Векторная Алгебра-2013

Заметим, что ¢ = ¡2(4a3 ¡ 45a + 58) = 0 ïðè

p a = 2 èëè a = ¡1 § 33

2 .

В этих случаях система не имеет решений.

При других значениях a существует единственное решение

x1 = ¢1 = 16a2 ¡ 24a + 7 ; ¢ 4a3 ¡ 45a + 58

x2 = ¢2 = ¡ 8a32 ¡ 16a + 9 ; ¢ 4a ¡ 45a + 58

¥

Пример 10. Показать, что система

:2x ¡ (3 + k)y = 0

имеет ненулевые решения только при k = ¡1 èëè k = 2.

Решение¯¯ . Найдем¯¯ главный определитель системы:

¢= ¯¯¯ 4 ¡ k ¡5 ¯¯¯ = (4¡k)(¡3¡k)¡2(¡5) = k2¡k¡2 = (k+1)(k¡2);

¯2 ¡3 ¡ k ¯

и заметим, что ¢1 = ¢2 = 0. Очевидно, что система всегда

имеет нулевое решение x = y = 0. Ненулевые решения будут возникать при ¢ = 0, когда k = ¡1 èëè k = 2. ¥

¾ произносится ¾сигма¿.) Как известно, существует n! перестановок из n элементов; множество всех таких перестановок обозначается Sn и называется симметрической группой степени n. (Это множество обладает очень интересными свой-

ствами, которые изучаются в курсе ¾Алгебраические Структуры¿.)

Наши наблюдения можно теперь записать в виде формулы:

X

jAj = § a1¾(1)a2¾(2) : : : an¾(n)

¾2Sn

От чего зависят знаки перед слагаемыми в разложении определителя?

Ответ на предыдущий вопрос связан с понятием четности перестановки.

Если какая-нибудь пара ¾(k) , ¾(l) элементов перестановки расположена

в ней так, что элемент с большим номером стоит раньше элемента с меньшим номером, то говорят, что эти элементы образуют инверсию. Со- считать число инверсий в перестановке можно следующим образом. Со- считаем сначала число элементов, стоящих впереди единицы все эти элементы и только они образуют инверсии с единицей. Вычеркнем затем единицу и сосчитаем число элементов, стоящих впереди двойки это будут все те элементы, которые образуют инверсии с двойкой (не считая уже вычеркнутой единицы, которая тоже может образовывать инверсию с двойкой, но в таком случае эту инверсию мы уже учли раньше). Затем вы- черкнем двойку и сосчитаем число элементов, стоящих впереди тройки, и т. д. Все полученные числа сложим эта сумма и будет равна общему

числу инверсий. Число инверсий в перестановке ¾ обозначается как N(¾) .

Определение 12. Перестановки с четным числом инверсий называются четными, а перестановки с нечетным числом инверсий нечетными перестановками.

Оказывается, что знак + в определителе имеют те слагаемые, которые соответствуют четным перестановкам, а со знаком ¡ стоят слагаемые, соответствующие нечетным перестановкам.

Теперь мы можем сформулировать теорему о разложении определителя.

Разложение определителя по элементам матрицы

Теорема 1. Åñëè N(¾) есть число инверсий в переста-

новке ¾ , òî

где суммирование проводится по всем перестановкам ¾

из симметрической группы Sn .

Без доказательства.

Из сформулированной теоремы можно получить целый ряд замечательных свойств определителей. Рассмотрим некоторые из них.

Мы знаем, как вычислить определитель с помощью разложения по первой строке. Оказывается, что на самом деле все строки и столбцы в определителе равноправны.

Разложение по произвольной строке или столбцу

Определитель удобно разлагать по строке (столбцу) с наибольшим числом нулей.

Решение. Разложим определитель по третьему столбцу с единственным ненулевым элементом a33 = ¡3:

Следствие. Если каждый элемент некоторой строки или столбца в определителе равен нулю, то и весь определитель равен 0.

Напомним, что квадратная матрица называется треугольной (точнее, верхне-треугольной), если все элементы ниже е¼ главной диагонали равны 0.

Доказательство. Самостоятельно.