![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
matan
.pdf![](/html/2706/637/html_mCHs5gCVvY.qhRC/htmlconvd-BeX5wD71x1.jpg)
3.Четные, нечетные функции.
4.Монотонные, периодические функции
Типовые задачи
1. Найти область определения функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
5 x |
|
|
|
|||
1. |
y |
x |
2 |
2x 8 |
2. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
2 |
|
4. |
y arccos |
x 1 |
|
|
||||
y lg x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое звено которой содержит основную элементарную функцию (степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрическую):
1. |
y |
3x 1 7 |
2. |
y lg sin 3x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
3. |
|
|
|
2x x |
4. |
|
2 |
|
|
||
y |
|
|
y sin |
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить частное значение функций:
а) f (x) при x = 0, x = 2, x = –2.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) f (x) 2x |
2x 2 |
|
2x 6 |
|
2x |
|
|
при x=0, x=1. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) f (x) ex 1при x = 0, x = 1, |
x a , x =–1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Тема 3. Предел функции
Основные вопросы
1.Понятие предела функции в точке и на бесконечности, их графические пояснения. Односторонние пределы.
2.Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства и взаимная связь.
3.Первый и второй замечательные пределы. Число е.
71
![](/html/2706/637/html_mCHs5gCVvY.qhRC/htmlconvd-BeX5wD72x1.jpg)
4.Определение эквивалентных бесконечно-малых, привести примеры эквивалентных бесконечно-малых.
5.Понятие непрерывности функции в точке. Точки разрыва, их виды.
Типовые задачи
1.Вычислить пределы функций:
|
|
|
3x7 5x5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x2 7 |
|
|
|
|
||||
а) |
lim |
; |
б) |
|
lim |
|
|
|
x 2 |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 1 7x6 3x 4 |
|
x 5x2 6x 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
3x3 |
|
|
|
e |
sin 3 x |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
в) |
lim |
|
|
|
; |
|
г) |
lim |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 2 x |
2 |
|
x0 x 2 x3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
tg 2 2x |
|
|
|
|
2n 1 |
2n 4 |
|
|
|
|
||||||||
д) lim |
|
|
|
; |
|
|
е) lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x0 x sin 5x |
|
|
|
n 2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2. Исследовать на непрерывность функцию схематически ее график.
y |
2x |
|
, |
изобразить |
|
x 1 |
|||||
|
|
|
Тема 4. Производная функции
Основные вопросы
1.Понятие производной и дифференциала функции.
2.Геометрический, механический и экономический смысл производной.
3.Производные второго порядка и выше.
Типовые задачи
1. Найти производные функций:
а) y 5x 4 ;б) y arctg(2x 3)
x3
в) y 3 - x2 ;г) y = x2ln(3x-1).
5x 1
72
![](/html/2706/637/html_mCHs5gCVvY.qhRC/htmlconvd-BeX5wD73x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
е) y 2x 1 10 . |
|
д) y 3 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
з) y ex xa . |
||||
ж) y 3 x2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 5. Приложения производной
Основные вопросы
1.Признаки возрастания и убывания функции.
2.Необходимые и достаточные условия экстремума функции.
3.Признаки выпуклости и вогнутости графика функции.
4.Необходимые и достаточные условия перегиба графика функции.
Типовые задачи
1. Исследовать функции средствами дифференциального исчисления и построить их графики:
а) y = x3 - 9x2; б) y xe x; в) y xlnx..
2. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функ-
ции y 4x x2 в точке x = 1. Результаты изобразить графически. 3. Найти пределы функций по правилу Лопиталя:
a) lim |
2x2 |
15x 18 |
; б) lim |
e3x 1 |
. |
|
x |
2 |
4x 12 |
sin2x |
|||
x 6 |
|
x 0 |
|
Тема 6. Неопределенный интеграл
Основные вопросы
1.Первообразная. Неопределенный интеграл
2.Свойства неопределенного интеграла.
3.Формула интегрирования по частям.
Типовые задачи
73
![](/html/2706/637/html_mCHs5gCVvY.qhRC/htmlconvd-BeX5wD74x1.jpg)
1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить диффе-
ренцированием. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos 4x2 dx ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
|
|
dx |
; |
|
|
5 |
|
x x |
dx |
; |
в) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 7x 5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|||||||||
г) |
|
|
|
|
x 2,5 |
|
dx ; |
|
д) |
x |
2 |
sin xdx ; |
|
е) |
1 ln x |
dx . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
x2 |
5x |
6 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 7. Определенный интеграл
Основные вопросы
1.Определѐнный интеграл, его геометрический смысл.
2.Формула Ньютона-Лейбница.
3.Нахождение площади плоской фигуры.
4.Основные методы интегрирования.
Типовые задачи
1.Вычислить площади фигур, ограниченных линиями. Сделать чертеж.
а) |
у = х2, |
у = 0, х = 2; |
б) |
y = x3, |
у = 8; |
2.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями. Сделать чертеж.
а) |
y = x2, |
|
|
|
y = x ; |
||||
б) |
y = 4 – x2, |
у = х2 – 2x. |
Тема 8. Дифференциальные уравнения первого порядка
Основные вопросы
1.Обыкновенные дифференциальные уравнения, их общее и частные решения.
2.Задача Коши для ДУ первого порядка.
74
3.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
4.Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли решения линейного уравнения первого порядка.
Типовые задачи
1. Решить дифференциальные уравнения:
а) |
|
3 |
y |
x |
г) |
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|||||||
y |
x |
y cos x ysin x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
y tg x ctg x |
д) |
|
|
|
|
||
y |
2x 1 y y x |
||||||||
в) |
|
y cos x sin 2x |
е) |
xy y e |
x |
0 |
|
||
y |
|
|
2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условиюу= у0прих= х0:
а) |
y y sin x e cos x sin 2x, |
y0 3, |
x0 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
б) |
y 2xy 2xe x2 , |
y0 5, |
x0 0. |
|||||||||
в) |
y y |
|
e x |
, |
y0 2, |
x0 0. |
||||||
|
x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
г) |
y 3 |
y |
x3ex , |
y0 e, |
x0 1. |
|||||||
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
y 2 |
y |
|
|
1 |
, |
|
y 1, |
x 3. |
|||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
0 |
0 |
Тема 9. Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные вопросы
1.ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
2.Структура общего решения линейного неоднородного уравнения (ЛНДУ) второго порядка.
75
3.ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Типовые задачи
1. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а) |
y 3y 2y 0, |
y(0)=2, |
б) |
y 2 y y 0, |
y(2)=1, |
в) |
y 4y 4 y 0, |
y(0)=0, |
г) |
y 5y 6 y 0, |
y(1)=7, |
д) |
y 6 y 9 y 0, |
y(0)=0, |
y (0) 3. y (2) 0. y (0) 1. y (1) 0. y (0) 1.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) |
y y 2 y 6x2 |
б) |
y 5 y 4 y x2 1 |
в) |
y y 6x3 24 x |
Тема 10. Числовые ряды
Основные вопросы
1.Числовые ряды.
2.Определение числового ряда. Необходимый признак сходимости.
3.Признаки сходимости рядов с положительными членами.
4.Знакопеременные ряды.
5.Абсолютная и условная сходимость.
Типовые задачи
76
![](/html/2706/637/html_mCHs5gCVvY.qhRC/htmlconvd-BeX5wD77x1.jpg)
1. Исследовать сходимость рядов, используя признаки сравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
sin |
|
|
; |
|
б) |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
2n |
|
|
3n |
|
|
||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
в) |
tg |
|
; |
|
|
г) |
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4n |
|
|
|
|
n2 |
|
||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
2n |
||||||||||
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
; |
е) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
3n |
3 |
n |
1 n |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Тема 11. Степенные ряды
Основные вопросы
1.Степенные ряды, их области сходимости.
2.Ряды Тейлора и Маклорена.
3.Применение рядов в приближенных вычислениях.
Типовые задачи
Найти область сходимости степенных рядов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
||
1. |
10n xn ; |
2. |
|
1 n 1 |
|
; |
|||||||||||
n |
|||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
||
4. |
n!xn ; |
5. |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
n! |
|
|
|
||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
|
2 |
|
x |
|
|
; |
8. |
2n 1 xn ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
|||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
||
3. |
|
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
n 10n 1 |
|
||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|||||
|
|
x |
n |
|
|
|
|
||
6. |
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
n n 1 |
|||||||||
|
n 1 |
|
|||||||
|
|
1 |
n |
x |
n 1 |
||||
9. |
|
|
|
. |
|||||
|
n 1 |
2n 1 |
|
Тема 12. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Основные вопросы
1.Понятие функции двух переменных, еѐ графическое изображение.
2.Линии уровня для функции двух переменных.
3.Понятие частных производных, их смысл.
77
![](/html/2706/637/html_mCHs5gCVvY.qhRC/htmlconvd-BeX5wD78x1.jpg)
4. Полный дифференциал для функции двух и трѐх переменных.
Типовые задачи
1.Найти уравнение линий уровня и построить несколько линий уровня для функции:
а) z = х – 2у; |
|
|
б) z = ху. |
|
2. Найти частные производные |
z |
и |
z |
для функции: |
|
x |
|
y |
|
а) z x 4 e y 3 x 2 y; б) z x3ex2 y 2 .
Тема 13. Приложения дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Основные вопросы
1.Производная по направлению, еѐ смысл.
2.Вектор-градиент, его смысл.
3.Понятие экстремума для функции двух переменных.
4.Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
Типовые задачи
1.Найти градиент функции z x4 y3 2xy в точке М(2;1).
2.Найти производную функции z x2 xy y2 ) в точке М(2;3) в направлении вектора a 3i 4 j .
3.Найти экстремум функции во всей еѐ области определения:
|
|
x |
x y2 . |
а) z x3 8y3 6xy 1; |
|
|
|
б) z e 2 |
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
zx3 y3 3xy, в области 0 x 2, 1 y 2.
5.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 y2 в круге x2 y2 4.
Тема 14. Двойные и тройные интегралы
78
![](/html/2706/637/html_mCHs5gCVvY.qhRC/htmlconvd-BeX5wD79x1.jpg)
Основные вопросы
1.Двойной интеграл.
2.Геометрический и физический смысл двойного интеграла.
3.Сведение двойного интеграла к двукратному.
4.Приложения двойного интеграла.
5.Определение тройного интеграла. Некоторые приложения тройного интеграла.
Типовые задачи
1.В двойном интеграле перейти к двукратному, вычислить площадь области D:
1) |
D: x = 0, |
x + y = 2, |
x = 1, |
y x2. |
||
2) |
D: y = 0, |
y = 1, |
y = 4 – x, |
x y2. |
||
|
|
|
|
|
|
|
3) |
D: x = 0, |
x = 1, |
y x , |
y = 2x. |
2. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:
1) |
z x2 y2, |
x y 1, |
x 0, |
y 0, |
z 0. |
2) |
z 2 (x2 y2), |
x 2 y 1, |
x 0, |
y 0, |
z 0. |
6. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
6.1. Основная литература
1.Высшая математика для экономических специальностей: учебник и практикум для вузов. Ч 1,2 / под. Ред. Н. Ш. Кремера. – 2- е изд., прераб. и доп. – М.: Высш. образование, 2008. – 893 с.
2.Малыхин В.И. Высшая математика: учебник / И. В. Малыхин; – 2-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА–М, 2006. – 364 с.
3.Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов: учебник /В. Л. Клюшин; Рос.ун-т. дружбы народов. – М.:ИНФРА–М,
2006.– 447 с.
79
6.2Дополнительная литература
4.Математический анализ для экономистов: учебник для вузов / О. И. Ведина[идр.]; под ред. А. А. Гриба – 2-е изд., перераб. и
доп. – СПб.: Лань, 2004. – 343 с.
5.Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие для вузов / под ред. В.И. Ермакова; Рос.экон. акад. им Г. В. Плеханова. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 574 с.: ил.
6.Красс,М.С. Математика для экономистов: учебн. пособие для вузов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2008. – 464 с.
7.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: тридцать шесть лекций. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. – 6-е изд. –
М.: Айриспресс, 2006. – 280 с.: ил.
8.Просветов, Г. И. Математика в экономике. Задачи и решения: учебник для вузов / Г. И. Просветов; Рос.акад. экономики и права. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Экзамен, 2008. – 446 с.
9.Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский. – 14-е изд., исправл. – М.: Физмалит, 2003. – 336 с.
10.Математика для экономистов. Задачник: учебно-практ. пособие для вузов / под ред. С. И. Макарова и М. В. Мищенко. – М.:
КноРус, 2008. – 358 с.
11.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н. Ш.
Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006/2007. – 479 с.
80