[ Благовещенский, Пламеневский ] Математический анализ. Задачи для самостоятельной работы студентов 1 курса
.pdf
|
|
|
|
|
|
! "
! ! " # !$% &
' ()' ( *) + , " - .
. / * /-0 '$ ($0()-1"$, 2 $(3 (4/)"($% 5 +42
#$
%
6778
& % "
' % % % % ( )%*%
+ " ,
*-#%
# *-#%
' ()' ( *) + , " - . . / * /-0 '$ ($0()-19 "$, 2 $(3 (4/)"($% 5 +42 : ! 6778
) $
' + +
% . /
0 1 0%
+ 2$ %
1
Эта брошюра содержит задачи, предлагаемые студентам первого курса для самостоятельной работы. Заниматься ими следует параллельно с обсуждением соответствующих вопросов на лекциях. Большая часть задач имеет "теоретический"характер; их обдумывание поможет лучше понять материал лекций.
Рекомендуется подробно и тщательно записывать решения в отдельную тетрадь (и для самоконтроля, и для возможности проверки преподавателем). Зачет преподавателем достаточного количества решенных задач из предложенного списка приведет к повышению оценок при аттестации студента (на коллоквиумах и экзаменах). Студентам усиленного потока задачи аналогичного характера могут предлагаться на коллоквиумах и экзаменах.
1 Алгебра множеств
1.1. Доказать формулы
1. A ∩ A = A A = A;
2. (A \ A ∩ B) B = A B;
3. (A B) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C).
1.2. Установить, какие из соотношений правильны:
1. (A B) \ C = A (B \ C);
2. A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ (C B);
3. A B C = A (B \ A ∩ B) (C \ A ∩ C); 4. A B = (A \ A ∩ B) B;
5. (A ∩ B) (B ∩ C) (C ∩ A) A ∩ B ∩ C; 6. (A ∩ B) (B ∩ C) (C ∩ A) A ∩ B ∩ C; 7. (A B) \ A = B.
2
2 Отношение эквивалентности
Задачи 2.1 и 2.2 показывают, как с помощью отношения эквивалентности можно вводить новые классы чисел, отправляясь от уже известных; в частности, в задаче 2.2 совершается переход от натуральных чисел к целым числам.
2.1.a) На множестве Z целых чисел определим отношение : x y x − y четное число.
Проверить, что есть отношение эквивалентности.
b) Положим Z2 := Z/ . Для классов x,e ye Z2 введем операции
• сложения
xe + ye = (x + y)e, ãäå x, y представители классов x,e ye;
• умножения
xe ye = (x y)e.
Проверить корректность этих определений. Доказать коммутативность, ассоциативность сложения и умножения; дистрибутивность умножения относительно сложения.
c) Найти число различных классов в Z2 и указать все классы.
e
d) Показать, что в Z2 существует класс 0, такой, что для всякого
xe Z2
e
xe + 0 = xe.
e)Показать, что для всякого xe Z2 существует обратный по сложе- нию, т.е. такой элемент ye Z2, ÷òî
e xe + ye = 0.
e
xe 6= 0 существует обратный по умно-
1 |
|
x · 1 = x x e |
2. |
||
|
|
|
x z = 1, |
||
|
|
|
e e |
|
|
à |
|
e |
e e e |
|
|
e |
такой класс, что |
Z |
|
||
|
|
|
|
3
2.2. (Определение целых чисел) Пусть N множество всех натуральных чисел 1, 2, . . .. Åñëè m, n N, òî m + n N è mn N. Однако разность m −n, вообще говоря, не определена на множестве N: åñëè m 6 n, то число
m−n не является натуральным. В этой задаче описывается математически
строгий способ перехода от множества натуральных чисел к множеству целых; с этой целью используется подходящее отношение эквивалентности. Иными словами, цепочка задач a) − f ) объясняет, как определить целые
числа, отправляясь от натуральных.
Пусть X множество упорядоченных пар (m, n) натуральных чи- сел. На множестве X введем отношение условием
(m, n) (m1, n1) существуют натуральные p, q,
такие, что (m + p, n + p) = (m1 + q, n1 + q).
a)Показать, что есть отношение эквивалентности на множестве X.
b)Обозначим через (m, n)e класс в X/ с представителем (m, n). Введем сложение по правилу
(m, n)e+ (m1, n1)e= (m + m1, n + n1)e.
Проверить корректность определения. c) Введем умножение:
(m, n)e(m1, n1)e= (mm1 + nn1, mn1 + nm1)e.
Проверить корректность определения.
d) Доказать, что в X/ существует такой класс ze, ÷òî
(m, n)e+ ze = (m, n)e (m, n)e X/ ,
(ò.å. ze нулевой элемент в X/ ).
e) Доказать, что для любого элемента (m, n)e X/ существует такой элемент ue X/ , ÷òî
(m, n)e+ ue = z,e
ãäå ze тот же класс, что и в d). (Таким образом, ue "противоположный"элемент для (m, n)eâ X/ .)
4
f) Пусть N множество натуральных чисел. Указать инъекцию f : N → X/ , удовлетворяющую условиям:
f (n1 + n2) = f (n1) + f (n2), f (n1n2) = f (n1)f (n2)
для любых натуральных n1 è n2. (В правой части под суммой f (n1)+f (n2) и произведением f (n1)f (n2) понимаются сумма и произведение классов
f (n1) è f (n2) â X/ .)
2.3. Пусть X, Y множества, f : X → Y произвольное отображение. На X введем отношение :
|
|
|
x1 x2 f (x1) = f (x2). |
|
Доказать, что |
|
есть отношение эквивалентности. Введем отображе- |
||
íèå |
|
равенством |
e e |
|
f e |
|
|
||
|
f : (X/ ) → Y |
|
f (x) = f (x), где x представитель класса |
xe. Убедиться в корректности определения и показать, что отображение e инъекция.
3Последовательности. Предел последовательности. Частичные пределы.
3.1.Определение. Пусть X некоторое подмножество числовой оси. Точка a R называется точкой сгущения множества X, если любая проколотая окрестность точки a содержит (хотя бы одну) точку множества X.
3.2.Пусть a точка сгущения множества X. Доказать, что любая проколотая окрестность точки a содежит бесконечно много точек из
X.
3.3.Пусть X множество всех рациональных чисел интервала (0, 1). Найти все точки сгущения множества X.
3.4.Пусть x1, . . . , xn, . . . последовательность, имеющая конечный пре-
дел. Доказать, что множество X, состоящее из элементов этой последовательности, может иметь не более одной точки сгущения.
5
3.5.Определение. Пусть x1, . . . , xn, . . . произвольная последовательность, и пусть xn1 , . . . , xnk , . . . какая-нибудь ее подпоследовательность. Если существует предел q = limk→∞ xnk , то число q называют частич- ным пределом последовательности x1, . . . , xn, . . ..
3.6.Пусть x1, . . . , xn, . . . последовательность, имеющая предел l (êî-
нечный или бесконечный). Доказать, что всякая подпоследовательность имеет тот же предел, т.е. все частичные пределы совпадают и равны пределу исходной последовательности.
3.7. Определение. Пусть x1, . . . , xn, . . . произвольная последовательность. Подпоследовательность
xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . (ãäå n1 < n2 < . . .)
называется собственной, если она получается из последовательности x1, . . . , xn, . . . вычеркиванием бесконечного множества элементов.
3.8. Пусть последовательность такова, что всякая собст-
венная подпоследовательность имеет какой-нибудь (свой) конечный предел. Доказать, что тогда все частичные пределы совпадают и последовательность x1, . . . , xn, . . . сходится.
3.9. Пусть l = limn→∞ xn и пусть последовательность xn1 , . . . , xnk , . . .
получается из последовательности x1, . . . , xn, . . . перестановкой (возмож-
но, бесконечного числа) ее элементов. (Предостережение: последовательность xn1 , . . . , xnk , . . . не является подпоследовательностью для x1, . . . ,
xn, . . .. Обе последовательности состоят из одних и тех же элементов.)
xn1 , . . . , xnk , . . . имеет тот же
предел, что и последовательность x1, . . . , xn, . . ..
3.10. Пусть последовательность x1, . . . , xn, . . .
æèì
sk = sup{xk, xk+1, . . .}, k = 1, 2, . . . .
Доказать, что s1 > s2 > . . . > sk > . . ., т.е. последовательность {sk}∞k=1 монотонно убывающая. Если последовательность x1, x2, . . . не стремится
ê −∞, то существует конечный предел S = limk→∞ sk. Åñëè limk→∞ xk =
−∞, òî S = limk→∞ sk = −∞.
6
3.11. Пусть {xn}∞n=1, {sk}∞k=1 è S обозначают то же, что и в задаче 3.10. Доказать, что S является частичным пределом последовательности x1,
x2, . . . (т.е. существует подпоследовательность что limk→∞ xnk = S).
3.12. Доказать, что число S (обозначения те же, что и в 3.10, 3.11) является наибольшим частичным пределом последовательности x1, . . . ,
xn, . . ..
3.13. Пусть последовательность x1, . . . , xn, . . . ограничена снизу. Поло-
æèì
ik = inf{xk, xk+1, . . .}, k = 1, 2, . . . .
Доказать, что i1 6 i2 6 . . . 6 ik 6 . . ., т.е. последовательность {ik}∞k=1 монотонно возрастающая. Если последовательность x1, x2, . . . íå ñòðå-
мится к +∞, то существует конечный предел I = limk→∞ ik. Åñëè æå
limk→∞ xk = +∞, òî I = limk→∞ ik = +∞.
3.14. Пусть {xn}∞n=1, {ik}∞k=1 è I обозначают то же, что в задаче 3.13. Доказать, что I является частичным пределом последовательности x1,
x2, . . ..
3.15. Доказать, что число I (обозначения те же, что и в 3.13, 3.14) является наименьшим частичным пределом последовательности x1, . . . ,
xn, . . ..
3.16. Обозначения. Наибольший предел последовательности x1, . . . , xn,
. . . обозначается через limn→∞ xn, а наименьший через limn→∞ xn. Òà- ким образом,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = lim x |
|
= |
lim sup |
|
x |
|
, x |
|
|
, . . . |
|
, |
|||||
n→∞ |
n |
|
n→∞ |
{ |
k |
|
|
k+1 |
} |
|
|||||||
I = lim x |
|
= |
lim inf |
{ |
x |
, x |
|
|
, . . . |
. |
|
||||||
n→∞ |
n |
n |
→∞ |
|
k |
|
|
k+1 |
|
} |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.17. Пусть последовательность x1, . . . , xn, . . . такова, что
xn − xn−1 → 0 ïðè n → ∞.
Доказать, что любое число l, удовлетворяющее неравенствам I 6 l 6 S,
является частичным пределом последовательности x1, . . . , xn, . . .. Åñëè
эта последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, то любое вещественное число является ее частичным пределом.
7
3.18. Найти limn→∞ an, åñëè
1. a0 = a (a > 0), a1 = b (b > 0), an = an−1 − an−2 äëÿ n > 2;
√√
2. a0 = 2, a1 = 2, an = 2an−1 − an−2 äëÿ n > 2.
3.19. Найти supn N{sin(n)}, supn N{cos(n)}, supn N{sin(n) cos(n)}.
3.20. Доказать, что последовательность
n |
1 |
|
||
Cn = k=1 cos µn + |
¶ |
|||
2 |
||||
X |
|
|
|
ограничена.
3.21. Доказать формулы (n N)
1. |
P |
n |
Cnk cos 2πk3 |
= cos πn3 , |
|
|
||||||
k=1 |
|
|
||||||||||
2. |
n |
Cnk sin 2πk |
= sin πn , |
|
|
|||||||
k=1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|||
3. |
PE( |
n− |
1 |
) Cn3k+1 = 1 |
2n + 2 cos |
(n−2)π |
, |
|||||
k |
|
|||||||||||
ãäåk=1 |
|
|
|
целая3 |
³ |
|
3 . |
´ |
||||
|
P |
E(x) |
|
|
часть числа |
x |
|
Указание. Удобно воспользоваться формулой Эйлера.
3.22. Доказать неравенства (n N)
1. |
22n−1 |
|
|
n |
22n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
√ |
|
|
< C2n < |
√ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
n+1 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
+ |
+ . . . + |
|
|
2n |
− |
1, |
|
|
|||||||||||||||
|
√ |
|
|
√ |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2n−1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
1 |
|
+ |
1 |
+ . . . + |
|
1 |
|
< |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3n + 1, |
|||||||||||||||||||||
|
√ |
|
|
√ |
|
√ |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
3n+1 |
|
||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
41 n4 6 13 + 23 + . . . + n3 6 41 (n + 1)4, |
|||||||||||||||||||||||
5. |
3 n5/3 |
6 12/3 + 22/3 + . . . + n2/3 6 3 |
(n + 1)5/3. |
|||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3.23. 1. Доказать неравенства (n N)
4n |
< e − µ1 + n¶ |
n |
< n. |
||
1 |
1 |
|
|
4 |
|
2. Доказать или опровергнуть соотношение |
¶ |
|||||
ln |
µ1 + n |
¶ |
− n |
= O |
µn2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
(не пользуясь рядом Тейлора или правилом Лопиталя).
8
4Предел функции. Непрерывность. Равномерная непрерывность.
4.1. α) Доказать, что конечный предел
lim f (x)
x→a
существует в том и только в том случае, если для каждого положительного ε найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что из условий
|x′ − x′′| < δ, x′ =6 a, x′′ =6 a,
вытекает неравенство
|f (x′) − f (x′′)| < ε.
(Предполагается, что функция f определена в проколотой окрестности точки a 6= ∞.)
β) Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное α), äëÿ
случаев a = ±∞, ∞.
Указание: воспользоваться определением предела функции на языке последовательностей. Применить критерий существования предела последовательности (последовательность имеет конечный предел в том и только в том случае, если она фундаментальна).
4.2.Определение. Множество X R называется замкнутым, если все точки сгущения множества X являются его элементами.
4.3.Пусть f непрерывная функция на [a, b]. Доказать, что множество
{x : f (x) > c} замкнутое при любом c.
Указание: åñëè a точка сгущения множества X, то существует последовательность {xn} X, сходящаяся к a.
4.4. Пусть f непрерывна на конечном интервале (a, b). Доказать, что f является равномерно непрерывной на (a, b) в том и только в том случае, если существуют конечные пределы limx→a+0 f (x) è limx→b−0 f (x).
Указание: учесть результат задачи односторонних пределов.
4.5. Привести примеры функций, равномерно непрерывных на [a, +∞), но для которых не существует предел limx→+∞ f (x).