telnov-machanika-and-TO

Таким образом, мы получили релятивистский закон сохранения энергии. Этот закон вытекает автоматически из закона сохранения импульса и преобразований Лоренца.

Ввиду исключительной важности закона сохранения энергии выведем формулу (41.5) тем же способом, как было доказано ранее, что в нерелятивистском случае при столкновениях и распадах имеет место

закон сохранения массы åm i = åmj . Для доказательства мы ис-

i j

пользовали нерелятивистский закон сохранения импульса и преобразования Галилея для скоростей.

Итак, рассмотрим снова распад тела с массой M на две части с массами m1 и m2 вдоль оси X . Исходим из закона сохранения им-

пульса в релятивистском случае, записанного через 4-скорости

Рассмотрим теперь тот же распад в системе отсчета движущейся вдоль оси X со скоростью V . В движущейся системе отсчета закон сохранения импульса будет

и используя выражения для нулевой компоненты 4-скорости частицы

101

Назовем 4-импульсом величину pm = mum , тогда закон сохранения

релятивистского импульса и энергии можно записать вместе как закон сохранения 4-импульса

Рассмотрим некоторые фундаментальные и практические следствия релятивистского закона сохранения энергии.

1. При столкновении частиц с массами m1 и m2 может образоваться частица с массой M m1 +m2 .

2. Если в конечном состоянии сохраняются исходные частицы и рождаются новые, то можно сказать, что эти новые частицы образовались из "чистой" кинетической энергии. Пример такой реакции

В этой реакции на ускорителе в 1955 году впервые наблюдали антипротон.

3. При распаде частицы выделяется кинетическая энергия

использовать их энергию, т.е. неподвижная частица обладает реальной

энергией Mc2.

Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов, при этом масса ядер меньше, чем суммарная масса свободных протонов и нейтронов:

называется дефектом массы. Этот «дефект масс» обусловлен отрицательной энергией связи, которая приводит к уменьшению массы ядер.

102

На рис. 34 приведена удельная энергия связи, т. е. энергию связи на один нуклон. Энергия связи отрицательная, но приводят ее везде по абсолютной величине. Наибольшая энергия связи у элементов в районе Fe. Она составляет почти один процент от массы ядра. Выделить эту энергию можно (частично) при слиянии легких ядер или распаде тяжелых ядер. Высвобождается (переходит в кинетическую) энергия равная разности энергий связи.

Средняя энергия связи на нуклон (МэВ)

Число нуклонов в ядре

Рис. 34

Так при поглощении нейтрона ядроU235 быстро разваливается на две части с испусканием нескольких нейтронов

Еще большая энергия (до 0.4 % от Mc2 ) выделяется в реакции син-

В одном килограмме вещества E = mc2 » 1017 Дж , в то время как энергия, выделяющаяся при сжигании 1 кг угля, составляет 1.5 107 Дж. Таким образом, даже при использовании 0.1% mc2 , будет выделяться энергии в 5 106 раз больше, чем при сжигании угля.

103

Массы частиц, точнее mc2 , принято измерять электронвольтах. Электронвольт – это энергия, набираемая частицей с зарядом равным заряду электрона, при прохождении разности потенциалов один Вольт

1 эВ = eDU = 1.6 10-19 Кул 1В= 1.6 10-19Дж . (41.23)

Производные единицы – 1 кэВ º 103 эВ, 1 МэВ º 106 эВ, 1 ГэВ º 109 эВ и т.д..

В таблице приведена энергия покоя некоторых частиц

§42. Четырехвектор энергии-импульса

Впредыдущих двух параграфах были найдены выражения для релятивистского импульса и энергии и сформулированы законы их сохранения. Можно к этим вопросам подойти по-другому, используя язык теоретиков. Часто теоретические подходы делают картину более прозрачной, чем использование специальных ухищрений для получения того или иного результата.

Предположим, при соударении тел (упругом и неупругом) имеет место закон сохранения импульса

Этот закон должен быть справедлив в любой инерциальной системе, значит при преобразованиях Лоренца обе части должны преобразовываться одинаковым образом. В этом случае говорят, что закон имеет ковариантный вид. При p = mv такой ковариантности

при релятивистских скоростях очевидно нет. Если бы импульс был 4- вектором, тогда ковариантность была бы гарантирована. А почему?

Возьмем сначала привычное трехмерное пространство, в котором некий закон записан в виде равенства двух векторов

104

Очевидно, что это равенство сохранится, если перейти к другой системе координат, отличающейся от исходных поворотом осей координат на некоторый угол. Компоненты векторов изменятся, но равенство сохранится. Преобразования Лоренца, как мы знаем, являются вращением в 4-мерном пространстве Миньковского с координатами ict,x,y,z . Следовательно, если некий закон записан в

виде равенства двух 4-векторов, то это равенство сохранится при преобразованиях Лоренца. При этом 4-мерным может быть не только координатное пространство, с осями ict,x,y,z , но и пространство 4-

скоростей.

Ведем 4-вектор импульса путем замены обычной скорости v на 4- скорость um

а закон сохранения импульса запишем как закон сохранения 4- импульса

ij

Внерелятивистском случае уравнения для пространственных компонент 4-импульса переходят в обычный нерелятивистский закон сохранения импульса. Ранее мы искали выражение для релятивистского импульса в виде p = f(v)mv , где f(v) такая функция,

что закон сохранения импульса ковариантен при преобразованиях Лоренца. Импульс, определенный (42.3), p = gmv , удовлетворяет

этим требованиям. Однако, при этом выясняется, что дополнительно мы получаем еще один закон сохранения – закон сохранения для нулевой компоненты 4-импульса, который при нерелятивистских скоростях переходит в закон сохранения кинетической энергии.

Величину

называют релятивистской энергией, а

105

– релятивистским импульсом. Некоторые следствия, вытекающие из релятивистских законов сохранения, мы уже обсудили ранее.

Заметим, что квадрат 4-импульса, как и положено, является инвариантом при преобразованиях Лоренца

Поскольку Pm — это по-определению 4-вектор, то закон преобразо-

где g = 1 / 1 -V 2/ c2 .

Вообще говоря, вывод о том, что энергия и импульс являются компонентами 4-вектора, можно было сделать и без формальных рассуждений о ковариантности. Достаточно было убедиться, что найденные выражения для импульса (40.9) и энергии (41.5) дают инвариант (42.7) при преобразованиях Лоренца.

Несколько следствий. Для фотона m = 0 , тогда из (42.7) получаем

Электромагнитная волна состоит из фотонов с энергией (Планк, Эйнштейн)

{wc, k}, где | k |= wc . Отсюда следуют все формулы (24.18) для эффекта Доплера, полученные ранее:

106

С помощью импульсов легко получить формулы для абберации, также полученные ранее с использованием релятивистской кинематики

встречу им движется релятивистское зеркало со скоростью V . Найдем энергию отраженных фотонов.

Найдем сначала энергию фотонов в системе зеркала. Из (42.10)

После отражения фотоны в системе зеркала имеют ту же энергию, но летят уже в том же направлении, что и зеркало. Переходим обратно в

§ 43. Релятивистская сила

Силу в релятивистской динамике естественно вводить на основе закона сохранения релятивистского импульса, этот подход мы рассматривали для нерелятивистской механики в качестве альтернативного законам Ньютона.

Определим трехмерную силу как

E2 -p2c2 = m2c4 , получаем EdE = c2pdp , откуда с учётом (42.8), (43.1)

107

Следовательно, как и в классике, изменение энергии равно работе сил. Можно ввести 4-вектор силы, дифференцируя 4-импульс по инва-

последнего равенства были использованы формулы (43.2),(43.1). Отсюда, в принципе, можно получить закон преобразования трехмерной силы, но это непросто, т.к. в 4-силе имеются сомножители, зависящие от скорости частицы.

Примечание: следует обратить внимание, что фактор g использу-

ется в данной книжке (и вообще в научных книгах) в двух значениях. Он может относиться к скорости v рассматриваемой частицы,

g = 1 / 1 -v2/c2 , как в предыдущей формуле, а может и к скорости

V системы отсчета S ¢ , если речь идет о преобразовании какой-либо величины при переходе к другой системе отсчета, тогда

g = 1 / 1 -V 2/c2 . Обычно ясно, о чем идет речь, но там, где может

возникнуть неоднозначность, будет сказано специально.

Наиболее просто закон преобразования сил при переходе из неподвижной системы S в систему S ¢ , движущуюся со скоростью V в направлении оси X, получается из определения трехмерной силы

108

Продольные силы одинаковы в обеих системах, а поперечные отличается в g раз.

Нетрудно найти связь между силой F и ускорением a = dvdt в релятивистском случае

Подставляем это выражение в правую часть (43.9), находим ускорение

Отсюда следует, что направление силы и ускорения не совпадают! Поэтому, в релятивистском случае нельзя ввести понятия релятивистской массы как коэффициента пропорциональности между

F и a . Во многих учебниках пишут p = mv , где m = gm0 . Это

109

неверно. Фактор g , является независимым сомножителем в импульсе,

а не относится к массе. У частицы есть только одна масса. Пример 1. Пусть частица имеет импульс

Если приложить силу F перпендикулярно направлению движения, то

скорость не меняется по абсолютной величине, меняется только ее направление. Если сила параллельно скорости, то нужно дифференцировать и v и v

Это можно было получить и из (43.9). Еще раз видим, что бессмысленно определять «массу движения», как F / a , она

получилась разной для рассмотренных двух случаевю

Пример 2. Пусть частица с энергией E0 , массы m и зарядом Q пе-

ресекает под некоторым начальным углом плоский конденсатор с разностью потенциалов U . Чему равна энергия на выходе из конденсатора?

Пример 3. Частицы с зарядом летит вдоль оси X в электрическом поле напряженности со скоростью v , какая действует на него сила в системе покоя заряда?

110