Лекции по алгебре.Баскаков

9.12 мальчиков, каждый из которых бросает мяч всегда одному и тому же партнеру, перебрасываются разноцветными мячами, все мячи бросаются одновременно, и никакие два мальчика не бросают мяч одному игроку. Через какое наименьшее число ходов игры все мячи окажутся в руках тех же мальчиков, что и в начале ?

10.Рассмотрим два множества An = fa1; : : : ; ang и f1; : : : ; ng: Пусть a : f1; : : : ; ng ! An – биективное отображение, определенное равенствами

a(j) = aj; 1 j n: Докажите, что отображение : S(An) ! Sn; определенное формулой (') = a 1 ' a; является изоморфизмом

групп, при этом имеют место следующие свойства

1)sign( (')) = sign' 8' 2 S(An);

2)(') цикл () ' цикл;

3)порядки перестановок (') и ' совпадают.

11.Рассмотрим группу G перестановок из S4 вида

называемую группой Клейна и группу G1 , определенных на R n f0g со значениями в R n f0g функций вида

f1(x) = x; f2(x) = x; f3(x) = 1=x; f4(x) = 1=x

с операцией суперпозиций функций. Докажите, что обе группы абелевы

и изоморфны.

12.Докажите, что любая бесконечная циклическая группа G изоморфна

группе Z; а конечная циклическая группа G изоморфна группе Zm; где m = jGj.

13.Докажите, что каждая подгруппа циклической группы является циклической.

14.Пусть jGj – простое число. Докажите, что G – циклическая группа.

В следующих двух упражнениях восстанавливаются некоторые элементы доказательства теоремы Кэли, при этом используются обозначения из этого доказательства.

15.Пусть g 2 G. Докажите, что (g) – перестановка множества G:

16.Докажите, что отображение : G ! S(G) является гомоморфизмом групп.

x 7. Кольца, тела, алгебры, поля

Как мы видели, множества R и Z являются группами (по сложению). Однако на R и Z есть еще одна алгебраическая операция: умножение чисел. Указанные в заголовке алгебраические структуры как раз являются алгебраическими структурами, на которых существует несколько алгебраических операций.

Определение 1. Кольцом называется множество A с двумя алгебраическими операциями, называемыми соответственно сложением (с аддитивной формой записи операции) и умножением (с мультипликативной формой записи операции), удовлетворяющими следующим условиям:

1)A - абелева группа относительно первого закона композиции;

2)имеют место равенства

a(bc) = (ab)c; (a + b)c = ac + bc; c(a + b) = ca + cb 8a; b; c; 2 A;

3) 0 6= e; если A содержит единицу e (т.е. элемент e 2 A со свойством ae = ea 8a 2 A):

Определение 2. Если кольцо A содержит единицу e, то кольцо A называется кольцом с единицей.

Пример 1. Множества R; Z и Q являются кольцами с алгебраическими операциями сложения и умножения чисел. Все эти кольца содержат единицу e = 1.

Пример 2. Множество f0; 1g является кольцом. Операция сложения была определена в примере 10 из x 5: Вторая операция есть операция умножения чисел.

Пример 3. Множество S всевозможных подмножеств множества X является кольцом относительно алгебраических операций симметрической разности и пересечения.

Все эти кольца являются коммутативными в смысле следующего определения.

Определение 3. Кольцо A называется коммутативным, если любая пара элементов из A перестановочна относительно операции умножения.

Определение 4. Элемент a из кольца A с единицей называется обратимым, если существует элемент b из A такой, что ab = ba = e: Элемент b называется обратным к a и обозначается символом a 1:

Отметим, что если a b - обратимые элементы из кольца A, то элемент ab обратим и (ab) 1 = b 1a 1: Произведение n одинаковых элементов кольца A обозначается символом an; a 2 A:

Определение 5. Пусть A и B - два кольца. Отображение f : A ! B называется гомоморфизмом колец, если выполнены следующие условия:

1)f(a + b) = f(a) + f(b);

2)f(ab) = f(a)f(b); a; b 2 A;

3)f(eA) = eB , если A и B – кольца с единицами eA 2 A; eB 2 B: Рассмотрим еще один пример кольца.

Пример 3. Символом C[a; b] обозначим множество непрерывных

функций f : [a; b] ! R; определенных на отрезке [a; b] со значениями в R (т.е. элементами множества C[a; b] служат непрерывные функции). Следующие формулы определяют две алгебраические операции на C[a; b] (сложения и умножения функций):

1)(f + g)(t) = f(t) + g(t); t 2 [a; b]; f; g 2 C[a; b];

2)(fg)(t) = f(t)g(t); t 2 [a; b]; f; g 2 C[a; b]: Например, первую формулу следует понимать следующим образом: суммой функций f и g называется такая функция f +g; которая в каждой точке t 2 [a; b] имеет значение, равное сумме f(t)+g(t) значений функций f и g в той же точке t. Нулевым элементом является нулевая функция 0 : 0(t) = 0 8 2 [a; b]: Кольцо C[a; b] является кольцом с единицей e, которая совпадает с функцией e(t) = 1 8t 2 [a; b]:

Пример 4. Пусть t0 - некоторая точка из отрезка [a; b]: Отображение0 : C[a; b] ! R; определенное формулой

0(') = '(t0); ' 2 C[a; b];

является гомоморфизмом колец (ввиду равенств

0('1 + '2) = ('1 + '2)(t0) = '1(t0) + '2(t0) =

0('1) + 0('2); 0('1'2) = ('1'2)(t0) = '1(t0)'2(t0) =0('1) 0('2); 0(e) = e(t0) = 1):

Определение 6. Кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы обратимы, называется телом.

Определение 7. Коммутативное тело называется полем. R и Q-поля, но Z не является ни полем, ни телом. Кольцо f0; 1g является полем. По определению поле содержит, по крайней мере, два элемента, а именно 0 и 1.

Замечание. Элементы поля будем называть числами, единица поля обозначается символом 1. Число вида ab 1 обозначается символом a=b.

50 Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов

Определение 8. Пусть K и X - два множества. Отображение f : K X ! X называется внешним законом композиции на X . Элемент f(a; x); a 2 K; x 2 X обычно обозначают символом ax:

Определение 9. Кольцо A называется алгеброй над полем K , если (наряду с заданными двумя внутренними законами композиции) задан внешний закон композиции f : K A ! A на кольце A, причем для любых ; 2 K и a; b 2 A имеют место равенства

1) ( + )a = a + a; 2) (a + b) = a + b; 3) (ab) = ( a)b = a( b); 4) ( )a = ( a); 5) 1a = a:

Пример 5. Кольцо C[a; b] является алгеброй над полем R: Внешний закон композиции задается равенствами

( ')(t) = '(t); 2 R; ' 2 C[a; b]; t 2 [a; b]:

Кольца R и Q можно рассматривать как алгебры над полями R и Q соответственно.

Определение 10. Пусть A и B - две алгебры над полем K . Отображение f : A ! B называется гомоморфизмом алгебр, если f - гомоморфизм колец A и B и f( a) = f(a) 8 2 K 8a 2 A:

Гомоморфизм 0 из примера 4 является гомоморфизмом алгебры C[a; b] в алгебру R:

Определение 11. Гомоморфизм f : A ! B алгебр (колец) A и B

называется изоморфизмом алгебр (колец) (или алгебраическим изоморфизмом), если он является биективным отображением (т.е. обратим). Если для заданных алгебр (колец) A1 и A2 существует изоморфизм ' : A1 ! A2; то алгебры (кольца) A1 и A2 называются изоморфными.

Определение 12. Если A - одна из рассматриваемых нами алгебраических структур (для определенности пусть кольцо), то подмножество A0 из A называется подкольцом, если элементы a b и ab принадлежат A0 для любых элементов a; b 2 A0 , т.е. A0 - самостоятельное кольцо.

Аналогичным образом дается определение подалгебры и подполя.

Упражнения к § 7

1.Пусть f : A ! B - гомоморфизм колец A и B. Докажите, что множество Ker f = fa 2 A : f(a) = 0g обладает свойствами:

если a; b 2 Ker f; то a b; ab 2 Ker f; т.е. Ker f – подкольцо.

2.Докажите, что для любых элементов x; y из кольца A имеют место следующие равенства

1)0x = 0; 2) ( x)y = xy:

3.Докажите, что множество G(A) всех обратимых элементов кольца A с единицей образует группу.

4.Докажите, что для любого числа из поля K и любого элемента a из алгебры A над полем K имеют место равенства

1) ( a) = a; 2) ( 1)a = a:

5.Пусть f : A ! B – гомоморфизм алгебр (колец) A и B, причем f – биективное отображение. Докажите, что обратное отображение f 1 : B ! A

также является гомоморфизмом алгебр (колец).

6.Z=mZ = Zm - поле тогда и только когда m - простое число (операция умножения в Zm определяется формулой (k + Z)(` + Z) = k` + Z):

p

7. Докажите, что множество чисел вида fm + 2n; m; n 2 Zg j образует подкольцо из R:

8.Пусть S(X) - множество всех подмножеств множества X . Доказать, что оно является кольцом с единицей относительно алгебраических операций симметрической разности и пересечения, рассматриваемых как сложение и умножение соответственно.

9.Докажите, что в поле Zp(p - простое число) выполняется равенство

p 1

P k 1 = 0; если p > 2:

k=1

x 8. Поле комплексных чисел

Пусть K = R – поле вещественных чисел. Уравнение

x2 + 1 = 0

не имеет решений в поле R; так как отсутствует в поле R число a такое, что его квадрат равен -1.

В этом параграфе мы построим поле комплексных чисел C, содержащее R в качестве подполя и такое, в котором это уравнение будет иметь решение.

Поле комплексных чисел C как множество совпадает с множеством R2 упорядоченных пар вещественных чисел. Наделим R2 структурой абелевой группы (см.пример 4 из x 5). Напомним, что операция сложения в R2 определяется соотношениями

x + y = (x1 + y1; x2 + y2); x = (x1; x2); y = (y1; y2) 2 R2:

52 Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов

Операцию умножения в R2 определим по правилу xy = (x1y1 x2y2; x1y2 + x2y1):

Таким образом, на R2 заданы два закона композиции. Легко проверяются все аксиомы кольца. Нулевым элементом в нем служит пара (0,0), а пара (1; 0) = e служит единицей. Ясно также, что xy = yx 8x; y 2 R2; т.е. кольцо коммутативно.

Докажем, что каждый ненулевой элемент a = (a1; a2) из R2 обратим. Для обратного к нему элемента x = (x1; x2) должно иметь место равенство ax = (a1x1 a2x2; a1x2 + a2x1) = (1; 0); т.е. для определения чисел x1; x2 2 R получаем систему уравнений

a1x1 a2x2 = 1; a2x1 + a1x2 = 0;

откуда следует, что обратный элемент a 1 имеет вид

Доказанное означает, что рассматриваемое кольцо является полем. Определение 1. Введенное в рассмотрение поле называется полем ком-

плексных чисел и оно обозначается символом C. Элементы этого поля называются комплексными числами.

Ясно, что элементы вида ( ; 0) из C образуют подполе, которое изоморфно полю R. Это позволяет не различать в дальнейшем комплексное число ( ; 0) с действительным числом (т.е. всегда полагать ( ; 0) = ) и, значит, считать, что R C:

Следует отметить, что на C можно ввести внешний закон композиции (умножение комплексных чисел на вещественные) следующим образом(x; y) = ( x; y): Тогда числа вида ( ; 0) можно записать в виде (1; 0).

Теперь наступает важный момент. Мы укажем такое комплексное число z = (x; y) 2 C; квадрат которого равен 1 = ( 1:0): В качестве такого числа выступает комплексное число z = (0; 1), так как z2 = ( 1; 0): Комплексное число (0.1) называется мнимой единицей и обозначается символом i (обозначение Л.Эйлера), так что i2 = ( 1; 0) = 1:

Такое обозначение мнимой единицы позволяет любое комплексное число

Число a называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается символом Rez, а число b – мнимой частью числа и обозначается Imz: Числа вида ib; b 2 R называются мнимыми числами. Число a ib называют комплексно сопряженным к числу z = a + ib и обозначают z: Ясно, что

В новых обозначениях комплексных чисел алгебраические операции над комплексными числами будут задаваться соотношениями для z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2 :

z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2);

z1z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 b1b2 + i(a1b2 + b1a2);

Приведенные формулы умножения и особенно деления комплексных чисел довольно-таки громоздки. Для этих операций более удобна другая, так называемая тригонометрическая форма представления комплексных чисел. Для ее задания рассмотрим плоскость E и декартову прямоугольную систему координат (см. рис.12).

Рис.12

Сопоставим каждому комплексному числу z = a + ib точку M на плоскости с координатами (a; b): Используя полярную систему координат, числа a и b

Выражение вида (2) называется тригонометрической формой комплексного

числа. Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается p

jzj. Из теоремы Пифагора следует, что jzj = a2 + b2:

Число ' называется аргументом комплексного числа и обозначается Arg z. Аргумент определяется неоднозначно с точностью до слагаемого, кратного 2 : Если z = 0, то jzj = 0, но угол ' не вполне определен. Если дополнительно сделать ограничение 0 ' < 2 ; то угол ' обозначается символом arg z. Ясно, что arg z = arc tg b=a:

Пусть zk = rk(cos 'k +i sin 'k); k = 1; 2 – два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме. Тогда их произведение можно записать в виде

z1z2 = r1r2[cos '1 cos '2 sin '1 sin '2 + i(sin '1 cos '2 + cos '1 sin '2)] =

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножают-

если z = r(cos ' + i sin '): Это равенство называется формулой Муавра.

Формула (4), в свою очередь, позволяет получить формулу для корня p

n–ой степени n z0 из любого комплексного числа z0 = (cos + i sin ); т.е. найти все решения уравнения

Если z = r(cos ' + i sin '); то уравнение (5) может быть записано в виде

rn(cos n' + i sin n') = (cos + i sin ):

p

Из этого равенства следует, что r = n и аргумент ' должен удовлетворять соотношению

n' = 2 k; k 2 Z:

56 Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов

Определение 2. Расстоянием между двумя комплексными числами z1 и z2 называется число jz1 z2j:

Определение 3. Последовательность комплексных чисел (zn) назы-

вается сходящейся к комплексному числу z0 , если lim jzn z0j = 0: Число

n!1

z0 называется пределом этой последовательности и используется обозначение

lim zn = z0:

n!1

Определение 4. Множество A C называется ограниченным, если

sup jzj < 1:

z2A

Т е о р е м а 1. Если A – ограниченное множество из C; то из любой последовательности (zn) элементов множества A можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Утверждение теоремы верно для ограниченных множеств из R. Поэтому достаточно заметить, что из равенства jzj =

p

=(Rez)2 + (Imz)2; z 2 C следует, что последовательность (zn) C схо-

ющего условию jz z0j < . Функция f называется непрерывной, если она непрерывна в любой точке из C:

Обычным образом (как и для функций вещественной переменной) доказывается, что если f; ' : C ! C – непрерывные функции, то непрерывными будут функции f'; f + ' 8 ; 2 C:

Поскольку функция f(z) = z; f : C ! C непрерывна, то в силу указанных выше свойств непрерывной будет функция ' : C ! C вида

'(z) = a0zn + a1zn 1 + + an 1z + an; z 2 C;

где a0; a1; : : : ; an 2 C: Эта функция называется многочленом (см. x 9). Определение 6. Функция f : C ! C называется дифференцируемой в

производной функции f в точке z0 . Если f дифференцируема в каждой точке z 2 C, то функция f0 : C ! C называется производной функции f .

Отметим (без доказательства, которое проводится как и для функций вещественного переменного), что имеет место

Т е о р е м а 2. Если f; ' : C ! C – дифференцируемые функ-

ции, то дифференцируемыми будут функции f + '; f' и (f + ')0 = f0 +

'0; (f')0 = f'0 + f0':