Lektsii_1-50

4.1Метод Крамера

Рассмотрим случай 3 уравнений с 3 неизвестными. Пусть задана система

отличен от нуля. Тогда решение системы существует и единственно.

Пусть при j = 1; 2; 3 определитель ¢j получается из определителя ¢ путем замены столбца с номером j определителя ¢ столбцом свободных членов. Тогда решение системы можно найти по формулам:

x1 = ¢¢1 ; x2 = ¢¢3 ; x3 = ¢¢3 :

Сформулированное правило справедливо для систем n линейных уравнений с n неизвестнвми, где n ¸ 2.

Пример 3. Решим систему уравнений

Вычисляем определитель системы

Так как ¢ =6 0, можно применять правило Крамера. Вычисляем определите-

31

Случай 1. a 6= 1 и a 6= ¡2. В этом случае ¢ 6= 0, поэтому применимо правило Крамера, в соответствии с которым решение существует и единственно. Вычисляем определители ¢1, ¢2 и ¢3:

Случай 2. a = 1. Система сводится к одному уравнению x+y+z = 1. Общее

решение системы имеет вид x = 1 ¡y ¡z, где y и z - свободные переменные (принимающие произвольные значения). Решений бесконечно много.

Случай 3. a = ¡2. Система принимает вид

>

:

32

Сложив все уравнения, придем к равенству 0 = 2. Поэтому решений нет.

Пример 6. Исследовать систему линейных уравнений

8

< ax + y + z = 1 : x + ay + z = a

Вычтем из первого уравнения второе уравнение, умноженное на a, и переставим уравнения. Придем к системе со ступенчатой матрицей:

:(1 ¡ a2)y + (1 ¡ a)z = 1 ¡ a:

Коэффициент при y во втором уравнении равен нулю при a = §1, поэтому возможны три случая.

Случай 1. a 6= 1 и a 6= ¡1. В этом случае второе уравнение можно сократить на (1 ¡ a), после чего придем к системе

Общее решение имеет вид

8

< x = y ¡ 1; где y свободная переменная.

: z = (1 + a)(1 ¡ y);

За свободную переменную можно принять и z, но тогда в общем решении появятся дроби.

Случай 2. a = 1. Система сводится к одному уравнению x + y + z = 1. Общее решение системы имеет вид x = 1 ¡ y ¡ z, где y и z - свободные переменные (принимающие произвольные значения). Решений бесконечно много.

Случай 3. a = ¡1. Система принимает вид

Сложив уравнения, получим 2z = 0, откуда z = 0. Общее решение: x = 1 + y, z = 0, y - свободная переменная. Решений бесконечно много.

33

5Матрицы

Матрица это прямоугольная таблица, составленная из чисел. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. Например,

Компактная запись: A = (aij), 1 · i · m, 1 · j · n. В приведенной выше записи

A матрица размера m £ n. Если m = n, то говорят, что A квадратная матрица порядка n.

aij это элемент матрицы, стоящий в строке с номером i и столбце с номером j.

Примеры матриц.

1) В таблице приведены результаты работы трех предприятий в течение месяца:

Этой таблице соотвествует следующая матрица:

2) Ведомость группы с итогами по 3 аттестациям.

Говорят, что две матрицы имеют одинаковый размер, если одинаково число их строк и одиноково число столбцов.

Определение 4. Матрицы A = (aij) и B = (bij) называются равными, если они имеют одинаковый размер и aij = bij при всех i, j.

34

Определение 5. Пусть A = (aij), B = (bij) и C = (cij) три матрицы одинакового размера. Говорят, что матрица C равна сумме матриц A и B, если cij = aij + bij при всех i, j.

Запись: C = A + B.

Определение 6. Пусть A = (aij) и B = (bij) две матрицы одинакового размера. Говорят, что матрица B равна произведению числа k на матрицу A, если bij = kaij при всех i, j.

Определение 7. Пусть A = (aij) матрица размера m £ n, B = (bij) матрица размера n £ l и C = (cij) матрица размера m £ l. Говорят, что C равно произведению матрицы A н матрицу B, если при всех i, j верно равенство

cij = ai1b1j + ai2b2j + : : : + ainbnj:

5.1Свойства операций над матрицами

Пусть A, B, C матрицы, а k, k1 и k2 некоторые числа. Тогда выполнены следующие равенства:

1)(A + B) + C = A + (B + C).

2)A + B = B + A.

3)k(A + B) = kA + kB.

4)(k1 + k2)A = k1A + k2A.

5)(k1k2)A = k1(k2A).

6)(A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC.

7)A(BC) = (AB)C.

Предполагается, что в каждом равенстве определена ее левая и правая часть. Так, в равенстве 1) предполагается, что все три матрицы имеют одинаковый размер. В равенстве 6) матрицы A и B должны иметь одинаковый размер и число столбцов этих матриц обязано совпадать с числом строк матрицы C.

Отметим, что умножение матриц не коммутативно, то есть AB не всегда равно BA. Если же AB = BA, то говорят, что матрицы A и B перестановочны (или что эти матрицы коммутируют).

35

Задача 1. Решить матричное уравнение AX = B, где 789

Задача 2. Найти все матрицы, коммутирующие с матрицей A.

Задача 3. Решить матричное уравнение X2 = 0 999

5.2Нулевая и единичная матрицы

Определение 8. Нулевой матрицей 0mn размера m£n называется матрица с m строками и n столбцами, все элементы которой равны нулю.

Определение 9. Единичной матрицей En порядка n называется (квадратная) матрица с n строками и n столбцами, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

Вместо 0mn и En обычно пишут 0 и E. Перечислим свойства нулевой и единичной матриц.

8)A + 0 = A.

9)A ¢ 0 = 0 и 0 ¢ A = 0.

10)A ¢ E = E ¢ A = A.

5.3Определитель квадратной матрицы

Пусть A квадратная матрица. Из ее элементов можно составить определитель, который обозначается det(A) или jAj.

Предложение 31 Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителй, то есть

jABj = jAj ¢ jBj:

Предложение легко перенести на любое число сомножителей.

36

5.4Обратная матрица

Определение 10. Пусть A квадратная матрица. Говорят, что матрица B является обратной для матрицы A, если AB = BA = E, где E единичная матрица. Обратная матрица обозначается так: A¡1. Таким образом, справедливы равенств AA¡1 = A¡1A = E.

Не для каждой квадратной матрицы существует обратная матрица:

Предложение 32 Для квадратной матрицы A существует обратная матрица тогда и только тогда, когда определитель матрицы A не равен нулю.

Если матрица A¡1 существует, то ее можно найти из равенства

где Aij алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A. Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения, найденные для элементов некоторой строки матрицы A, в формуле для обратной матрицы образуют столец (а не строку).

Существует другой способ вычисления обратной матрицы A¡1:

Выписываем матрицу (AjE) и преобразуем ее к виду (EjB), используя элементарные преобразования строк (здесь E единичная матрица того же порядка, что и матрица A). Тогда обратной матрицей для матрицы A будет матрица B.

Задача 4. Найти двумя способаи обратную матрицу для матрицы A 3333 !!!!

Перечислим некоторые свойства обратной матрицы.

11)Если B = A¡1, то A = B¡1.

12)(AB)¡1 = B¡1A¡1.

37

5.5Транспонирование матриц

Определение 11. Пусть A = (aij и B = (bij) две матрицы размера

m £ n и n £ m соответственно. Тогда говорят, что матрица B является транспонированной по отношению к матрице A, если aij = bji при всех i, j. Транспонировванная матрица обозначается At.

Ясно, что транспонированная матрица получается из исходной матрицы путем замены строк столбцами (с сохранением их взаимного расположе).

Отметим некоторые свойства транспонированных матриц.

13)(A + B)t = At + Bt.

14)(AB)t = BtAt.

15)(kA)t = kAt, где k число.

16)(A¡1)t = (At)¡1.

17)(At)t = A.

Теорема Кронекера-Капелли.

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1 (1) am1x1+am2x2+...+amnxn=bm A= a11 a12 ... a1n B= ...

Теорема 1.

Однородные системы ЛУ

a11x1+a12x2+...+a1nxn = 0 (2) am1x1+am2x2+...+amnxn = 0 Система (2) имеет решение x1 = 0, Любое другое решение этой системы

называется ненулевым.

Теорема 2. Система (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы A меньше n.

Следствие. Если m=n, то система (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы A равен 0.

Связь решений однородной и неоднородной системы линейных уравнений. Систему (1) запишем в виде AX=B, а систему (2) в виде AX=0.

38

Предложение 1. Пусть X1, X2 решений системы (1). Тогда X1-X2 решение системы (2).

Предложение 2. Пусть X1 решений системы (1), а X2 решений системы (2) Тогда X1+X2 решение системы (2).

Предложение 3. Пусть X1 какое-либо решение системы (1), а X0 произвольное решений системы (2). Тогда X0 можно представить в виде X0=X1+X2, где X2 решение системы (2).

Геометрическая интерпретация - случай n=3, m=2. Sys-temp.txt

39