теория и практика_ТГ_для дискретки

из предыдущего следует, что l . n1. Получили противоречие, так как l < n и l N . Следовательно, (ak)l 6= e для всякого l N , удовлетворяющего

Так как порядок элемента i в группе (C \ {0}, ·) равен 4 и остаток от деления числа 123456789 на 4 равен 1, по свойству 13.3

i123456789 = i1 = i.

Приведем определение элементов конечного и бесконечного порядков в аддитивной терминологии.

51

Пусть (G, +) — группа с нулевым элементом 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.1′. Элемент a группы G называется элементом конечного порядка, если na = 0 для некоторого n N .

При этом наименьшее n N , для которого выполняется условие na = 0, называется порядком элемента a.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.2′. Элемент a группы G называется элементом бесконечного порядка, если na =6 0 для всякого n N .

ЗАДАНИЕ. Сформулируйте предложение 13.1 и свойства 13.1— 13.6 в аддитивной терминологии.

§ 14. Частное элементов абелевой группы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14.1 . Пусть (G, ·) — абелева группа. Частным элементов a и b группы G называется такой элемент c G, что

a = bc.

Частное элементов a и b обозначается через ab . Таким образом, соглас-

но определению a = b a.

Отметим следующиеbсвойства частных элементов абелевой группы G.

ab = ab−1.

Это утверждение вытекает из свойства 11.3.

СВОЙСТВО 14.2. a G ( aa = e ae = a).

Эти равенства вытекают из определения частного.

52

53

Поэтому доказываемое равенство вытекает из определения частного.

Вслучае, когда операция в коммутативной группе G обозначается через

+(т.е. в случае аддитивной терминологии), вместо частного элементов a и b группы G вводится понятие разности элементов a и b.

Приведем соответствующие определения и свойства (доказательства свойств совпадают с приведенными выше).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14.2. Пусть (G, +) — абелева группа. Разностью элементов a и b группы G называется такой элемент c G, что a = b + c.

Разность элементов a и b обозначается через a − b. Таким образом, согласно определению a = b + (a − b).

СВОЙСТВО 14.1′. Для любых элементов a и b абелевой группы G существует единственная разность a − b, причем a − b = a + (−b).

ЗАМЕЧАНИЕ. Приведенные свойства частного (разности) двух элементов абелевой группы совпадают со свойствами частного и разности действительных чисел, известными из школьного курса математики.

54

§ 15. Подгруппа. Циклическая подгруппа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15.1. Подгруппой группы (G, ) называется подмножество H множества G, которое замкнуто относительно операции , определенной в G, и само является группой относительно этой операции.

Приведем некоторые примеры.

Во всякой группе (G, ) само множество G, а также одноэлементное подмножество {e} являются подгруппами группы G. Такие подгруппы группы G называются тривиальными.

Множество Z является подгруппой группы (R, +). Множество Q \ {0} является подгруппой группы (C \ {0}, ·). Множество T является подгруппой группы (D, ◦). Множество D[a,b] является подгруппой группы (C[a,b], +).

Простейшие свойства подгрупп.

Будем использовать мультипликативную терминологию.

СВОЙСТВО 15.1. Единичный элемент подгруппы H группы (G, ·) совпадает с единичным элементом e группы G.

Доказательство. Пусть e1 — единичный элемент подгруппы H. Тогда e1e1 = e1 и e1e = e1. Значит, e1e1 = e1e, откуда по закону сокращения

e1 = e.

Из свойства 15.1 вытекает

СВОЙСТВО 15.2. Для всякого элемента a подгруппы H группы (G, ·) обратный к нему элемент в H совпадает с a−1 (т.е. с обратным к нему элементом в группе G).

Отметим также два простых утверждения для коммутативного случая. Прежде всего, очевидно

СВОЙСТВО 15.3 . Подгруппа коммутативной группы сама является коммутативной группой.

Учитывая свойства 15.2, 15.3, а также свойство 14.1, получаем следующее

55

СВОЙСТВО 15.4. Пусть H — подгруппа коммутативной группы (G, ·). Тогда для любых элементов a и b из H их частное в подгруппе

H совпадает с частным этих элементов в группе G, т.е. с элемен- a

том b .

ЗАДАНИЕ. Сформулируйте свойства 15.1, 15.2 и 15.4 в аддитивной терминологии.

Признаки подгруппы.

На практике при решении вопроса о том, является ли подмножество H группы G подгруппой в G, вместо определения удобно пользоваться одной из следующих двух теорем, которые мы будем называть соответственно первым и вторым признаками подгруппы.

ТЕОРЕМА 15.1 (первый признак подгруппы).

Непустое подмножество H группы G с операцией · является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

Доказательство.

Необходимость. Пусть H подгруппа группы G. Тогда условие (1) выполненно по определению подгруппы, а условие (2) — согласно свойству 15.2.

Достаточность. Пусть H G, H 6= и H удовлетворяет условиям (1),

(2).

Из условия (1) следует, что H — группоид относительно операции ·. Покажем, что группоид (H, ·) удовлетворяет всем аксиомам группы.

1.Операция · в H ассоциативна, так как · ассоциативна в G.

2.Пусть e — единичный элемент группы G. Покажем, что e H. Пусть a — произвольный элемент из H (H 6= !) Из условия (2) следу-

ет, что a−1 H. Так как a, a−1 H, из условия (1) следует, что aa−1 H, т.е. e H.

Значит, e — единичный элемент в группоиде (H, ·).

3. Пусть a H. По условию (2) a−1 H и поэтому a−1 — элемент, обратный к элементу a в группоиде (H, ·).

Следовательно, H — подгруппа группы G.

56

ТЕОРЕМА 15.2 (второй признак подгруппы).

Непустое подмножество H группы G с операцией · является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию

b H, по теореме 15.1 b−1 H и, так как a, b−1 H, снова по теореме 15.1

H.

Достаточность. Пусть H G, H =6 и H удовлетворяет условию (3). Покажем, что H удовлетворяет обоим условиям (1) и (2), указанным в формулировке теоремы 15.1.

Пусть a H. Тогда из условия (3) следует, что aa−1 H т.е. e H. Поэтому, так как e, a H, по условию (3) ea−1 H, т.е. a−1 H. Таким образом, H удовлетворяет условию (2) из теоремы 15.1.

Пусть a, b H. Согласно предыдущему, b−1 H и поэтому, по условию (3) a(b−1)−1 H, т.е. ab H. Значит, H удовлетворяет и условию (1) из теоремы 15.1.

Следовательно, H — подгруппа группы G.

ЗАМЕЧАНИЕ. Пусть (G, ·) абелева группа и a, b G. По свойству 14.1 = ab . Поэтому условие (3) теоремы 15.2 может быть записано в виде

Сформулируем теоремы 15.1 и 15.2 в аддитивной терминологии.

ТЕОРЕМА 15.1′ (первый признак подгруппы).

Непустое подмножество H группы G с операцией + является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

ТЕОРЕМА 15.2′ (второй признак подгруппы).

57

Непустое подмножество H группы G с операцией + является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию

ЗАМЕЧАНИЕ. Если (G, +) — абелева группа, то условие (3) может быть записанно в виде

Рассмотрим примеры применения доказанных выше признаков подгруппы.

ПРИМЕР 15.1. Пусть H — множество всех корней из единицы, принадлежащих C, т.е. H = {x C | n N xn = 1}.

Доказать, что H — подгруппа в группе (C \ {0}, ·).

Применим первый признак подгруппы. Ясно, что H — непустое подмножество в C \ {0}. Пусть x, y H. Тогда найдутся такие k и l из N , что xk = 1 и yl = 1. Обозначив n = kl, и учитывая коммутативность операции умножения в C, получим, что

(xy)n = xnyn = (xk )l(yl)k = 1l1k = 1.

Значит, xy H.

Кроме того, (x−1)k = (xk )−1 = 1, так что x−1 H.

Таким образом, H удовлетворяет обоим условиям (1) и (2) теоремы 15.1. Поэтому H — подгруппа в группе (C \ {0}, ·).

Доказать, что H — подгруппа в группе GL(2, R).

Снова применим первый признак подгруппы. Ясно, что H — непустое

58

Кроме того, используя формулу для обратной матрицы, получим, что

ПРИМЕР 15.3 . Доказать, что множество H всех целых чисел, делящихся на фиксированное натуральное число n, является подгруппой в группе (Z, +).

Применим второй признак подгруппы (в аддитивной терминологии). Яс-

но, что H Z и H =6 . Пусть x, y H т.е. x = nq1, y = nq2, где q1, q2 Z. Тогда x + (−y) = nq1 − nq2 = n(q1 − q2) H.

Поэтому H — подгруппа в группе (Z, +).

ПРИМЕР 15.4 . Доказать, что множество H функций из FX , ограниченных на множестве X, является группой относительно операции сложения (функция f (x) называется ограниченной на множестве X, если существует такое M R, что для всякого x X выполняется неравенство

| f (x) |6 M ).

Применим второй признак подгруппы.

Очевидно, что H есть непустое подмножество абелевой группы FX с операцией +.

Пусть f (x), g(x) H, т.е. существуют такие M1, M2 R, что | f (x) |6 M1 и | g(x) |6 M2 для всякого x X. Тогда

| f (x) − g(x) |6| f (x) | + | g(x) |6 M1 + M2

и, значит, f (x) − g(x) H.

Следовательно, H удовлетворяет условию (3) теоремы 15.2′. Поэтому H

— подгруппа группы (FX , +), т.е. H — группа относительно операции сложения.

ПРИМЕР 15.5 . Выяснить, является ли множество H всех матриц из Rn×n, определитель которых есть натуральное число, группой относительно операции умножения матриц.

В этом примере H есть подмножество группы GL(n, R) с операцией умножения.

59

условию (2) первого признака подгруппы. Значит, H не является подгруппой группы (GL(n, R), ·), т.е. H не является группой относительно операции умножения матриц.

Циклическая подгруппа.

Пусть (G, ·) — группа, a G. Обозначим < a >= {ak | k Z}. Из равенств (1) и (2) теоремы 12.1 легко следует

ТЕОРЕМА 15.3 . Множество < a > является подгруппой группы G.

В самом деле, ясно, что < a > — непустое подмножество в G. Пусть x, y < a >. Тогда x = ak , y = al, где k, l Z. Поэтому

xy = ak al = ak+l < a > и x−1 = (ak )−1 = a−k < a >,

так что по теореме 15.1 < a > — подгруппа группы G.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15.2 . Пусть (G, ·) — группа, a G. Подгруппа < a >= {ak | k Z} группы G называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом a.

ПРИМЕР 15.6. В группе (C \ {0}, ·)

< −1 >= {1, −1}, < i >= {1, −1, i, −i}, < 2 >= ©2k | k Zª — бесконечное множество.

Вообще, если элемент a группы G с операцией · имеет конечный порядок n, то, как следует из свойств 13.3 и 13.5, циклическая подгруппа < a > состоит из n элементов, а именно,

< a >= ©a0 = e, a, . . . , an−1ª ,

если же a — элемент бесконечного порядка, то < a > бесконечна. Приведем определение циклической подгруппы в аддитивной термино-

логии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15.3 . Пусть (G, +) — группа, a G. Подгруппа < a >= {ka | k Z} группы G называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом a.

60