номеру варианта (таблица 10):
Таблица 10 – |
Номера поставщиков и потребителей по вариантам |
|||
Номер |
|
Номера |
Номера |
Запрет перевозки |
варианта |
|
поставщиков |
потребителей |
|
|
|
|||
1 |
|
1,2,3,4 |
9,10,11,12 |
ЛПХ-1 → ЛДК-12 |
2 |
|
5,6,7,8 |
1,2,3,4 |
ЛПХ-7 → ЛДК-4 |
3 |
|
9,10,11,12 |
5,6,7,8 |
ЛПХ-9 → ЛДК-8 |
4 |
|
2,3,4,5 |
6,7,8,9 |
ЛПХ-4 → ЛДК-6 |
5 |
|
6,7,8,9 |
3,4,5,6 |
ЛПХ-8 → ЛДК-6 |
6 |
|
1,2,11,12 |
6,7,8,9 |
ЛПХ-11 → ЛДК-7 |
7 |
|
4,5,6,7 |
7,8,9,10 |
ЛПХ-5 → ЛДК-10 |
8 |
|
7,8,9,10 |
2,3,4,5 |
ЛПХ-7 → ЛДК-3 |
9 |
|
8,9,10,11 |
1,10,11,12 |
ЛПХ-10 → ЛДК-1 |
10 |
|
3,4,5,6 |
4,6,8,10 |
ЛПХ-3 → ЛДК-8 |
11 |
|
2,4,6,8 |
1,3,5,7 |
ЛПХ-2 → ЛДК-3 |
12 |
|
1,4,7,10 |
2,5,8,11 |
ЛПХ-1 → ЛДК-2 |
Контрольные вопросы
1.Транспортные задачи открытого и закрытого типов.
2.Как найти оптимальную схему транспортировки груза, если между поставщиком и потребителем нет транспортной связи?
3.Какое дополнительное ограничение добавляется к математической модели при запрете перевозок по некоторым маршрутам?
4.Как найти оптимальную схему транспортировки груза, если требования по качеству груза может удовлетворить только определенный поставщик?
Лабораторная работа № 7 Решение задач целочисленного программирования в табличном процессоре Microsoft Excel
Цель работы: приобретение навыков решения задач целочисленного программирования в табличном процессоре MS Excel.
Математическая модель задачи целочисленного программирования имеет вид:
40
n
F = ∑c j x j → max(min) ,
j=1
n
∑aij x j {£, =, ³}bi , i = 1, m,
j=1
x j ³ 0, целые , j = 1, n .
Для ее решения в Excel необходимо:
∙ В окне Поиск решения (меню Сервис → Поиск решения)
нажать кнопку Добавить и в появившемся окне Добавление ограничений ввести ограничения следующим образом (рисунок 21):
1)в поле Ссылка на ячейку ввести адреса ячеек переменных задачи,
то есть $B$3:$E$3;
2)в поле ввода знака ограничения установить целое;
3)подтвердить ввод ограничения нажатием кнопки OK.
Рисунок 21 - Ввод условия целочисленности переменных задачи
На рисунке 20 представлено решение задачи линейного программирования, к ограничениям которой добавлено условие целочисленности значений ее переменных.
Рисунок 22 - Решение задачи при условии целочисленности переменных