умк_Вабищевич_квант. физики

Решением данного дифференциального уравнения является функция вида

Учитывая, что волновая функция при любых значениях x, не должна обращаться в бесконечность, принимаем В = 0. Следовательно, волновая функция имеет вид

ψ = Ae−αx ,

Вероятность обнаружить частицу в точке с координатой x = 0 равна P(0) = A2, тогда вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер шириной L равна отношению

D= P(L) , P(0)

ипредставляет собой коэффициент прозрачности потенциального барьера.

Итак, в случае прямоугольного потенциального барьера шириной L вероятность его прохождения микрочастицей равна

В случае преодоления частицей потенциального барьера сложной формы коэффициент прозрачности определяется по формуле

где х1 и х2 – координаты начала и конца потенциального барьера, описы- ваемого функцией U(x) (рис. 2.7).

41

Важным примером прохождения частицы через потенциальный барьер является распад радиоактивных ядер. При α-распаде материнское ядро испускает α-частицу, состоящую из двух протонов и двух нейтронов. На рис. 2.8 изображен график зависимости потенциальной энергии взаи- модействия частицы U с ядром от расстояния r. Оценка высоты потенци- ального барьера, например, для ядра полония 210Ро – наиболее применяе- мого радиоактивного изотопа – дает значение U0 = 23 МэВ. Полоний же испускает α-частицы c энергией E = 5,3 МэВ. Мы видим, что энергия вы- летающей из ядра частицы существенно меньше высоты барьера, так что α-распад возможен только в результате туннельного эффекта. Можно рас- считать прозрачность кулоновского барьера по формуле (30) и потом оце- нить период полураспада радиоактивных ядер.

42

2.2. Методические указания к лекционным занятиям

43

2.4. Примеры решения задач

Пример 1. Найти длину волны де Бройля для случаев: 1) электрона, летящего со скоростью 0,8 с; 2) тела массой 10–3 кг, движущегося с такой же скоростью.

Решение. Длина волны де Бройля определяется выражением

l = h × 1 - u2 . m0v c2

Вычисляя значение длин волн де Бройля для рассматриваемых случаев,

получаем: l1 = 1,8×10–12 м, l2 = 1,65×10–29 м.

Ответ: 1) l1 = 1,8×10–12 м; 2) l2 = 1,65×10–29 м.

Задача 2. Определить длину волны де Бройля молекулы гелия при температуре 300 К.

Решение. Длина волны де Бройля для нерелятивистской частицы опре-

молекул которого при температуре Т равна E = 3 kT . Скорость может быть

Учитывая, что m0 = 4×1,67×10–27 кг, получаем λ = 2,6×10–11 м.

Ответ: λ = 2,6×10–11 м.

45

Задача 3. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужден- ном состоянии в атоме водорода 13,6 эВ. Используя соотношение неопре- деленностей, найти наименьшую погрешность, с которой можно вычис- лить координату электрона в атоме.

Решение. Наименьшая погрешность, с которой можно вычислить координату электрона в атоме, определяется соотношением неопределен- ностей Гейзенберга

x = . p

Для определения минимальной погрешности координаты возьмем неопределенность импульса, равную самому импульсу, что соответствует

2Eme

находим неопределенность координаты электрона x = 0,53×10–10 м. Следует отметить, что это значение неопределенности координаты совпадает с радиу- сом первой орбиты для электрона в атоме водорода.

Ответ: x = 0,53×10–10 м.

Пример 4. Частица находится в основном состоянии (n = 1) в по- тенциальном ящике шириной L. Найти вероятность нахождения частицы в области L/3 < x < 2L/3.

Решение Вероятность нахождения частицы в указанном интервале

Т.е. вероятность обнаружить частицу в указанной области равна 61 %.

Ответ: Р = 61 %.

46

Пример 5. Две частицы, электрон и протон, обе с энергией 5 эВ,

движутся в одном направлении и встречают на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой 10 эВ и шириной 1 пм. Определить отно- шение вероятностей прохождения частицами этого барьера.

Решение. Вероятность прохождения частицы через указанный барьер определяется коэффициентом прозрачности

Искомое отношение вероятностей равно

Массы электрона и протона соответственно равны me = 9,1×10–31 кг, mp = 1,67×10–27 кг.

Вычисляя, получаем

D1 = 2,6 .

D2

Ответ: D1 D2 = 2,6 .

dx2

Сравнивая с операторным уравнением

ˆ y = y

A A A A ,

приходим к выводу, что собственное значение искомого оператора A = 9.

Ответ: A = 9.

2.5.Задачи для самостоятельного решения

1.Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны молекул азота, содержащихся в воздухе при комнатной температуре.

47

2.Определить кинетическую энергию протона и электрона, для которых длина волны де Бройля равна 0,06 нм.

3.Определить энергию, которую необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 0,2 мм до 0,1 нм.

4.На сколько по отношению к комнатной должна измениться темпера- тура идеального газа, чтобы дебройлевская длина волны его молекул уменьшилась на 20 %?

5.Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нор- мально на диафрагму в виде узкой прямоугольной щели, ширина которой 0,06 мм. Определить скорость этих электронов, если известно, что на экра- не, отстоящем от щели на расстоянии 40 мм, ширина центрального ди- фракционного максимума 10 мкм.

6.Из катодной трубки на диафрагму с узкой прямоугольной щелью нор- мально к плоскости диафрагмы направлен поток моноэнергетических электро- нов. Определить анодное напряжение, трубки, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии 0,5 м, ширина центрального дифракционно- го максимума 10,0 мкм. Ширину щели принять равной 0,10 мм.

7.Протон обладает кинетической энергией 1 кэВ. Определить дополни- тельную энергию, которую необходимо ему сообщить для того, чтобы длина волны де Бройля уменьшилась в три раза.

8.Определить длины волн де Бройля α-частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов 1 кВ.

9.Кинетическая энергия электрона равна удвоенному значению его энергии покоя (2m0c2). Вычислить длину волны де Бройля для такого электрона.

10.Какой кинетической энергией должен обладать электрон, чтобы деб- ройлевская длина волны электрона была равна его комптоновской длине волны.

11.Сравнить длины волн де Бройля электрона, прошедшего разность по- тенциалов 1000 В, атома водорода, движущегося со скоростью равной средней квадратичной скорости при температуре 270С, и шарика массой 1 г, движущегося со скоростью 0,1 м/с.

12.Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кине- тическую энергию электрона, движущегося внутри сферы радиусом 0,05 нм.

13.Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошиб- ки в определении скорости электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью 1 мкм.

14.Какова должна быть кинетическая энергия протона в моноэнергетиче-

ском пучке, используемого для исследования структуры с линейными разме- рами 10–13 см?

48

15.Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электрона 10 эВ.

16.α-частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить

ширину ящика, если известно, что минимальная энергия α-частицы 8 МэВ.

17.Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет 10–8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя дли- на волны которого равна 600 нм. Оценить ширину, излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет других процессов.

18.Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет около 10–8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фо- тон, средняя длина волны которого равна 400 нм. Оценить относительную ширину излучаемой спектральной линии, если не происходит уширения линии за счет других процессов.

19.На фотографии, полученной с помощью камеры Вильсона, ширина следа электрона составляет 0,8·10–3 м. Найти неопределенность в нахожде- нии его скорости.

20.Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода 13,6 эВ. Используя соотношение неопределенностей, найти наименьшую по- грешность, с которой можно вычислить координату электрона в атоме.

21. Показать, что для частицы, неопределенность координаты которой х = λ/(2π) (λ – длина волны де Бройля), неопределенность ее скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.

22.Исходя из соотношения неопределенностей, оценить размеры ядра атома, считая, что минимальная энергия нуклона в ядре 8 МэВ.

23.Используя соотношение неопределенностей, оценить энергию элек- трона, находящегося на первой боровской орбите в атоме водорода.

24.Используя соотношение неопределенностей, показать, что в ядре не мо- гут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5,8 10–15 м. Учесть, что удельная энергия связи в среднем 8 МэВ/нуклон.

25.Атом испустил фотон с длиной волны 0,550 мкм. Продолжительность излучения 10 нс. Определить наибольшую погрешность, с которой может быть измерена длина волны излучения.

26.Частица находится в потенциальной яме шириной L. Определить ве- роятность нахождения частицы в интервале 0 < x < L/5 на первом энерге- тическом уровне.

27.Частица находится в потенциальной яме шириной L. Определить ве- роятность нахождения частицы в интервале L/4 < x < L/3 на втором энерге- тическом уровне.

49

28. Частица в потенциальной яме шириной L находится в возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале L/3<x<L/2 на третьем энергетическом уровне.

29. Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона в интервалах L/4 < x < L/2 и 0 < x < L/4 на первом энергетическом уровне одномерной потенциальной ямы, ширина которой L.

30.Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной L с бесконечно высокими стенками. Найти спектр энергии электро- на, считая, что возможны лишь те его состояния, для которых внутри потен- циальной ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.

31.Электрон находится в одномерном прямоугольном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. В каких точках обнаружение электрона наи- менее вероятно, если он находится в основном состоянии? Какие изменения произойдут, если электрон перейдет в возбужденное состояние с n = 3?

32.Частица находится в бесконечно глубокой, прямоугольной, одномерной потенциальной яме шириной L. Определить вероятность обнаружения части-

цы в области с координатой L/3 ≤ x < (L/3 + L), где DL = 0,001×L.

33. Частица находится в одномерной, бесконечно глубокой, прямоугольной потенциальной яме шириной L во втором возбужденном состоянии. Найти ве- роятность обнаружения частицы в центральной области шириной DL, если:

a) DL = L/3; б) DL = L/100.

34.Частица находится в одномерном прямоугольном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками в возбужденном состоянии с n = 5. В каких областях вероятность обнаружения частицы равна нулю?

35.Определить, при какой ширине одномерной потенциальной ямы дис- кретность энергии электрона становится сравнимой с энергией теплового движения при температуре 300 К.

36.Электрон находится в основном состоянии в одномерной потенциальной

яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой 1,4×10–9 м. Опреде- лить энергию, излучаемую при переходе электрона с третьего энергетическо- го уровня на второй. Как изменяется при этом импульс электрона?

37.Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой 1 нм. Определить наименьшую раз- ность энергетических уровней электрона.

38.Определить ширину одномерной потенциальной ямы с бесконечно

высокими стенками, если при переходе электрона с третьего энергетиче- ского на второй излучается энергия 1 эВ?

39. Рассматривая электрон в твердом теле как линейный гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, найти во сколько раз от- личаются плотности вероятности обнаружения электрона в точках х0 и 2х0.

50