UML_4822 дм практикум

Задача 41. Доказать, что из включения А В вытекает равенство

A B B .

Решение. Пусть А В, то есть для любого х, если х А, то х В. По определению объединения, A B x | x A x B . Используя усло-

вие А В, заменим х А на х В. Тогда получим

x | x A x B x | x B x B x | x B B .

A B A B .

Отметим, что методом включения можно доказывать и тождества для произведений множеств. При этом, безусловно, необходимо рассматривать принадлежность к произведению множеств не некоторого произвольного х, а произвольной n-ки, в частности, для декартова произведения двух множеств рассматривают принадлежность пары {a, b}. Покажем это на примере.

Метод доказательства от противного. Когда необходимо доказать не равенство двух множеств, а равенство множества пустому L= , применяют метод доказательства от противного. Для этого делают предположение, что L и существует некоторый произвольный х L, а затем показывают ложность последнего высказывания, то есть, что х .

ности и пересечения получаем x A & x A \ B & x A x B . Вновь

31

по определению разности раскрываем последнее выражение и имеемx A & x A x B & x A x B . Используя закон дистрибутивно-

сти, приходим к следующему выражению

x A & x A x A & x B & x A x B .

Поскольку произвольный элемент х не может одновременно принадлежать и не принадлежать множеству А, то приходим к выводу, что

x x A & x B & x A x B = x A & x B & x A x B

.

Последнее выражение преобразуем по закону дистрибутивности

x A & x B & x A x A & x B & x B = x x . Отсюда

следует, что произвольный х принадлежит пустому множеству, наше предположение неверно и рассматриваемое равенство справедливо.

Для того, чтобы провести доказательство равенства множеств А=В методом от противного, проводят доказательство следующих равенств: если А\В = , то А В, и если В\А = , то В А и тогда согласно равенству (1.5) можно сделать заключение, что А=В.

Задача 44. Доказать, используя метод от противного, следующие равенства для произвольных множеств А, В, С:

Метод эквивалентных преобразований. При доказательстве этим ме-

тодом используются цепочки импликаций, состоящие из последовательно применяемых тождеств и свойств операций над множествами в порядке, требуемом в конкретной задаче.

Пример 45. Для произвольных множеств А, В, С доказать справедливость тождества A B C A B A C .

Решение. Для большей ясности производимых преобразований условимся после каждого знака импликации записывать в квадратных скобках применяемый закон или свойство операции. Тогда цепочка импликаций для заданного тождества будет иметь вид:

32

A B C [по определению симметрической разности]

метрической разности] A B A C .

Задача 46. Докажите для произвольных множеств А, В, С следующие соотношения, используя метод эквивалентных преобразований:

1.7. Решение систем уравнений на множествах

Решение систем уравнений на множествах существенно отличается от решения обычных уравнений, поэтому предварительно приведем ряд полезных при их решении эквивалентностей.

33

сматривая первое включение, на основании эквивалентности (1.40) можно

34

Аналогично рассмотрим второе уравнение: X \ A C . С учетом того, что X \ A X A, получаем два включения: C A X и A X C . Используя эквивалентности (1.40) и (1.41), получаем:

множество Х такое, что B X A;

4) опишите метод решения системы уравнений с одним неизвест-

ным.

Указания и решения.

а) доказательство тождества A B A \ B B \ A можно

провести любым из известных методов доказательства на множествах, например, методом от противного;

б) используйте равносильности (1.39)-(1.49).

г) метод решения системы уравнений с одним неизвестным заключается в следующем:

1.Используя п. а) данной задачи, необходимо заменить каждое уравнение системы уравнением, в правой части которого стоит .

2.Полученную систему А1= , ..., An= заменить одним уравнением

A1 ... An .

35

A X

B X .

4. Используя п. в) данной задачи, записать условия существования решения и найти решение.

Задача 51. Пользуясь методом задачи 63, решите следующие системы уравнений самостоятельно:

Ответ.

1) Х = А при условии C A B ; 2) Х = А при условии C A B ; 3) B C X A при условии B C A .

2. Комбинаторика

Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определен-

2, ..., r.

Этот набор называется выборкой объема r из n элементов. Любое подмножество А является выборкой, но не всякая выборка является подмножеством А, так как в выборку один и тот же элемент может входить несколько раз (в отличие от подмножества).

Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной.

Из определения следует, что две упорядоченные выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, являются различными.

2.1.Принципы комбинаторики

Воснове комбинаторики лежат несколько принципов.

Широко распространенный метод доказательства утверждений – это метод математической индукции, основанный на принципе математической индукции. Докажем его.

Теорема 1. (принцип математической индукции): пусть имеется некоторое утверждение P(n), которое формулируется для каждого натурального числа и пусть известно, что:

36

1.утверждение P(1) верно;

2.из того, что P(n) верно при n = k следует, что P(k+1) верно. Тогда утверждение P(n) верно для любого значения n ( n N ).

Доказательство. Применим метод доказательства "от противного".

Предположим, что, несмотря на истинность условий 1 и 2 теоремы, утверждение P(n) верно не для всех натуральных n. Тогда среди тех n, для которых P(n) неверно, найдется наименьшее число m. Ясно, что m>1, так как в противном случае получаем противоречие с условием 1 теоремы, то есть m – 1 тоже натуральное число, для которого P(m – 1) верно. Но тогда Р(т – 1 + 1) = Р(т) должно быть верным в силу второго условия теоремы. Получили противоречие. Теорема 1 доказана.

Пример 52. Используя метод математической индукции, доказать формулу для суммы кубов последовательных натуральных чисел

то есть формула (2.1) верна и при значении n = k +1. Следовательно, согласно принципу математической индукции, формула (2.1) верна для любого натурального n.

Этот принцип используется в комбинаторных задачах, связанных с доказательством различного рода равенств и соотношений.

В комбинаторных же задачах, связанных с подсчетом числа выборок объема r из n элементов, где выборки подчиняются определенным условиям, пользуются принципами сложения и умножения из теории множеств. Рассмотрим их.

Правило суммы: если конечные множества не пересекаются, то число элементов А В {или} равно сумме числа элементов множества А и числа элементов множества В.

Например, если на первой полке стоит А книг, а на второй В, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно А+В способами.

Это правило отражено в принципе суммы.

37

Принцип суммы: если card A = m, card B = n и A B = , то card A B = m+n. На комбинаторном языке это означает: если объект A можно выбрать m способами, объект B другими n способами и их одновременный выбор невозможен, то выбор “A или B” может быть осуществлен m+n способами.

Правило произведения: Если элемент А можно выбрать m способами, а элемент B – n способами то пару (A, B) можно выбрать m n способами.

Например, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5 10=50 способами.

Это правило отражено в принципе произведения.

Принцип произведения: если card A=m, card B=n, то card (A B)=m+n.

На комбинаторном языке это означает: если объект A может быть выбран m способами, и, кроме того, при любом выборе A объект B может быть выбран n способами, то выбор “A и B” может быть осуществлен m n способами.

Следующая теорема дает обобщение принципа произведения. Теорема 2 (принцип умножения)

Если некоторое действие может быть выполнено за k этапов, причем число возможных способов осуществления i-го этапа равно ni (i = 1, 2, …,k), то общее число Nk способов осуществления указанного действия вычисляется по формуле

i 1

Доказательство. Используем индукцию по числу этапов. Если k = 1 то, очевидно, что N1 = n1 и, следовательно, формула (2.2) верна для k = 1. Пусть далее k = 2. Тогда, так как каждый из n1 способов осуществления первого этапа может иметь место с каждым из n2 способов осуществления второго этапа, то N2 = n1 n2, то есть формула (2.2) верна и для k = 2.

Предположим теперь, что формула (2.2) верна при k = m – 1, то есть имеет место формула

i 1

Тогда, если k = m то, рассматривая первые m – 1 этапов в качестве первого этапа с общим числом способов осуществления, определяемым формулой (2.3), и применяя результат, доказанный вторым шагом индукции, получаем

m

Nm Nm 1 nm ni ,

i 1

38

то есть формула (2.2) верна и для k = m. Следовательно, согласно принципу математической индукции, теорема 2 доказана.

Благодаря принципу умножения может быть доказана следующая полезная теорема.

Теорема. Число всех подмножеств из n элементов равно 2n. Доказательство. Перенумеруем элементы данного множества. Для

каждого подмножества построим последовательность длины n из нулей и единиц по следующему правилу: на k-м месте пишем 1, если элемент с номером k входит в подмножество, и 0, если элемент с номером k не входит в подмножество. Итак, каждому подмножеству соответствует своя последовательность нулей и единиц. Например, пустому множеству соответствует последовательность из одних нулей. Число всех возможных последовательностей длины n, составленных из нулей и единиц, согласно прин-

ципу умножения, 2 2 ... 2 2n . Следовательно, и число всех подмножеств

n

данного множества равно 2n.

Рассмотрим некоторые примеры применения основных принципов комбинаторики.

Пример 53. Бросают 2 игральные кости. Сколькими способами они могут выпасть так, что на каждой кости выпадет четное число очков либо на каждой кости выпадет нечетное число очков?

Пусть m – число возможностей для выпадения четного числа на одной кости, n – число возможностей для выпадения нечетного числа. Здесь m = n = 3. По правилу произведения количество выпадения четных чисел, как и нечетных, равно 9. По правилу суммы количество возможностей для выпадения двух четных и двух нечетных чисел будет 18.

Пример 54. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости одну за другой так, чтобы вторую можно было приложить к первой?

Решение. Если первой костью является дубль (n1 = 7), то вторую можно приложить к первой n2 = 6 способами. Если первая кость не дубль (n’1 = 21), то вторую можно приложить к первой n’2 = 12 способами. Теперь, последовательно применяя принцип умножения и принцип сложения, для искомого числа получаем

Пример 55. Даны два конечных множества A1 и A2 с числом элементов N(A1) = n и N(A2) = m соответственно. Требуется определить число элементов прямого произведения этих множеств, то есть N(A1 A2)

Решение. Из определения прямого, или декартова, произведения двух множеств A1 A2 следует, что любой элемент множества может быть получен в результате выполнения действия из двух этапов. Первый этап –

39

выбрать произвольный элемент множества A1 и поместить его на первое место в упорядоченной паре, ясно, что n1 = n, второй этап – выбрать произвольный элемент множества A2 и поместить его на второе место в паре n2 = m. Теперь, согласно принципу умножения, получаем

Следствие - обобщение. Аналогично, или используя метод математической индукции, можно доказать, что если даны конечные множества

Замечание. По определению прямого произведения множеств элементами множества Ak = A A… A (справа k символов A разделены k – 1 знаками прямого произведения множеств) являются упорядоченные последовательности (кортежи) длины k, составленные из возможно повторяющихся элементов множества A. В комбинаторике такие соединения (комбинации) из элементов A множества называют размещениями из n элементов по k элементов с повторениями. Они отличаются друг от друга или порядком элементов, или составом; их число обозначают A(n, k). Значит из формулы (2.6) следует, что A(n, k) = N(Ak) = nk.

Однако если множества А и В пересекаются, тогда необходимо пользоваться принципом включения-исключения.

Принцип включения-исключения: если существует множество Х и

множество свойств Y = {y1, y2, ..., yt}, которыми могут обладать элементы множества Х, то может быть выполнено разбиение множества Х на подмножества по числу свойств, которыми они обладают. В этом случае раз-

биение множества на подмножества удовлетворяет следующему условию:

|X0| = |X| – |X1| + |X2| – |X3|...+(–1)t|Xt|,

где |X0| – число элементов множества Х, не обладающих ни одним свойством множества Y; |X| – общее число элементов множества Х; |X1| – число элементов множества Х, обладающих только одним свойством множества Y; |X2| – число элементов множества Х, обладающих двумя свойствами множества Y; |X3| – число элементов множества Х, обладающих тремя свойствами множества Y; …; |Xt| – число элементов множества Х, обладающих t-м количеством свойств множества Y; t – количество свойств или число элементов множества Y.

Следует обратить внимание, что знак “+” ставят для четного количества свойств множества Y, а знак “–” – для нечетного количества свойств множества Y.

40