functional_analysis

Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Предположим, что существуют два элемента x,y 2 X такие,

÷òî

Ax = x, Ay = y:

Тогда

r(x,y) = r(Ax,Ay) 6 ar(x,y):

Если допустить, что r(x,y) > 0, то из предыдущего следует, что a > 1, что невозможно. Таким образом r(x,y) = 0 è x = y.

Замечание 1. Если перейти в соотношении

к пределу при m ! 1, то придем к оценке ошибки n-го приближения

В конкретных задачах она позволяет оценить заранее число шагов, необходимое для вычисления x с заданной точностью, т. е. неравенство

r(xn,x) < e будет выполнено, если

n > loga e(1 ¡a) : r(x0,x1)

Полагая в (4) n = 0, получаем:

Это неравенство дает оценку расстояния от исходной точки x0 до неподвижной точки.

Построение последовательных приближений xn, сходящихся к неподвижной точке x, можно производить, исходя из любого элемента x0 2 X .

Выбор элемента x0 будет сказываться лишь на быстроте сходимости fxng к своему пределу.

Замечание 2. Отметим, что условие

r(Ax,Ay) 6 r(x,y)

11

недостаточно для существования неподвижной точки. Рассмотрим, например множество [1,+ 1) с обычным расстоянием. Положим Ax = x +

1 . Очевидно, что неподвижной точки у нашего отображения нет. В то же x

время, имеем

µ¶

Поскольку выражение 1 ¡ 1 при достаточно большом xy становит-

xy

ся сколь угодно близким к единице, то невозможно подобрать такого a удовлетворяющего условию (3).

Пример 11. Пусть f (x) вещественная дифференцируемая функция, заданная на отрезке [a,b] числовой прямой, все значения которой также

заключены в этом отрезке. Пусть требуется решить уравнение f (x) = x, т. е. найти точку пересечения графика f (x) с прямой y = x.

Условие сжимаемости выполнено, если функция имеет на отрезке [a,b] производную f 0(x), причем jf 0(x)j 6 a < 1. Действительно, по фор-

муле Лагранжа, для любых x0,x00 2 [a,b] имеем

r( f (x0), f (x00)) = jf (x0) ¡ f (x00)j = jf (x)jjx0 ¡x00j = jf (x)jr(x0,x00),

ãäå x 2 [x0,x00] ½ [a,b]. А тогда теорема Банаха применима, следовательно,

отображение f имеет единственную неподвижную точку, которая может быть получена методом последовательных приближений, начиная с про-

извольной точки x0 2 [a,b]. Неподвижная точка отображения f и есть решение уравнения f (x) = x.

На рисунке изображен ход последовательных приближений в случае

0 < f 0(x) < 1.

12

b

y = x

y = f (x) f (b)

f (a)

a

Замечание 3. Если требуется решить уравнение вида F(x) = 0, ïðè-

÷åì F(a) < 0, F(b) > 0 è 0 < k1 6 F0(x) 6 k2 íà [a,b]. Введем функцию f (x) = x ¡aF(x) и будем искать решение уравнения f (x) = x, равносиль-

ного уравнению F(x) = 0 ïðè a 6= 0. Òàê êàê f 0(x) = 1 ¡aF0(x), òî

1 ¡ak2 6 f 0(x) 6 1 ¡ak1

и можно подобрать a так, чтобы можно было действовать методом последовательных приближений.

Пример 12. Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.

Перенося все члены с неизвестными направо и прибавляя к обеим частям первого уравнения по x1 второго по x2 и т. д., получим равносильную систему

8>x1=(1 ¡a11)x1 ¡a12x2 ¡::: ¡a1nxn + b1,

>

<x2=¡a21x1 + (1 ¡a22)x2 ¡::: ¡a2nxn + b2,

>

> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

:xn=¡an1x1 ¡an2x2 ¡::: + (1 ¡ann)xn + bn:

13

Введем обозначения новых коэффициентов в правых частях уравнений системы и запишем систему в форме:

n

xi = å ci jxj + bi, i = 1,2,:::,n:

j=1

Пусть Rn n-мерное арифметическое пространство с метрикой

n

r(x,y) = åjxi ¡yij,

i=1

ãäå x = (x1,:::,xn), y = (y1,:::,yn).

Легко доказать, что так определенное метрическое пространство Rn полное. Рассмотрим отображение A пространства Rn в себя, заданное системой линейных уравнений

то отображение будет сжимающим.

Таким образом, если матрица C удовлетворяет условию (5), то уравнение x ¡Cx = b имеет единственное решение при любом b. Ýòî ðåøå-

ние можно получить методом последовательных приближений при любом выборе начального приближения.

14

7 Уравнения Фредгольма

Уравнением Фредгольма называется интегральное уравнение вида

Zb

f (x) = l K(x,y) f (y)dy + j(x),

a

ãäå K : [a,b]£[a,b] ! R è j : [a,b] ! R данные функции, f : [a,b] ! R

искомая функция, а l произвольный параметр. Функция K называется ядром интегрального уравнения.

Предположим, что K непрерывно на квадрате [a,b] £ [a,b], обозна- чим M = maxjK(x,y)j, следовательно, jK(x,y)j 6 M для любых x, y, è j

непрерывно на [a,b].

Рассмотрим отображение полного пространства C[a,b] в себя, заданное формулой

Zb

A f = l K(x,y) f (y)dy + j(x):

a

Таким образом

6jljM(b ¡a)maxjf (y) ¡g(y)j 6

6jljM(b ¡a)r( f ,g):

Тогда для всех jlj < M(b1¡a) отображение A сжимающее на C[a,b]. Последовательные приближения к этому решению f0, f1, :::, fn, ::: имеют

âèä

Zb

fn = l K(x,y) fn¡1(y)dy + j(x),

a

где в качестве f0(x) можно взять любую непрерывную функцию. Сказанное выше показывает, что метод применим лишь при достаточ-

но малых значениях параметра l.

15

8 Линейные пространства

При рассмотрении многих конкретных пространств мы видим, что элементы этих пространств (функции, числовые последовательности и

16

др.) можно складывать друг с другом и умножать на числа, получая элементы того же пространства. Исходя из таких конкретных примеров, мы приходим определению линейного пространства.

Определение 5. Непустое множество E элементов некоторой природы называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим аксиомам:

I. Для любых двух элементов x,y 2 E однозначно определен третий элемент, являющаяся элементом того же множества и обозначаемый x +

y, причем операция сложения удовлетворяет условиям: а) x + y = y + x,

á) x + (y + z) = (x + y) + z,

(¡x) = 0.

II. Для любого числа a и любого элемента x 2 E определен элемент ax 2 E (произведение элемента x на число a), причем

à) a(bx) = (ab)x, á) 1 ¢x = x,

â) (a + b)x = ax + bx, ã) a(x + y) = ax + ay:

В качестве числовых множителей в линейном пространстве берутся вещественные или комплексные числа. В первом случае E называется вещественным линейным пространством, во втором комплексным линейным пространством.

Пример 14. Совокупность n действительных чисел образует вещественное линейное пространство Rn.

(x1,:::,xn) + (y1,:::,yn) = (x1 + y1,:::,xn + yn),

l(x1,:::,xn) = (lx1,:::,lxn):

Пример 15. Пространство C[a,b] пространство непрерывных функций. Берем всевозможные непрерывные на [a,b] функции x(t), y(t). Òàê

êàê x(t) + y(t) непрерывна на [a,b], как сумма непрерывных функций, и lx(t) тоже непрерывна, то C[a,b] является линейным пространством.

17

Пример 16. Пространство l2, в котором элементами служат последовательности действительных чисел

(x1,:::,xn,:::),

удовлетворяющие условию

å1

i=1

с операциями

(x1,:::,xn,:::) + (y1,:::,yn,:::) = (x1 + y1,:::,xn + yn,:::),

l(x1,:::,xn,:::) = (lx1,:::,lxn,:::):

является линейным пространством. Тот факт, что сумма двух последовательностей, удовлетворяющих условию (6), также удовлетворяет этому

условию, вытекает из элементарного неравенства (a + b)2 6 2a2 + 2b2.

Пример 17. Положим E = fx 2 R j x > 0g. Рассмотрим E как абелеву группу по умножению и введем на E умножение на скаляры из R ïî

формуле xl . Легко проверить, что все условия определения выполнены, хотя принимают в обычной записи другой вид: нулевой вектор в E åñòü

1, вместо 1x = x мы имеем x1 = x; вместо l(mx) = (l m)x тождество (xm )l = xl m ; вместо (l + m)x = lx + mx тождество xl+m = xl xm è ò. ä.

Далее под разностью x ¡y будем понимать выражение x + (¡y).

Приведем некоторые следствия из аксиом линейного пространства. 1. 0x = l0 = 0. В самом деле,

0x + 0x = (0 + 0)x = 0x

Отсюда

0x = 0:

Аналогично, l0 + l0 = l(0 + 0) = l0, ò. å. l0 = 0.

2.(¡1)x = ¡x, òàê êàê

x + (¡1)x = 1x + (¡1)x = (1 + (¡1))x = 0x = 0:

18

9 Линейная зависимость

Линейной комбинацией n векторов a1,a2,:::,an будем называть сумму

произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, т. е. выражение вида

a1a1 + a2a2 + ::: + anan,

ãäå ai, i = 1,2,:::,n какие угодно вещественные числа.

В линейных пространствах можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости элементов.

Определение 6. Векторы a1,a2,:::,an называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа ai, i = 1,2,:::,n, èç êî-

торых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов a1,a2,:::,an с указанными числами обращается в нуль, т. е. имеет место

равенство

a1a1 + a2a2 + ::: + anan = 0:

Определение 7. Векторы a1,a2,:::,an называются линейно независи-

мыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа ai, i = 1,2,:::,n равны нулю.

Пространство E называется конечномерным, а число n-числом измерений этого пространства, если в E существует n линейно независимых

векторов, в то время как любые n + 1 векторов из E линейно зависимы.

Если же в пространстве можно найти линейно независимую систему из любого числа векторов, то пространство называется бесконечномерным.

Непустое подмножество L в линейном пространстве E называется подпространством, если для любых элементов x,y 2 L и любых чисел

a,b линейная комбинация ax + by 2 L.

10 Линейные нормированные пространства

Линейное пространство E называется линейным нормированным пространством, если каждому элементу x линейного пространства E ставится в соответствие вещественное число, которое называется нормой этого

элемента и обозначается kxk, причем норма элемента удовлетворяет следующим аксиомам:

19

à) kxk > 0 для любого x 2 E, причем kxk = 0, только если x = 0; á) klxk = jljkxk для любого x 2 E и любого числа l;

â) kx + yk 6 kxk + kyk для любых x,y 2 E.

Элементы нормированного пространства называют как точками, так и векторами.

Установим одно неравенство, верное для любых точек x,y èç E,

kxk = k(x ¡y) + yk 6 kx ¡yk + kyk,

откуда

kxk¡kyk 6 kx ¡yk,

меняя местами x è y, получим

kyk¡kxk 6 kx ¡yk,

В линейном нормированном пространстве можно ввести метрику посредством равенства

r(x,y) = kx ¡yk:

Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики.

По определению и первой аксиоме нормы r(x,y) = kx ¡yk > 0. Åñëè x = y, то по свойствам линейных пространств x¡y = 0, а потому r(x,y) = k0k = 0 в силу первой аксиомы нормы. Пусть, наоборот, r(x,y) = 0. Это означает, что kx¡yk = 0. Но тогда по первой аксиоме нормы x¡y = 0 èëè

x= y.

Âлинейном пространстве справедливо равенство x ¡y = (¡1)(y ¡x). Поэтому в силу второй аксиомы нормы имеем:

r(x,y) = kx ¡yk = k(¡1)(y ¡x)k = j¡1jky ¡xk = ky ¡xk = r(y,x):

В силу третьей аксиомы нормы

r(x,y) = kx ¡yk = k(x ¡z) + (z ¡y)k 6 kx ¡zk + kz ¡yk = r(x,z) + r(z,y):

Таким образом, нормированные пространства частный случай метрических пространств.

20