barsukov-a
.pdfРис. 3.30
Решение. Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций В1 и В2 полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:
B = B1 + B2 .
Модуль вектора В может быть найден по теореме косинусов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
B2 |
+ B2 |
+ 2B B cos a , |
(1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|||||
где a – угол между векторами В1 |
и В2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Магнитные индукции В1 и В2 |
выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r1 |
и r2 от |
||||||||||||||||||
поводов до точки А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
= |
m0 I |
; |
B |
= |
m0 I |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
2pr1 |
|
2 |
|
2pr2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя выражения В и В |
в формулу (1) и вынося m0 I |
за знак корня, получаем |
|
|||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = m0I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
1 |
|
+ |
2 |
cos a . |
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
r 2 |
|
r r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 2 |
|
|
|
Вычислим cosa. Заметив, что a = Ð DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем
d 2 = r12 + r22 - 2r1r2 cos a ,
где d – расстояние между проводами. Отсюда
|
r 2 |
+ r 2 |
- d |
2 |
; cos a = |
52 +122 -102 |
|
23 |
. |
cos a = |
1 |
2 |
|
|
|
= |
|
||
|
2r1r2 |
|
2 ×5 ×12 |
40 |
|||||
|
|
|
|
|
|
Подставив в формулу (2) числовые значения физических величин и произведём вычисления:
|
4 ×3,14 ×10−7 ×60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B = |
|
1 |
+ |
1 |
|
2 |
|
23 |
|
= 3,08 ×10−4 = |
|
|
(0,05)2 |
(0,12)2 |
0,05 ×0,12 40 |
||||||||
2 ×3,14 |
|
|
|
= 308 мкТл.
Пример 2. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течёт ток I = 80 А. Найти магнит-
R
ную индукцию B в точке А, равноудалённой от всех точек кольца на расстояние r = 20 см. Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био– Савара– Лапласа:
|
R |
|
RR |
|
|
|
||
|
|
[Idl r ] |
|
|
|
|||
|
dB = |
m0 |
|
, |
|
|
||
|
4p |
|
r 3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
где |
R |
|
|
|
|
R |
в точке, определяемой радиусом- |
|
dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока |
Idl |
|||||||
вектором r . |
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведём радиус-вектор r (см. рис. 3.31). Век- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
тор |
R |
|
|
|
|
|
|
|
dB направим в соответствии с правилом буравчика. |
|
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция B в точке А определяет- |
|||||||
ся интегрированием: |
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
R |
|
|
|
||
|
В = ∫ dB , |
|
|
|
l
где интегрирование ведётся по всем элементам dl кольца.
Разложим вектор dB на две составляющие: dB , перпендикулярную плоскости кольца, и dB|| , параллельную плоскости кольца, т.е.
dB = dB + dB|| .
Рис. 3.31
Тогда
V V V
B = ∫dB + ∫dB|| .
V
Заметив, что ∫dB|| = 0 из соображений симметрии и что векторы dB от различных элементов dl со-
l
направлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:
B = ∫dB ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
где dB |
= dBcosb и dB = m0 |
Idl |
(поскольку dl |
|
перпендикулярен r |
и, следовательно, sin α =1 ). Таким обра- |
||||||||
|
||||||||||||||
|
4p r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
I |
2πR |
m |
I cosb2pR |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
cosb ∫dl = |
. |
|||||||
|
|
|
B = |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
4p r |
2 |
|
4pr |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
После сокращения на 2p и замены cosb на R / r получим (см. рис. 3.31)
B = m0 IR2 .
2r 3
Проверим, даёт ли правая часть равенства единицу магнитной индукции, Тл
[m |
][I ][R2 |
] |
|
1 Гн×1 А ×1 м2 |
|
1 Гн×1 А2 |
1 Дж |
|
1 Н ×1 м |
|
||||
|
0 |
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
|
= 1 Тл. |
|
[r 3 ] |
|
|
м×1 м3 |
1 А ×1 м2 |
1 А ×1 м2 |
|
1 А × м2 |
Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции:
B = M max .
p
Тогда |
1 Тл = |
1 |
Н×1 м |
. |
|
|
|||
|
1 |
А×м2 |
Выразим все величины в единицах СИ и произведём вычисления:
B = |
4p×10−7 |
×80 ×(0,1)2 |
= 6,28 ×10−5 |
Тл, |
||
2 |
×(0,2)3 |
|||||
|
|
|
или В = 62,8 мкТл.
R
Вектор B направлен по оси кольца (пунктирная стрелка на рисунке) в соответствии с правилом буравчика.
Пример 3. На проволочный виток радиусом R = 10 см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент М = 65 дин×см. Сила тока в витке I = 2 А.
R
Определить магнитную индукцию B поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.
R
Решение. Индукцию B магнитного поля можно определить из выражения механического момента M , действующего на виток с током в магнитном поле,
M = pmBsin a , |
(1) |
где pm – магнитный момент витка с током; B – индукция магнитного поля; a – |
угол между направле- |
нием индукции магнитного поля и нормали к плоскости витка. |
|
Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при a = p (sin a = 1) , а так-
|
|
|
|
|
2 |
|
|
же, что магнитный момент витка с током имеет выражение pm = IS , то формула (1) примет вид |
|
||||||
|
M = IBS . |
|
|
|
|
||
Отсюда, учитывая, что S = pR2 , находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
M |
. |
(2) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
pR2 I |
|
|
Подставим числовые значения в формулу (2) |
|
|
|
|
|
|
|
B = |
6,5 ×10−6 |
= 1,04 ×10−4 |
Тл. |
|
|||
3,14 × 2 ×10 |
−2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Электрон движется в однородном магнитном поле (В = 10 мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость u.
Решение. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (a ¹ p/2) к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на рис.
3.32, скорость |
R |
электрона на две составляющие: параллельную вектору |
R |
R |
) и перпендикулярную |
||
u0 |
B ( u|| |
||||||
R |
|
|
R |
в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль |
|||
ему ( u ). Скорость |
u|| |
силовой линии. Скорость uR в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (FЛ ^ uV ) (в отсутствие параллельной составляющей ( u|| = 0) движение электрона происходило бы
по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении со скоростью и рав-
номерном движении по окружности со скоростью
Рис. 3.32
Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением
T = 2pR u . |
(1) |
Найдём отношение Ru . Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение a n = u2 R . Согласно второму закону Ньютона, можно написать FЛ = man , или
|
|
|
|
|
e |
|
υ B = mυ 2 / R , |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|||
где u = u0 sin a . |
|
|||||||
Сократив (2) на υ , выразим соотношение R u ( R /υ = m / eB ) и подставим его в формулу (1): |
|
|||||||
T = 2p |
|
m |
. |
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
e |
B |
|
Убедимся в том, что правая часть равенства даёт единицу времени, с:
[m] |
|
|
1 кг |
|
1 кг × А × м2 |
1 кг × с2 × м2 |
||
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
= 1 с. |
[e][B] |
|
1 Кл ×1 Тл |
1 А × с× Н × м |
1 с× кг × м2 |
Произведём вычисления:
T = |
|
2p × 9,1×10−31 |
|
|
|
|
= 3,57 ×10−9 = 3,57 нс. |
||||||||||
1,6 ×10 |
−19 |
×10 ×10 |
−3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Модуль скорости u0 , можно выразить через u и u|| : |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
0 |
= |
|
u2 |
+ u2 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|
|||||
Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
υ |
|
= |
|
e |
|
BR |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|||||
Параллельную составляющую скорости |
u|| |
найдём из следующих соображений. За время, равное |
периоду обращения Т , электрон пройдёт вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой ли-
нии, т.е. h = Tu|| , откуда u|| = h .
T
Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим
u= е Bh
||p .
2 m
Таким образом, модуль скорости электрона
|
|
|
е |
|
B |
|
|
|
h |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 2 |
|
|
2 |
|||||||||
u0 = u + u|| |
= |
|
|
|
|
R |
|
+ |
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
m |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
Убедимся в том, что правая часть равенства даёт единицу скорости м/с. Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу – метр (м). Поэтому в квадратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R ):
|
[e][B] 2 |
1 |
|
|
1 Кл×1 Тл 2 |
1 |
|
|
1 А× с× Н× м× м 1 Н× с 1 кг× м× с |
|||||||||||||||||
|
|
[R ]2 |
= |
|
|
(м |
) |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
= 1 м/с. |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
[m] |
|
1 кг |
кг× А× м2 |
|
1 кг |
1 кг × с2 |
|||||||||||||||||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1,6 ×10−19 ×10 ×10−3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
0,06 |
2 |
|
|
|
7 |
|
|
|||||||||||||
|
|
u0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,01) |
|
+ |
|
|
|
|
|
= 2,46 ×10 |
|
м/с, |
|||||
|
|
|
|
|
9,1×10−31 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или 24,6 Мм/с.
Пример 5. Определить индукцию и напряжённость магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N = 200 витков, идёт ток силой I = 5 А. Внешний диаметр тороида d1 = 30 см, внутренний – d2 = 20 см.
Решение. Для определения напряжённости магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора H вдоль силовой линии поля:
∫ Hdl .
Из условия симметрии следует, что силовые линии тороида представляют собой окружности и что во всех точках силовой линии численное значение напряжённости одно и то же. Поэтому в выражении циркуляции напряжённость H можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2πr, где r – радиус окружности, совпадающей с силовой линией, вдоль которой вычисляется циркуляция, т.е.
2πr
∫ Hdl = H ∫ dl = 2prH .
L0
Сдругой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряжённости маг-
нитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:
|
n |
|
∫ Hl dl = ∑ Il . |
(2) |
|
L |
i =1 |
|
Приравняв правые части равенства (1) и (2), получим |
|
|
|
n |
|
2prH = ∑ Ii . |
(3) |
i =1
Силовая линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид
2πrH = NI .
Отсюда
H = NI .
2pr
Для средней линии тороида
r = R1 + R2 = d1 + d 2 .
2 4
Подставив это выражение r в (4), найдём
|
|
|
H = |
|
2NI |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
p(d + d |
2 |
) |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
Индукция В связана с напряжённостью поля соотношением |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
B = mm0 H . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
2mm0 NI |
|
|
. |
||||
|
|
|
p(d + d |
2 |
) |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
Подставляя числовые значения в (5) и (6), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H = |
2 × 200 ×5 |
= 1370 |
А/м; |
|
|
|
|
|
|
||
3,14(0,3 + 0,2) |
|
|
|
|
|
|
B = 2 × 4p ×10−7 × 200 × 5 = 1,6 ×10−3 Тл. p(0,3 + 0,2)
(4)
(5)
(6)
4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
КЛАССИФИКАЦИЯ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ
4.1. НАМАГНИЧЕННОСТЬ МАГНЕТИКОВ
Все вещества, помещённые в магнитное поле, намагничиваются, т.е. приобретают вполне определённые магнитные моменты и сами становятся источниками магнитного поля. При этом полное поле B в веществе (усреднённое) складывается из намагничивающего поля B0 и поля, возникшего в веществе
V
B′ , т.е. B = B0 + B′.
Вещества, способные намагничиваться, называются магнетиками. В зависимости от того, как направлены в каждой точке магнетика поля B′ и B0 и как велико B′ , по сравнению с B0 , все вещества де-
лятся на диамагнетики ( B′ £ B0 , B′ −↓ B0 ), парамагнетики ( B′ £ B0 , B′ -- B0 ) и ферромагнетики ( B′ ³ B0 ,
B′ -- B0 ).
Действие любого из магнетиков можно формально свести к совокупности замкнутых элементарных токов. Ампер назвал их молекулярными токами (или микротоки). Каждый микроток имеет свое магнит-
ное поле, характеризуемое магнитным моментом R (рис. 4.1)
pm
R
pm = iмикроS ,
где iмикро − микроток; S – вектор, численно равный площади, охватываемой микротоком.
В намагниченном веществе магнитные поля микротоков, складываясь, дают результирующее поле B′ , а магнитные моменты – некоторый результирующий момент.
Магнитное состояние намагниченного вещества характеризуется вектором намагниченности или намагничения.
Рис. 4.1
для неоднородного
Вектор намагниченности J – физическая векторная величина, характеризующая интенсивность намагничивания вещества и равная магнитному моменту единицы объёма вещества.
Для однородного магнетика
|
|
R |
|
|
|
|
R |
= |
∑ pm |
, |
|
|
|
J |
V |
|
|
|||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ pm |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
= lim |
|
V |
. |
(4.1.1) |
|
J |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
V →0 |
V |
|
Магнетик называется однородным, если его магнитные свойства одинаковы во всех его точках. Магнетик называется изотропным, если его магнитные свойства одинаковы по всем направлениям. Теория и опыт показывают, что в однородной, изотропной неферромагнитной среде, в не очень
сильных полях и при не очень высоких частотах изменения внешнего поля |
R |
имеет место соотношение |
||||
B0 |
||||||
|
|
|
R |
|
|
|
R |
= |
χ |
B0 |
, |
(4.1.2) |
|
J |
||||||
μ0 |
||||||
|
|
|
|
|
где χ – безразмерный коэффициент, зависящий от природы вещества и называемый магнитной воспри-
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имчивостью; |
B0 |
и |
R |
по размерности одинаковы |
||||||
J |
||||||||||
μ0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
B0 |
|
= |
Н/Ам |
= А/м; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
μ0 |
|
Н/А2 |
Между магнитной индукцией поля микротоков связь. Установим её.
J |
|
= |
Ам2 |
= А/м. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
м3 |
|
R |
|
|
R |
|
|
|||||
и вектором намагниченности |
существует |
||||||
B′ |
J |
В |
магнитное |
поле |
с |
|
|
|
|
|
|
|
индукцией B0 внесём металлический |
||||||||
стержень, все его микротоки |
|
|
|
|
|
|
|
установятся |
перпендикулярно |
J . |
|||||||||
Рассмотрим |
поперечное |
се- |
|
|
|
|
|
|
|
чение цилиндра (рис. 4.2). |
|
||||||||
Смежные |
|
|
микротоки |
|
|
|
|
|
|
|
компенсируются. |
Не |
компенсируются |
||||||
только микротоки во внешнем |
|
|
|
|
|
|
|
слое (10–10 м). |
|
|
|
||||||||
Эти |
|
токи |
дают |
|
|
|
|
|
|
|
результирующий |
поверхностный |
ток, |
||||||
который и создает поле B′ . Оно |
|
|
|
|
|
|
|
подобно полю соленоида |
|
||||||||||
|
B′ = μ0 Iмикро, |
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Iмикро – поверхностный ток, |
|
|
|
|
|
|
|
приходящийся на единицу длины, или |
|||||||||||
поверхностная плотность тока (для соленоида B = μ0 NI ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Микроток i, приходящийся на |
отрезок dl цилиндра, равен |
i = Iмикроdl , |
его магнитный момент |
||||||||||||||||
pm = iS = IмикроdldS , |
где dS − сечение |
стержня. Поделив магнитный момент на элементарный объём |
|||||||||||||||||
dV = dldS , получим магнитный момент единицы объёма, т.е. намагниченность |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
IмикроdldS |
|
= J |
= Iмикро ; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dldS |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B′ = μ0 J , |
|
|
|
(4.1.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
R |
|
B0 |
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
т.е. векторы |
B′ и |
J |
совпадают. Учитывая, что J = |
χ |
|
(4.1.2), |
получим |
B′ = |
χ B , |
и полное поле в ве- |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ществе станет равным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
V |
R |
R |
R |
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = B0 |
+ B′ |
= B0 |
+ χ B0 |
= (1 + |
χ) B0 |
= μB0 , |
(4.1.4) |
||
где μ − |
относительная магнитная проницаемость вещества. Она показывает, во сколько раз изменяется |
||||||||||||||||||
поле в веществе, по сравнению с вакуумом μ = B / B0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4.2. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
В ВЕЩЕСТВЕ |
|
|
|
|
|
|
|
Установлено, что магнитное поле создается любыми токами, как макроскопическими, так и микротоками. Следовательно, выражение (3.5.1) примет вид
|
|
R |
R |
= μ0 ∑Iпров + μ0 ∑iмикро . |
|
|
|
|
∫Bdl |
(4.2.1) |
|||
|
R |
L |
|
|
|
|
Между вектором намагничения |
и микротоками iмикро |
существует связь. Проведём внутри мате- |
||||
J |
риала проводника замкнутый контур L (рис. 4.3) и подсчитаем число микротоков, нанизанных на элемент контура dl. Нанизываться будут те токи, центры которых лежат внутри наклонного цилиндра с
площадью основания dS и длиной dl.
При концентрации микротоков n их полное число в цилиндре
|
ndV = ndSdl cos α , |
где α – угол между dl и |
R |
J . Суммарный ток будет равен iмикроndSdl cos α . |
Учитывая, что по определению
|
|
iмикроdSn = pmn = J |
|
|
Риc. 4.3 |
||
|
есть вектор намагничения, получаем, |
что суммарный микроток, связан- |
|
|
|
||
|
|
||
ный с элементом dl контура обхода, равен |
|
||
|
|
R R |
|
|
|
iмикроndSdl cos α = Jdl cos α = Jdl , |
|
|
|
R R |
|
т.е. полный микроток, охватываемый контуром L, будет ∑iмикро = ∫Jdl |
и тогда (4.2.1) примет вид |
L
|
|
|
|
|
|
R R |
|
R R |
|
||
|
|
|
|
|
∫ Bdl |
= μ0 ∑ Iпров + μ0 ∫ Jdl . |
(4.2.2) |
||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
Разделим выражение (4.2.2) на μ0 и объединим интегралы |
|
R |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∫ ( |
B |
R R |
= ∑ Iпров , |
|
||
|
|
|
|
|
− J )dl |
(4.2.3) |
|||||
|
|
|
|
|
μ |
||||||
|
|
|
|
|
L |
0 |
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
||
где выражение |
− J |
= H |
называется напряжённостью магнитного поля. Единицей напряжённости яв- |
||||||||
μ |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
ляется А/м, что следует из (4.2.3) H м = А , откуда Выполнив замену в (4.2.3), получим
R
H = A/м .
R R |
= ∑ I пров . |
|
∫ Hdl |
(4.2.4) |
L
Выражение (4.2.4) называется законом полного тока или теоремой о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля.
Циркуляция вектора напряжённости стационарного магнитного поля равна полному току проводимости, протекающему через любую поверхность, опирающуюся на контур интегрирования.
Таким образом, |
R |
R |
|
для характеристики магнитного поля введены два вектора B |
и H . Основным явля- |
||
ется |
R |
R |
|
B . Поскольку |
H зависит от макротоков, то по ним легче следить за изменениями поля. |
||
|
R |
|
R |
|
H зависит от среды μ, в ограниченных магнетиках – от их формы и размеров. |
H не зависит от сре- |
ды, когда однородная среда заполняет всё пространство поля или эта среда не пересекается с линиями внешнего поля.
Рассмотрим примеры определения напряженности поля в магнетиках. 1. Напряжённость магнитного поля в вакууме.
|
|
|
R |
|
R′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так как для вакуума J = 0 , то и |
B = 0 . Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
R |
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
B = |
B0 |
+ |
B |
′ = B0 |
и |
H0 = |
B |
− J = |
B0 |
. |
|
(4.2.5) |
|||||
|
|
|
|
|
μ0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
делённому на μ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Напряжённость магнитного поля в вакууме |
H |
0 равна B0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2. Напряжённость магнитного поля в безграничной однородной изотропной среде. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|||
|
Рассмотрим безграничный соленоид. Если в нём сердечника нет, |
то H0 |
= B0 / μ0. |
После заполне- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
R |
R |
R′ |
R |
|
|
|
R |
|
R |
|
|||
ния соленоида однородным изотропным веществом H = |
B |
|
− J = |
B0 |
+ B |
− J , но так как |
|
′ |
= μ0 J (4.1.3), |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
μ0 |
|
μ0 |
B |
|||||||||||||||||||||
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то, |
H |
= B0 / μ0 , т.е. поле в однородном изотропном магнетике равно полю в вакууме |
H = H 0 (4.2.5) |
и |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
и |
совпадает с напряжённостью внешнего поля. Для изотопной неферромагнитной среды связь между B |
||||||||||||||||||||||||
R |
|
R |
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H |
проста, так как B0 |
= μ0 H , |
то из B = μB0 следует, что |
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = μ0μH. |
|
|
|
|
|
(4.2.6) |
3. Напряжённость поля в ограниченных магнетиках.
Рассмотрим бесконечно длинный соленоид с однородным, изотропным сердечником. Удалим части А и Б (рис. 4.4).
АБ
Рис. 4.4
|
R |
|
|
R |
R |
R |
|
|
|
Тогда индукция B1 |
станет меньше |
B , а так как |
B1 < |
B , то и напряжённость поля в коротком сер- |
|||||
R |
R |
|
|
|
|
|
R R |
R |
R |
дечнике H1 |
= B1 / μ0μ будет меньше напряжённости поля длинного сердечника |
H = B / μ0μ , т.е. H1 < |
H , но |
||||||
R R |
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
H = H0 , следовательно, |
H1 < |
H0 . |
|
|
|
|
|
|
В ограниченных магнетиках напряжённость магнитного поля меньше напряжённости внешнего по-
ля.
4.3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ H И B
Для ограниченных магнетиков большое значение приобретают граничные условия, определяющие поведение B и H на границе раздела сред. Эти условия вытекают из теоремы о циркуляции вектора напряжённости и теоремы Гаусса для вектора индукции.
На границе раздела двух магнетиков с магнитными проницаемостями μ1 и μ2 вырежем небольшой цилиндр так, чтобы его образующая была перпендикулярна границе раздела магнетиков (рис. 4.5).
Рис. 4.5
Для рассматриваемого цилиндра по теореме Гаусса поток Ф равен нулю,
|
|
|
|
Ф = Bn |
2 |
S − Bn |
S = 0 , |
|
|
|
|
|
1 |
||
откуда |
Bn |
2 |
= Bn |
, |
|
|
(4.3.1) |
|
|
1 |
|
|
|
нормальные составляющие вектора индукции при переходе границы раздела магнетиков не изменяются.
Выразив вектор индукции через напряжённость поля, получим
μ0μ1Hn1 = μ0μ2 Hn2 ,
откуда
Hn |
= |
μ |
2 . |
(4.3.2) |
|
|
1 |
|
|||
H |
|
|
|||
n2 |
|
μ |
|
||
|
|
|
1 |
|
Вычислим циркуляцию вектора напряжённости (в проекции на выбранное направление) по прямоугольному контуру, стороны которого параллельны границе раздела магнетиков (рис. 4.6)
∫ Hdl = Hτ1 l − Hτ 2 l = ∑ I = 0 ,
L
так как контур обхода не охватывает токов.
|
|
Рис. 4.6 |
|
|
|
|
|
|
Из последнего равенства получаем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
H τ2 = H τ1 , |
(4.2.3) |
||||
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
еще раз учитывая, что |
B = μ0μH , имеем |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Bτ1 |
= |
μ1 |
. |
(4.2.4) |
|
|
|
|
B |
|
||||
|
|
|
|
μ |
2 |
|
|
|
|
|
|
τ2 |
|
|
|
|
Таким образом, при переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная составляющая
R R
вектора индукции Bn и тангенциальная составляющая вектора напряжённости Hτ не изменяется; тан-
генциальная составляющая вектора индукции Bτ и нормальная составляющая вектора напряжённости Hn изменяются скачкообразно (рис. 4.7).
Рис. 4.7
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
4.4.МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
1.Согласно представлениям классической физики электроны в атомах движутся по замкнутым орбитам. Следовательно, каждый электрон создаёт замкнутый микроток, магнитное поле которого можно охарактеризовать магнитным моментом (рис. 4.8).
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обусловленный движением электрона по |
||
Магнитный |
момент pm , |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||||||
орбите, |
называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
орбитальным |
магнитным |
моментом |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
электрона. |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||
Величина |
орбитального |
|
|
|
|
|
|
r |
|
магнитного момента электрона равна |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
pm |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pm = iS , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где i – ток, |
создаваемый |
|
|
Рис. 4.8 |
электроном; S – |
площадь орбиты. |
Будем считать орбиту круговой. Через любое сечение электронной орбиты за единицу времени переносится заряд eν , где e – заряд электрона; ν – число оборотов в секунду. Следовательно, созданный электроном ток равен i = eν . Частоту обращения ν можно выразить через линейную скорость υ
ν = |
υ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2πr |
|
|
|
|
|
где r – радиус орбиты. Площадь орбиты равна S = πr 2 . |
|
|
|
|
||
Таким образом |
|
|
|
|
||
|
|
pm |
= iS = |
eυr |
. |
(4.4.1) |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
Так как заряд электрона отрицателен, направление движения электрона и направление создавае-
мого им тока противоположны. Направление вектора R образует с направлением тока правовинтовую, pm
а с направлением движения электрона левовинтовую систему (рис. 4.8).
Движущийся по орбите электрон обладает моментом импульса, который принято называть орбитальным механическим моментом
|
R |
R |
(4.4.2) |
|
L = [r mυ], |
||
где r – радиус-вектор электрона (рис. 4.8). |
|
|
|
R |
|
|
|
Модуль вектора |
R |
|
|
L равен |
|
|
|
так как угол между r |
L = rmυ , |
(4.4.3) |
|
и υ все время прямой. |
|
|
|
R |
|
|
|
Отношение модулей векторов орбитального магнитного и орбитального механического моментов
называется орбитальным гиромагнитным отношением электрона |
|
|||||
|
|
|
|
pm |
= g. |
(4.4.4) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
L |
|
|
Учитывая направления |
R |
и |
R |
|
||
pm |
L , |
|