Metodichka_-_Terver

математическоеешение. Случайная. ДискожидаВероятностиетвеличиеая случайнаядисперсиюч величинасло. работающих блоков. Найти ее

p2 = 0.7

X

значения 0, 1, 2.

этих значений:

X может принимать три

p0 = P (X = 0) = 0.6 · 0.3 = 0.18;

Вероятность

p2 = P (X = 2) = 0.4 · 0.7 = 0.28.

других вероятностей:

найдем, дополняя до единицы сумму двух

p1

= P (X = 1)

ядНепосредственно0распределения.0180.1540.228случайнойизряда распределениявеличины: случайной величины

p1 = 1 − (0.18 + 0.28) = 0.54.

X ïî-

лучим

mX = 0 + 0.54 + 2 · 0.28 = 1.1;

Найти

2

·

−

2

X, заданную унк-

öèåé ðаспределения

Ï èìåð 6. DX = дисперсию0 + 0.54 +случайной2 0.28 величины1.1 = 0.45.

F (x) = x/4 + 1/2

− 2 < x ≤ 2,

0

x

≤ −2,

ешение. Найдем

1

ïðè

x > 2.

плотность распределения:

f (x) = 1/4

− 2 < x ≤ 2,

математическое

0

x ≤ −2,

Найдем

0

x > 2.

ожидание ïðè

2

2

Найдем искомую дисперсию, учитывая, что

1

4 dx = 0.

M [X] = Z2

xf (x)dx = Z2

x

−

−

M [X] = 0 :

2

2

2 1

4

Z

Z

D[X] = (x − M [X])22f (x)dx =

x

dx =

.

−

4

3

−

2

2

Ç ÷è

1.

ункцию распределения индикатора события с ве

оятностью 0.Найти3 построить ее гра ик.

Задача

2. Есть 8 деталей, из них 2 нестандартные. Слу айным об

ð çîì

отбирают две

етали. Н ти ункцию распределения числа стан

äàртных деталей

ди отобранных.

Задача 3. Дискретная случайная величина задана законом распреде-

ления

U

3

4

7

10

Найтиp

0ункцию.20.1

распр0.40.деления3

U :

0

x ≤ 1,

f (x) = x − 1/2

1 < x ≤ 2,

Найти ункцию

распределения

ïðè

x > 2.

0

ывная случайная. величина

Задача 5. Непре

F (x)

в интервале

(0, ∞)

интервалуью аспределения

X

задана плотнос

тервала

f (x) = αe−αx (α > 0), вне этого ин

надлежащееf (x) = 0.

йти роятность того, что X примет значение, при-

Задача 6. Случайная величина.

(1, 2)

ствующие вероятности:

0, 1, . . . , m, . . . , n, соответ-

Pm =

P

(

X

m23

Cmpmqn−m

,

(15)

= ) =

n

параметрамиДля случайной величины,nраспределеннойи p.

по биномиальному закону

n è p

= √npq.

аспределениеов рят, что mX = np,

DX

= npq,

σX

случайнаяПуассона величина

(16)

а, если ее возможные значения:

X им ет распред ление Пуассо

-

íîåîðìулойножество значений), соответствующие вероятности(беск чное,выражаютсяносчет

0, 1, . . . , m, . . .

ПуассонаP

αm

α

m

,

,

, . . . .

аспреде ение

çàâèe−

(17)

= m!

сит от одного параметра

m

(

= 0 1 2 )

Äëÿ ëучайной величины, распределенной по законуα.Пуассона,

распределениеопытов является

√

ногПуассо,когдаовскоечисло

mX

предельным для биномиаль(18)-

= α, DX = α, σX

= α.

одновременно параметр

неограниченноn

увеличивается (n → ∞), è

что их произведение

p

уменьшается (p → 0),

òàê,

np сохраняется в пределе постоянным, равным α:

аспределение Пуассона с параметромlim np = α.

N → ∞

P → 0

менять вместо биноми

ьного, когда числоα = npопытовможно приближенно при-

вероятно ть

n очень велико, а

îïûòеающихсобытиеравнаэле0.1-.

отдельномезависимоодномопытерабо

åяроятностьочень1.оченьУстройствор редкошотказамала,ниями. состоиткаждого. . в каждомизэлементатрех

A

менПримпоявляетов.Врыp

Ñîñ à

ить закон распределения числа отказ вших элемен ов

одном

опыте.

ныеэлементовзешениеаченияводном.сДискретнаяучайнойопыте)величины:имеетслучайнаябиномиаве ичинаьноераспределениеX (число отказавших.Возмож

ства не отказал),

x1 = 0 (ни один из элементов устрой-

элемента),

x2 = 1 (отказал один элемент), x3 = 2 (отказали два

x4 = 3 (отказали три элемента)24

.

P3(0)

= q3 = 0.93 = 0.729,

P3(1)

= C31pq2 = 3 · 0.1 · 0.92 = 0.243,

ойПримерслучайной2.величиныНаписатьp 0биномиальный.7290.0.243 027закон0.001распределения дискрет

P3

(2)

= C32p2q = 3 · 0.1

· 0.9 = 0.027,

3

случайной величины име-

етИскомыйвид: биномиальный закон

P3

(3)

= p

= 0распределения.1 = 0.0 1.

X

0

1

3

-

íияхешениемонетызначения:.. Дискретная случайнаячисла появлениявеличина гербаприимаетпри двухследующиеброса

возможные

X

íè ðàçó),

x1 = 0 (при двух бросаниях монеты герб не выпал

щиевелик том, что к иги сброшюрованыn = 10 , p = 10−

m = 5

5

4

неправильно, не. ависимы,События,числосост я-

вероятность

n

Найдем α:

1000

Тогда искомая вероятностьα = np = 105

·

−4

= 10.

105e−

= 0.0375.

Pn=10 (m = 5) =

âремисимоПримерешениеодин4от. Устройстводругого.5Вероятностьсостоит иç òêàçэлементов,а любого элементаработающихвтечениенеза-

5

местоíå òðTх равнаэлементов. Число0.002.. Найти вероятнвероятностьтог что за время T откаж

распределение nПуассона= 1000 велико,(17). Найдем

p = 0.002 мала, имеет

α:

Найдем вероятность того,α =÷òînpçà= время1000 · 0.002 = 2.

T откажет менее трех элементов:

P = P1000(0) + P1000(1) + P1000(2) = e−

2

+ 2e−

2

+ 4e−

2

· 0.5 = 0.6767.

З чиЗадача 1. Передается

Случайная величина

p = 0.3 независим от других

кажается.

-

åå

èнысатьЗадачабиномиальный2. Две игр льйтизаконыееечислораспределенкостиматематическоескаженныходновременноядискретнойожидание,сообросаютщенийслдисперсию.Построитьдвачайнойразавели. На

чпряд

X

-

выпаденийвремяодинаковойсостоитнечетного(оченьизбольшогомалой)чèсла вероятностьюочковчислаотказавшихне двóисимоотказаигральныхработакаж

догоющихкостяхЗадачаXэлементов.3числа. аУстройствоза

T . Найти среднее число

время

бесчисленноечто за этоповремязаконучислаколичествооткажпоявленийПуассона,раз)хотя.равнасобыбы-

зависимых. (Испытания4. Доказать,еслиравнавероятностьспытаниях,0.производятся98что.сумматого,вычисленныхвероятностей

элемент,

Tедиництияодинэлементов,Задачав

26

6.

Ç êîíû

ñïð ë íèÿ í ïð ðû íûõ ñëó-

ч йных личин

авномерное

îò

Случайная величинараспределениеX име т равномерное распределение постоянна:участке

a äî b, если плотность распр деления f x) на этом участке

(19)

1

x (a, b),

f (x) =

b

a

ïðè

имеет

прямоуголь

ника,Криваяопирающегосяравномерногоназываютучастокраспределения

. 3)

âèä

(

−

0

x / (a, b).

(ðèñ

пределение иногда

прямоугольным(a, b), в связи .с этим равномерное рас-

èñ. 3

Для случайной величины, распределенной равномерíî

a + b

(b

a)2

b

a

ПоказательненциальноеНепрерывí)mаяое случайнаяраспределение= величинаDåñëè=

имеет

åëüíое (или экспо(20)-

−

, показатσ =

− .

X

2

X

12

X

√

3

распределение,

2

(21)

f (x) =

λe−λx

x > 0,

где положительная величина

0

ïðè

x < 0,

распределения. Функция распределенияλ называетсяимеетпараметромвид: показательного

F (x) = 1 − e−

λx

(x > 0).

27

(22)

(22)ра показаныик плотностина рисункевероятности4. f (x) (21) и ункции распределения F (x)

èñ. 4

Для случайной величинû, имеющåé показаòåльное распределение,

справедливы равенства:

1

1

1

-

игсредиаетмальныйисключительнодугихраспределениезаконзаконов распредевжнуюленияролье(иногдаиявособоетеорииназываемыйположениевероятностейзаконом.Случайнаязани(23)аус

Нормальноеса)мает

mX =

, DX =

2 ,

σX

= .

λ

λ

λ

ðаспределенараспределенияпонормальимеетíомувидзакону

парам трами m, σ,

âååñëèчинаееплотностьX

(x−m)2

симметричный,

1 равнаяя имеетσ2

колоколо(24)-

образныйМаксимальнаяКриваявиднормального(рис.ордината5). распредкривой,елени

−

2

.

f (x) =

√

e

σ

2π

√

достигается при

1/(σ 2π)

x =Äëÿm. случайной величины, имеющей нормальное распределение

èñ. 5

Вероятность попадания нормально распределенной случайной вели-

÷èíû X на участок от α äî β выражается ормулой:

ãäå

P (α < X < β) = Φ

β − m

−

Φ

α − m

,

(26)

σ

σ

Φ(x) ункция Лапласа:

1

x

Вероятностьчислатого,жительного

t2/2

что абсолютнаяΦ(x) =

e−

dt.

√

2π

0

Z

δ:

В частности, при

P (|X − m| < δ) = 2Φ

δ

.

(27)

σ

m = 0 справедливо равенство

δ

-

ðугляютотсчетешкалыдобудетблииз

Найтиое0.распределени1.вероятностьПоказанияå.приборатого,)Ценачтоделенияокп

ПриммеритжайшПримерльногорыцелого1сприбора. р(деленияавномерш ниямирав.P (|X| < δ) = 2Φ

σ .

сделана ошибка, превышающая 0.02.

29