Kontrolnye_raboty_No3_i_No4
.pdf3.72. |
Два источника тока |
(ξ1 = 8 В, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ξ1 - r1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
r1 =2 Ом, |
ξ2 =6 В, r2=1,5 Ом) |
и реостат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ξ2 - r2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
сопротивлением R = 6 Ом соединены как |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
показано на рисунке. Вычислить силу тока, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
текущего через реостат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.73. Определить силу тока Iз в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
резисторе сопротивлением R3 и напряже- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ниеU3 наконцахрезистора, если ξ1 |
= 4 В, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 ξ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
R1 = 2 Ом, ξ2 = 3 В, R2 = 6 Ом, R3 = lОм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Внутренними сопротивлениями ампер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
метра и источников токапренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.74. Три источника тока с ξ1 = 11 В, |
|
|
|
|
|
|
ξ1 |
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ξ2=4 В, ξ3=6 В и три реостата с сопротивле- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ниями R1=5 Ом, R2=10 Ом, Rз=2 Ом соеди- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ξ2 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
нён как показано на риcунке. Определить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
силы токов в реостатах. Внутренними |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сопротивлениями источников тока пренеб- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
речь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ3 |
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.75. В схеме, изображенной на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
R1 |
|
|
R7 |
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
рисунке, ξ1 = 10 В, ξ2 =20 В, ξ3 = 30 В, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
R1 =1Ом, R2 =2Ом, R3 =2Ом,R4=4Ом, |
|
|
|
ξ1 |
|
|
ξ2 |
|
|
|
|
|
|
|
ξ3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
R5=5Ом,R6=6Ом,R7=7 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Внутренние |
сопротивления источников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
малы. Найти силы токов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R6 |
|
R5 |
3.76. Три сопротивления R1=5 Ом, |
ξ |
A |
B |
|||
R2=5 Ом и R3=3 Ом, а также источник |
|
|
|
|||
тока с ЭДС ξ=1,4 В соединены, как |
R1 |
R2 |
R3 |
|||
показано на рисунке. Определить ЭДС |
||||||
источника |
тока, |
который |
надо |
|
|
|
подключить в цепь между точками А и В, |
|
|
|
|||
чтобы сила тока через сопротивлении R3 |
|
|
|
|||
|
|
41 |
|
|
|
|
составляла I =1 А. Направление тока указано на рисунке стрелкой. Сопротивлением источника тока пренебречь.
3.77. В схеме, представленной на рисунке, ξ1=ξ2=110 В, R1=R2=200 Ом,
сопротивление вольтметра Rv=1000 Ом. Найти показание вольтметра. Сопротивлением источников пренебречь.
ξ1 |
R2 |
|
V |
R1 |
ξ2 |
3.78.В схеме к задаче 3.77, ξ1 =ξ2, R2= 2R1. Во сколько раз ток, текущий через вольтметр, больше тока, текущего через R2? Сопротивлением источников пренебречь.
3.79.В схеме, к задаче 77, R1 = R2 = 100 Ом. Вольтметр показывает 50В, сопротивление вольтметра равно 150 Ом. Найти ЭДС батарей. Сопротивлением источников пренебречь.
3.80. В схеме, представленной на рисунке, ξ1=110В, ξ2=220В, R1 = R2 = R = 100 Ом, R3 = 500 Ом.
Найти показание амперметра. Внутренними сопротивлениями амперметраи элементовпренебречь.
|
|
R2 |
|
ξ1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ξ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4
3.1.Электромагнетизм
3.1.1.Основные формулы
1.Закон Био – Савара – Лапласа
dB 0 Idlsin , 4 r2
где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом контура dl, по которому течет ток I; r – радиус-вектор, проведенный от dl к точке, в которой определяется магнитная индукция; 0 = 4 ·10-7 Гн/м – магнитная постоянная.
2.Принцип суперпозиции магнитных полей
n
BBi
i 1
3.Магнитная индукция полей, создаваемых токами простейших конфигураций:
а) бесконечно длинным прямым проводником
B 0I , 2 b
где b – расстояние от оси проводника; б) круговым током
B 0I ,
2R
где R – радиус кругового тока;
в) прямолинейным отрезком проводника
|
B |
0I |
(cos 1 cos |
2), |
|
|
|||
|
|
4 b |
|
|
где 1 |
и 2 – значения угла между током и радиус-вектором |
|||
r для крайних точек проводника; |
|
|||
г) |
бесконечно длинным соленоидом |
|||
|
43 |
|
B 0nI,
где n – число витков на единицу длины; д) соленоидом конечной длины
B 0 In(cos 1 cos 2 ), 2
где 1 и 2 – углы, которые образует с осью соленоида радиусвектор, проведенный к крайним виткам соленоида.
4. Циркуляция вектора магнитной индукции
n
Bldl 0 Ik ,
|
|
|
k 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
где |
Ik – |
алгебраическая сумма токов, |
охватываемых |
||
|
k 1 |
|
|
|
|
контуром. |
|
|
|
||
|
5. Закон Ампера |
|
|||
|
|
|
dF I[dl;B], |
|
|
где dF - сила, |
действующая на помещенный в магнитное поле |
||||
с индукциейB |
|
элемент проводника длиной dl, по которому |
|||
течетток I |
|
|
|
||
|
6. Момент сил Ампера, действующий на контур с током в |
||||
магнитном поле с индукцией B, |
|
||||
|
|
|
M [r,dF] [Pm,B], |
с током; n – |
|
где |
– |
магнитный момент контура |
|||
Pm nIS |
единичный вектор нормали к поверхности контура.
7. Сила, действующая на контур с током (магнитный диполь) в неоднородном магнитном поле,
|
B, |
F P |
m n
где B n – производная вектора B по направлению диполя.
44
8. Элементарная работа сил Ампера при перемещении контура с током
dA = IdФ,
где dФ = Bn dS – поток вектора магнитной индукции сквозь поверхность dS.
9. Формула Лоренца
F qE q[V,B],
где F – результирующая сила, действующая на движущийся заряд q со стороны электрического и магнитного поля.
10. Закон электромагнитной индукции Фарадея
i |
N |
dФ |
|
d |
, |
dt |
|
||||
|
|
|
dt |
где i – электродвижущая сила индукции; N – число витков;
= NФ – потокосцепление.
11.Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L,
Ф= LI.
12.ЭДС самоиндукции и взаимной индукции
|
s |
L |
dI |
; |
L |
dI |
, |
|
|
||||||
|
|
dt |
12 dt |
где L12 – взаимная индуктивность контуров. 13. Индуктивность соленоида
L = 0 n2 V ,
где n – число витков на единицу длины; V – объем соленоида. 14. Энергия магнитного поля
W LI2 .
2
15. Объемная плотность энергии магнитного поля
|
B2 |
|
|
H2 |
|
BH |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
. |
2 0 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
45 |
|
|
|
|
3.1.2. Примеры решения задач
Пример 1. По контуру, изображённому на рисунке, идёт ток силой I=10 А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги R 10 см, 60 .
Решение
По принципу суперпозиции полей
B BAB BBC BCA .
Магнитную индукцию, создаваемую дугой AB, найдём путём интегрирования:
|
μ0I |
2 πR/ 6 |
μ0I |
|
BAB |
|
0 dR |
|
. |
4πR2 |
12R |
Для нахождения магнитной индукции, создаваемой проводником BC, воспользуемся формулой
А
I
C
B
2 1
a R
0
|
|
B |
BC |
|
μ0I |
cos |
1 |
cos |
2 |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4πa |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где 1 30 , |
2 |
90 , |
a Rsin 1 |
R 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
μ0 |
|
I |
. |
||||||||
С учётом данных значений |
BBC |
|
|
3 |
||||||||||||
|
4π |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
Магнитная индукция ВСА, создаваемая проводником СА в точке О, равна нулю, т. к. для любого элемента dl,r 0.
Поскольку вектор BAB направлен от наблюдателя, а вектор
BBC – к наблюдателю, то результирующая индукция равна
|
I |
3 |
1 |
|
|
||
B BBC BAB |
0 |
|
|
|
|
6,910 6Тл. |
|
|
|
|
|||||
|
R |
|
4 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Рядом с длинным прямым проводом MN, по которому течёт ток силой I1, расположена квадратная рамка со
46
стороной b, обтекаемая током силой I2. Рамка лежит в одной плоскости с проводником MN, так что её сторона, ближайшая к проводу, находится от него на расстоянии a. Определить магнитную силу, действующую на рамку.
Решение
Рамка с током находится в неоднородном магнитном поле, создаваемым бесконечно длинным проводником MN:
B 0 I1 . 2 x
Каждая сторона рамки будет испытывать действие сил Ампера, направление которых показано на рисунке.
Так как стороны АВ и |
DC |
||
располо- |
жены |
одинаково |
|
относительно провода MN, |
|||
действующие на |
них |
силы |
|
F3 и F4 |
численно |
равны и |
|
равнодействующая |
всех |
сил, |
приложенных к рамке, равна
F = F1– F2,
где F |
I |
2 |
B |
b |
0 I1 I2b |
, a |
|
||||||
1 |
|
1 |
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно
M |
A |
F3 |
B |
|||
I1 |
|
|
|
|
|
|
I2 |
F1 |
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
D |
F |
C x |
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
N
F2 I2 B2b |
0 I1I2b |
. |
|
||
|
2 (a b) |
F 0I1I2b2 . 2 (a b)a
Пример 3. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (B = 50 мТл). По проводу течёт ток I = 10 А. Найти силу F, действующую на провод если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.
47
Решение
Расположим провод в плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции и выделим на нём малый элемент dl с током. На этот элемент тока Idl будет действовать
по закону Ампера сила dF I dl ,B . Направление этой силы
можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.
Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рисунке. Силу dF представим в виде
dF idFx jdFy ,
где i и j – единичные векторы (орты); dFx и dFy – проекции вектора dFна координатные оси Ox и Oy.
Силу F, действующую на весь провод, найдём интегрированием:
F dF i dFx j dFy ,
L L L
где символ L указывает на то, что интегрирование ведётся по всей длине провода L. Из соображений симметрии первый
|
|
интеграл равен нулю dFx |
0 . Тогда |
L |
|
|
48 |
F j dFy . |
(1) |
L |
|
Из рисунка следует, что dFy = dFcosα, где dF – модуль вектора dF (dF IBdlsin(dlB)). Так как вектор dl перпендикулярен
вектору B (sin(dlB) 1), то dF IBdl . Выразив длину дуги dl
через радиус R и угол α, получим
dF IBRd .
Тогда
dFy IBRcos d .
Введём dFy под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пределах от –π/2 до +π/2 (как это следует из рисунка):
|
|
/2 |
|
|
F |
jIBR |
|
cos d 2jIBR . |
(2) |
/2
Из полученного выражения видно, что сила F сонаправлена с положительным направлением оси Oy (единичным
вектором j ). Найдём модуль силы F :
F F 2IBR.
Убедимся в том, что правая часть этого равенства даёт
единицу силы (Н):
[I][B][R]=1А·1Тл·1м = 1А·1Н·1м·1м/(1А·(1м)2)=1Н. Произведём вычисления: F = 2·10·50·10-3·0,1Н = 0,1Н.
Пример 4. В центре длинного соленоида, имеющего n=5 103 витков на метр, помещена рамка, состоящая из N=50 витков провода площадью S = 4 см2. Рамка может вращаться вокруг оси ОО, перпендикулярной оси соленоида. При пропускании тока по рамке и соленоиду, соединённых последовательно, рамка повернулась на угол = 60 . Oпределить силу тока, если жёсткость пружины, удерживающей рамку в положении равновесия, равна k = 6 10–5Н·м / рад.
49
Решение
При появлении тока рамка установится в таком положении, когда момент сил магнитного поля М уравновесится
моментом упругих сил пружины: M=Mупр. |
|
||
По определению |
M PмBsin , |
где Pм NIS – |
магнитный |
момент, B 0nI – |
индукция |
Pм |
|
поля соленоида. |
|
|
|
|
|
|
|
С учётом этих выражений имеем: |
|
|
|
M 0nNI2Ssin . |
I |
B м |
|
Заметим, что вначале, когда тока |
|||
нет, 2. Согласно закону |
|
|
|
Гука |
M упр k , |
|
|
|
|
||
где 2 и, следовательно, |
sin cos . |
|
|
Таким образом, 0nNI2S cos k , откуда |
|
I k 0nNS cos 1 A.
Пример 5. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индукцией B 0,2 Тл, стал двигаться по окружности
радиуса R 5 см. Определить магнитный момент Pм эквива-
лентного кругового тока.
Решение
Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, т. е.
B. В этом случае сила Лоренца Fл
сообщит электрону нормальное ускорение an.
Fл B
-e |
R R |
|
an |
||
|
50