Нагорнов Обратные задачи палеотермометрии 2008

8. ОЦЕНКА ГЛУБИНЫ ПРОНИКНОВЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ КОЛЕБАНИЙ РАЗЛИЧНЫХ ПЕРИОДОВ

Изменения температуры на поверхности Земли могут быть представлены в виде суперпозиции колебаний различных периодов с различными амплитудами. Наиболее заметными температурными колебаниями являются суточные и сезонные изменения температуры. Кроме этого, существует еще множество других различных известных температурных колебаний на более длительных масштабах времени, связанных, например, с климатическими осцилляциями, солнечной активностью и положением оси вращения Земли относительно Солнца.

Оценим, как зависит глубина, на которую проникают температурные волны, от периода этих волн. Для этого рассмотрим распространение температурных волн в полубесконечной среде без начальных условий:

Несложно установить, что решение задачи (8.1) с граничным условием (8.2) будет иметь вид [Тихонов, Самарский, 1977]:

Таким образом, если температура поверхности длительное время периодически меняется, то в породах также устанавливаются колебания температуры с тем же периодом. При этом амплитуда колебаний экспоненциально убывает с глубиной:

туды колебаний температуры на поверхности в зависимости от периода колебаний Tкол будет следующей:

81

скважиной на глубинах до 1 м, сезонные – до 17 м, с периодом 10 лет – до 53 м, с периодом 100 лет – до 168 м, а с периодом 1000 лет – до 530 м (расчет производился для 0.5% ). Более

подробно зависимость глубины проникновения колебаний от периода при обычном значении температуропроводности для 0,5%

изображена на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Зависимость глубины проникновения колебаний от периода при

a2 10 6 м2 /с

82

9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ЛЕДНИКАХ

Так же, как и в случае горных пород, распространение тепла в ледниках подвержено влиянию двух факторов: стационарного геотермического теплового потока у основания ледника, исходящего из недр Земли, и изменений температуры на поверхности. Однако, в отличие от горных пород, процесс распространения тепла в ледниках описывается одномерным уравнением теплопроводности с учетом вертикальной адвекции годовых слоев в леднике с соответствующими граничными и начальным условиями [Paterson, 1994]. Направим ось z от поверхности к основанию ледника, а за начало отсчета возьмем, соответственно, поверхность ледника. Пусть высота ледника равняется H. Тогда в общем случае математическая запись распространения тепла в ледниках будет иметь следующий вид:

удельная теплоемкость и теплопроводность, соответственно; w(z) –

скорость вертикальной адвекции ледника; q – геотермический тепловой поток у основания ледника; а U (z) – стационарный профиль

температуры, связанный с этим потоком; Us – начальная темпера-

тура на поверхности, которая характеризующая среднюю температуру, которая была на поверхности в прошлом до начала резких из-

менений температуры на ней; (t) обозначает изменения темпера-

83

туры на поверхности во времени относительно ее начального значе-

ния Us , (0) 0 .

Под температурой поверхности в дальнейшем будет подразумеваться температура на глубине деятельного слоя ( 10 15 м)

[Blatter, 1987]. Температура в деятельном слое претерпевает резкие изменения, обусловленные сезонными колебаниями температуры окружающей среды, которые поглощаются в деятельном слое.

Функция f (z, t) определяет скорость изменения температу-

ры вследствие процессов деформации (внутренний разогрев) [Paterson and Clarke, 1978; Cuffey et al., 1994], а также процессов рекри-

сталлизации талой воды, которые происходят в деятельном слое. Если в качестве граничного условия при z 0 используется температура на глубине деятельного слоя, то f (z, t) представляет собой

работу сил внутреннего трения, которой в ряде случаев можно пренебречь.

Зависимость удельной теплоемкости и теплопроводности от температуры в ледниках дается следующими соотношениями [Paterson, 1994]:

0,021 м-1 [Саламатин и др., 1985].

Из зависимостей (9.2) - (9.4) видно, что небольшие изменения температуры (от десятых градуса до нескольких градусов), незначительно влияют на значения физических свойств ледника. Таким образом, будут справедливы следующие переходы:

(T (z,t)) ( (z)) (z) , c(T (z,t)) c( (z)) c(z) и k(T (z,t)) k( (z)) k(z) , где (z) – измеренный профиль тем-

84

пературы в скважине. Таким образом, задачу о распространении тепла в ледниках (9.1) можно записать в следующем виде:

T (z,0) U (z) .

Представим температурный профиль в скважине T (z,t) в виде суперпозиции двух температурных профилей – U (z) , стацио-

нарного температурного профиля, связанного с геотермическим потоком Земли, и V(z,t) – остаточного температурного профиля, свя-

занного с изменениями температуры на поверхности:

А остаточный температурный профиль V(z,t) будет являться решением следующей задачи:

85

V (z,0) 0 .

86

10. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ЛЕДНИКАХ

По аналогии с задачами для горных пород, напишем разностные аппроксимации для задач (9.7) и (9.8). Разностная аппрокси-

мация второго порядка точности по координате на отрезке [0, H ] для дифференциального уравнения из задачи (9.7) будет следующей:

Используя выражение (5.5) и дифференциальное уравнение из задачи (9.7), получим разностную аппроксимацию граничного условия у основания ледника со вторым порядком точности по координате:

Таким образом, разностная аппроксимация задачи для стационарного температурного профиля в ледниках (9.7) может быть записана в виде (5.9), где:

и решена методом прогонки.

Для дифференциального уравнения из задачи (9.8) разностная аппроксимация второго порядка точности по координате и пер-

следующей:

87

и решена методом прогонки.

89

11. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ЛЕДНИКАХ С ПОСТОЯННЫМИ СВОЙСТВАМИ СРЕДЫ И ЛИНЕЙНЫМ ПРОФИЛЕМ АДВЕКЦИИ

Для большинства температурных профилей в ледниках зави-

большинства ледников пренебречь нельзя, так как она резко изменяется вблизи поверхности ледника. Так, для ледника Ушковский значение плотности на глубине 100 м отличается от значения плотности на поверхности почти в два раза. В связи с этим представим ледник

как однородный слой воды с плотностью В 1000 кг/м3 . Перей-

Для большинства ледников можно полагать, что скорость вертикальной адвекции является линейной функцией глубины вод-

ного эквивалента zв.э. , которая на поверхности равна скорости аккумуляции осадков A0 , а у основания ледника равна нулю [Paterson,

1994].

В дальнейшем опустим индексы, связанные с водным эквивалентом. Направим ось z от основания ледника к его поверхности и за начало отсчета возьмем основание ледника. Скорость адвекции в этом случае направлена против оси z и линейно убывает по направлению от поверхности к основанию ледника. Тогда задачи для ста-

ционарного температурного профиля U (z) (9.7) и для остаточного температурного профиля V(z,t) (9.8) можно записать в следующем