Distributions
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x t)+ 1 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
формулу |
|
|
|
( +1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
Используем |
( |
) = |
|
|
ïðè ! 0. Поэтому |
( ) ; |
|
0 |
(x |
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
t) 1 (t)dt = (x)x + (x t) 1 [ (t) (x)] dt !0 (x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объединяя утвержденияR |
Ä 2.2 è Ä 2.3 |
можно сказать, что оператор I является |
||||||||||||||||||||
обратным к I . Поэтому естественно следующее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определение Д 2.2. |
Производной (комплексного) |
порядка функции t |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
( ) |
|
supp |
|
|||||||||||||
[0; |
1 |
), называется действие функционала D := I := |
(x t)+ |
на эту функцию. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
( ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Очевидно, так определенное дифференцирование является линейной операцией, при натуральных совпадающей с обычным дифференцированием, а при = 0 являющейся тождественным преобразованием. Отметим некоторые дополнительные свойства, которые проверяются, исходя из данных определений (мы не будем далее различать в обозначениях аргумент функции (x) и аргумент е¼ фрактальной производной).
Утверждение Д 2.4. 1) |
Вычисление |
D (x0) является нелокальной операцией, т.е. |
|||||||
зависит от значений |
x |
) âî âñåõ |
точках, а не только от значений в точках, близких |
||||||
ê x0; |
|
|
|
( |
|
|
|
||
|
|
|
D (x) ( x); |
|
|
||||
3) |
D ( x) = |
||||||||
2) |
Åñëè (x) 0 ïðè x < x0, òî è |
D (x) 0 ïðè x < x0 (так называемый принцип |
|||||||
причинности); |
|
|
[ ( )] |
|
|
||||
4) |
[ |
|
|
( )] = ( ) |
|
|
|
||
|
F D x |
i F x |
|
|
|||||
Замечание Д 2.3. Последнее свойство позволяет также в многомерном случае опреде-
лить операции частного фрактального дифференцирования как: Dxj (~x) = F 1[( |
|
i j ) (~)], |
ãäå ïîä F 1 понимается обратное многомерное преобразование Фурье. |
e |
Пример Д 2.3. Фрактальное затухание
Рассмотрим дифференциальное уравнение D y + p y = f (x) при вещественных 0 < 6 1, p постоянная. Если известно фундаментальное решение E(x), òî y = E f , поэтому достаточно найти E(x).
Фундаментальное решение удовлетворяет уравнению D E + p E = (x), применив к обеим частям которого операцию I , получим E + p I E =
1
Решения последнего уравнения можно искать в виде ряда E(x) = n=0 pnEn(x), â êî- |
|||||||||||||||||||
тором |
E |
n(x) удовлетворяют рекуррентным соотношениям |
|
|
|
|
P |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x+ 1 ; En(x) = I En 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
E0(x) = |
|
(x) : |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
||||||||||||
Последовательно применяя оператор I |
|
, находим En(x) = |
|
( 1)n |
n+ 1 |
. Таким обра- |
|||||||||||||
|
|
|
(n+ ) |
x+ |
|||||||||||||||
çîì, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
(x) = |
1 |
x 1R (px) ; |
|
; |
R( ; ) = |
|
|
( 1)n |
|
n : |
(Ä 2.8) |
|||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
n=0 (n + ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|||||
Функция R( ; ) в (Д 2.8) называется функцией Миттаг-Лефлера. Нетрудно видеть, что при = 1 R( ; 1) = exp( ), è E(x) совпадает с классическим фундаментальным
решением. Поэтому функцию Миттаг-Лефлера можно назвать Фрактальной экспонентой . При 6= 1 функция R( ; ) íå выражается через элементарные функции, однако
V
при некоторых частных значениях она выражается через другие специальные функ-
ции. В частности,
R( ; 1=2) = 1 p e |
erfc( ) ; ãäå erfc(z) = p |
Zz |
e t dt |
|||
|
|
2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
функция ошибок (интеграл вероятностей).
С точки зрения физических приложений функции Миттаг-Лефлера важно отметить, что затухание, описываемое этой функцией, т.е. ее убывание при ! 1, в случае < 1 оказывается более медленным (степенным) по сравнению с экспоненциаль-
ным. В частности,
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
R( ; 1=2) |
|
|
) E(x) x |
|
2p |
|
px3=2 |
: |
2 2 |
|
|||||||
|
||||||||
|
!1 |
|
|
!1 |
|
|
|
|
III -ФУНКЦИЯ
Исходное определение -функции может быть сделано различными способами. Наиболее распространенным является:
Определение Д 3.3. (z) := e ttz 1dt :
Материал настоящего пункта имеет очевидные аналогии с аналитическим продолжением функционалов x (см. дополнение I).
Интегрированием по частям в определении Д 3.3 получаем формулу, являющуюся одним из основных функциональных свойств (z):
Утверждение Д 3.6. (z + 1) = z (z) ; : : : ; (z + n) = (z + n 1):::(z + 1)z (z) :
Пример Д 3.4. (1) = R1e tdt = 1; (n + 1) = n(n 1):::1 = n!.
0
При помощи утверждения Д 3.6 можно продолжить (z) в полуплоскость Re z > n:
(z) = |
|
(z + n) |
; Re z > n : |
(Ä 3.9) |
|
|
|
|
|||
(z + n |
|
1):::(z + 1)z |
|||
|
|
|
|
|
|
Тем самым (z) мероморфна в полуплоскости Re z > n и имеет там простые полюса в
точках z |
= |
m, m |
= 0 |
; |
1 |
; :::; n |
1 |
. Нетрудно подсчитать res |
z |
) = |
(n m) |
= |
||||
|
( 1)m |
. |
|
|
|
z= |
|
m ( |
|
(n m 1):::1( 1):::( m) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VI
Формула (z) (1 z) = = sin z
При выводе этой формулы достаточно считать 0 < Re z < 1. Тогда по единственности аналитического продолжения формула будет верна всюду.
|
|
1 1 |
|
|
t |
x dtd |
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем (x) (1 x) = |
|
e (t+ ) |
|
|
|
|
. Заменой переменных = t+ , = |
|
(якобиан |
||||||
|
|
|
t |
t |
|||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
R R |
|
|
R |
|
|
|||
|
1+ |
R R |
|
|
|
x |
|
|
|||||||
этой замены равен |
|
|
1 1 |
e |
1 x |
|
|
||||||||
t |
) приводим интеграл к виду |
|
1+ d d = |
1+ d . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
Чтобы вычислить последний интеграл, сделаем еще одну замену переменной:
= |
Z |
1 + ey dy = |
1 e 2 ix z=i 1 + ez |
= sin x : |
|
|||
|
1 |
e(1 x)y |
2 i |
|
e(1 x)z |
|
|
|
e y |
1 |
|
|
res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие Д 3.1. -функция не имеет нулей. Действительно, правая часть формулы не имеет нулей, т.е. нули (z) в левой части формулы были бы возможны только в точках, в которых (1 z) имеет сингулярности. Но все сингулярности (1 z) известны: это точки z = m + 1, в которых (z) = m! =6 0.
1 |
|
|
|
|
|
|
Бесконечное произведение для |
|
|
|
|
|
|
(z) |
|
|
|
|
||
Итак, (z) мероморфна и не имеет нулей. Поэтому |
1 |
|
|
целая функция, и может быть |
||
(z) |
|
|||||
разложена в бесконечное произведение. |
|
|
|
|
||
В силу известного предельного соотношения |
|
|
|
e t мы можем считать |
||
|
|
|
||||
(z) =
= lim
n!1
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
n |
z |
|
|
|
|
|
n!1 |
|
||
|
!1 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
1 |
|
t |
n tz 1dt |
|
|
= |
lim |
1 |
|
1 |
|
t |
|
|
n 1 tz dt = |
|
= |
|||||||||
n |
0 |
|
n |
|
|
R |
|
|
по частям n |
|
|
z |
0 |
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
(n 1)! |
|
z+n |
1 |
|
!1 |
|
|
n!n |
|
|
. Поэтому |
|
|
||||||||
z(z+1):::(z+n 1) |
n |
n 1 |
|
t |
|
|
|
dt = lim |
z(z+1):::(z+n) |
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n!1 |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 " |
k=1 |
|
|
|
# |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k=1 |
|
k |
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
1 + z |
|
|
|
|
|
zeCz |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n z ez(1+ 21 +:::+ n1 ) |
lim |
z n |
e kz |
|
|
|
1 |
1 + z |
e kz ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
ãäå C = lim 1 + |
1 |
|
::: |
|
|
1 |
|
|
ln n |
существование предела вытекает из регулярности |
1 |
|
||||||||||||||||||||||
2 |
+ |
+ n |
|
|
(z) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и сходимости бесконечного |
произведения). Величина C |
|
|
|
|
|
::: носит название посто- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
57721 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
янной Эйлера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция |
(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Переформулируем выведенные выше свойства -функции |
|
|
для ее логарифмической про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изводной, известной под названием |
-функции: |
(z) := |
(z) |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(z + 1) = |
1 + |
(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1 z) |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(z) = ctg z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) = |
z |
+ m=1 |
|
m |
z+m |
res (z) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
z= m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В действительности это лишь малая часть известной о -функции информации.
VII
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1]В.С.Владимиров. Уравнения математической физики, вып.1,2, Наука , 1971.
[2]В.С.Владимиров. Обобщенные функции в математической физике, Наука , 1976.
[3]И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов. Обобщенные функции и действия над ними, ГИФМЛ, вып.1 (1958), вып.2,3.
[4]Я.Микусинский, Р.Сикорский. Элементарная теория обобщенных функций, ИЛ, вып.1, 1959, вып.2, 1963.
[5]Л.Шварц, Математические методы для физических наук, Мир , 1965.
VIII