![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Методичка по инж.графике в помощь
.pdf![](/html/2706/429/html_aM3YjrOXgp.H9YX/htmlconvd-oiUQ0761x1.jpg)
Поверхности вращения
Поверхность, образованная вращением какой-либо линии вокруг прямой линии (оси вращения), называется поверхностью вращения (рис.111).
Линия, образующая поверхность, может быть прямой или кривой линией.
А |
|
|
Н О |
А1 |
||
|
|
|
Н1 |
|
ОО1 – ось вращения |
|
|
|
|
|
АВ – образующая |
||
|
|
|
|
|
|
А1В1 – новое положение образующей после |
|
|
|
|
|
|
вращения образующей АВ |
|
|
|
Н2 |
|
Н,Н1, Н2, Н3 – параллели (окружности, по кото- |
|
|
|
|
|
рым перемещаются точки образующей). |
||
|
|
|
|
|
|
Н1 – горло (самая малая параллель) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Н2 – экватор (самая большая параллель) |
||
|
|
|
Н |
|
|
ВО1 В1
Рис. 111. Поверхномть вращения
Кривые линии, получаемые при сечении поверхности вращения плоскостью, проходящие через ось вращения, называются меридианам, а секущая плоскость – меридиональной.
Если меридиональная плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций, то в сечении образуется линия, называемая главным меридианом (АВА1В1 – главный меридиан).
Поверхности образованные вращением прямой линии вокруг прямой
|
А |
|
|
О2 |
А12 |
Цилиндр вращения |
|
2 |
|
Цилиндр вращения образуется вращением пря- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
|
|
|
|
мой линии вокруг параллельной ей прямой – |
Х |
|
О12 |
В12 |
оси вращения. Цилиндр вращения на чертеже |
||
|
|
обычно задается осью вращения, перпен- |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
дикулярной плоскости проекций, образующей – |
|
|
|
|
|
|
прямой линией, параллельной оси вращения и |
А1≡В1 |
О11 ≡О1 |
А11В11 |
следом поверхности (окружностью) (рис.112). |
ОО1 – ось вращения АВ || OО1 – образующая
А2В2А12В12 – главная меридиана
Рис. 112. Чертеж цилиндра вращения
60
![](/html/2706/429/html_aM3YjrOXgp.H9YX/htmlconvd-oiUQ0762x1.jpg)
Конус вращения
Образуется вращением прямой линии вокруг пересекающейся с ней прямой.
|
|
S2 |
|
|
Конус вращения на чертеже задается осью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вращения, перпендикулярной плоскости про- |
|
|
|
A12 |
екций, вершиной поверхности, располо- |
|
|
A2 |
O2 |
женной на оси вращения, и двумя обра- |
||
X |
|
|
|
|
зующими, проходящими через вершину по- |
|
|
|
|
||
|
|
|
A11 |
верхности под одним и тем же углом к оси |
|
|
A1 |
S1 ≡O1 |
проекций (рис.113). |
||
|
|
|
|
|
Ограничивается конус вращения плос- |
|
|
|
|
|
костью, перпендикулярной к оси вращения. |
Рис.113. Чертеж конуса вращения |
Это будет окружность. |
||||
|
Если конус пересекает плоскость проекций, то эта окружность будет называться следом поверхности.
SO – ось вращения
S – вершина поверхности SA – образующая
SАA1 – главный меридиан
Однополостный гиперболоид вращения
О2 А2
С2 Н2
В2 I2
Х
Н1
О1 ≡ I1
В1
С1
А1
Рис. 114. Чертеж однополостного гиперболоида вращения
Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой АВ вокруг скрещивающейся с ней прямой ОI (осью вращения) (рис.114).
OI – ось вращения АВ – образующая Н – горло поверхности
Все точки образующей прямой АВ при вращении опишут окружности определенных радиусов, причем перпендикуляр ОС будет наименьшим радиусом из всех, а поэтому точка С опишет самую малую окружность – горло поверхности.
61
![](/html/2706/429/html_aM3YjrOXgp.H9YX/htmlconvd-oiUQ0763x1.jpg)
Поверхности, образованные вращением окружности вокруг прямой линии
Сфера
Образуется вращением окружности вокруг прямой, проходящей через центр окружности (вращение окружности вокруг диаметра).
|
К2 |
С2 |
|||||
|
Е2≡ F2≡О2 B2 |
||||||
|
А2 |
|
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
M2 |
|
X |
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
F1 |
||
|
A1 |
|
|
|
|
C1≡ D1≡О1 B1 |
|
|
|
|
|||||
|
K1 |
|
M1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
Рис.115. Чертеж сферы
О – цетр сферы
ACBD – главный меридиан
A2C2B2D2 – фронтальная проекция меридиана – окружность
A1C1B1D1 – горизонтальная проекция меридиана
– прямая линия || Х. AFBE – экватор
A1F1B1E1 – горизонтальная проекция экватора – окружность
A2F2B2E2 – фронтальная проекция экватора – прямая линия || Х
К лежит на главном меридиане. М лежит на экваторе
На чертеже сфера задается своим центром и диаметром (рис. 115).
Тор
Тор образуется вращением окружности или дуги вокруг прямой оси, лежащей в плоскости окружности или дуги. В зависимости от положения оси различают три вида тора:
¾тор открытый (круговое кольцо) – образуется при вращении окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности за ее пределами (рис.116),
¾тор закрытый – образуется, когда ось вращения касается окружности и лежит в плоскости окружности (рис.117),
¾тор самопересекающийся – образуется, когда ось вращения пересекает окружность, лежит в плоскости окружности, но не проходит через центр окружности (вращение окружности вокруг хорды) (рис.118).
62
![](/html/2706/429/html_aM3YjrOXgp.H9YX/htmlconvd-oiUQ0764x1.jpg)
Х |
Х |
Рис. 116. Тор открытый |
|
|
|
|
Рис. 117. Тор закрытый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х
Рис.118. Тор самопересекающийся
63
![](/html/2706/429/html_aM3YjrOXgp.H9YX/htmlconvd-oiUQ0765x1.jpg)
Многогранники
К многогранникам относятся поверхности, образованные треугольниками, четырехугольниками и многоугольниками.
Пирамида
Пирамида – многогранник, боковая поверхность которого ограничена плоскостями треугольников, а в основании лежит n-угольник.
На чертеже пирамида задается проекциями основания и вершины. Усеченная пирамида задается проекциями верхнего и нижнего оснований.
Пирамиды могут быть прямые (рис.119) и наклонные (рис.120). В зависимости от числа боковых граней пирамиды могут быть трехгранными и многогранными.
S2 |
S2 |
|
A2 |
B2 |
C2 X |
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
|
|
|
C1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
C1 |
|
||||
|
A1 |
S1 |
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
B1 |
|
S1 |
|
|
|
|
|
Рис.120. Наклонная пирамида |
|||
|
Рис.119. Прямая пирамида |
|
|
|
На чертежах изображены прямая и наклонная трехгранные пирамиды SABC, которые заданы проекциями вершин S и проекциями оснований АВС.
S – вершина пирамид
SA, SB, SC – ребра пирамид
SAB, SBC, SAC – грани пирамид
Призма
Призмой называют многогранник, две грани которого (основания призмы), представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани – параллелограммы.
Призма называется прямой (рис.121), если ее ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием является прямоугольник, призму называют параллелепипед.
Если призма пересекает плоскость проекций, то линия пересечения призмы с плоскостью проекций называется следом призмы.
64
![](/html/2706/429/html_aM3YjrOXgp.H9YX/htmlconvd-oiUQ0766x1.jpg)
A12 |
B12 |
C12 |
|
|
A12 |
B12 C12 |
||
|
|
|
Н |
|
|
|
Н |
|
X |
A2 |
B2 |
C2 |
X |
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
C1≡C11 |
A1 |
|
C1 |
|||
|
|
|
|
|
||||
A1≡A11 |
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
B1 ≡B11 |
|
|
A11 |
C11 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
B11 |
|
Рис. 121. Прямая призма |
|
|
Рис.122. Наклонная призма |
Прямая и наклонная трехгранные призмы на чертеже заданы проекциями оснований (следов) и высотой Н.
AA1, BB1, CC1– ребра призм АВС – нижние основания призм А1В1С1 – верхние основания призм
AA1BB1, BB1CC1, AA1CC1 – грани призм
Пересечение поверхностей плоскостью
При пересечении поверхности плоскостью образуется плоская кривая или плоская ломаная линия.
Для построения этой линии необходимо найти точки, одновременно принадлежащие плоскости и поверхности. На линии пересечения различают характерные (опорные точки) и вспомогательные (промежуточные), которые позволяют выяснить окончательный характер линии пересечения.
Пересечения многогранников плоскостью
При пересечении многогранника плоскостью в сечении образуется плоская ломаная линия, состоящая из прямых элементов.
Характерными точками такой линии будут точки излома ее, которые находятся в местах пересечения ребер поверхности с секущей плоскостью. Вспомогательные точки в этом случае не определяются.
Для получения линии пересечения необходимо соединять прямыми линиями характерные точки, лежащие на одной грани поверхности.
65
![](/html/2706/429/html_aM3YjrOXgp.H9YX/htmlconvd-oiUQ0767x1.jpg)
Задача. Способом плоскопараллельного перемещения определить натуральную величину сечения трехгранной пирамиды SABC фронтальнопроецирующей плоскостью P, заданной своими следами. Определить видимость линий (рис.123).
РП2 S2
12 |
22 |
|
|
112 |
212 |
312 ≡ 412 |
|
|
|
||||
A2 |
B2 |
32 ≡ 42 |
C2 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
41 |
|
|
|
11 411 |
|
|
|
111 |
|
|
|
S1 |
|
C1 |
|
H.B. |
|
|
21 |
|
31 |
|
|
311 |
|
|
РП1 |
|
211 |
|
|
|
|
В1 |
|
|
|
|
Рис.123. Определение натуральной величины сечения пирамиды фронтально проеци- |
||||||
Решение: |
|
|
рующей плоскостью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Так как секущая плоскость фронтально-проецирующая, то фронтальная проекция линии пересечения будет находится на фронтальном следе секущей
плоскости в пределах пирамиды (12223242).
Точки пересечения ребер пирамиды с плоскостью Р 1, 2 и точки пересечения, лежащие на основании пирамиды 3, 4, будут характерными.
2.Находим горизонтальные проекции характерных точек; 11, 21, 31, 41 на соответствующих линиях пирамиды и, соединяя их между собой прямыми линиями, получим горизонтальную проекцию линии пересечения – четырех-
угольник11213141.
3. Способом плоскопараллельного перемещения определяем натуральную
величину сечения 111211312411:
а) располагаем фронтальную проекцию сечения – линию 112212312412 равную 12223242 параллельно оси проекции Х.
б) находим горизонтальную проекцию сечения после его перемещения - 111211311411. Эта проекция и будет являться натуральной величиной сечения.
4. Определяем видимость линий. На фронтальной проекции видимость остается без изменений, а на горизонтальной проекции видимой будет только та часть пирамиды, которая расположена над секущей плоскостью Р, т.е. часть пирамиды S1112131C141.
66
![](/html/2706/429/html_aM3YjrOXgp.H9YX/htmlconvd-oiUQ0768x1.jpg)
Задача. Заменой плоскостей проекций определить натуральную величину сечения поверхности прямой трехгранной призмы с основанием АВС плоскостью треугольника DEF. Определить видимость линий (рис.124).
42 |
F2 |
N2 |
32 |
E2 |
M2 |
12 |
22 |
||
|
|
К2 |
≡
=D2
П2 −
Х |
|
|
C2 |
B2 |
A2 |
|
|
|
|
||
П |
1 |
|
|
|
|
|
|
41 |
|
F1 |
|
E1 |
|
|
C1≡ M1 |
|
|
|
31 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
21 |
|
|
A1 |
≡N1 |
∫ |
≡
11 ∫∫∫ |
N3 |
B1≡K1 =
∫∫ |
M3 |
∫ N4 |
D1 |
K3 |
∫∫∫ |
|
П3 |
|
П1 П3 |
Х2 П4 ∫∫ |
Н.В. |
X1 |
|
|
K4 |
M4
Рис.124. Определние натуральной величины сечения поверхности призмы плоскостью треугольника
Решение:
1.Так как поверхность призмы является горизонтально-проецирующей, то
горизонтальная проекция линии пересечения треугольник M1N1K1 совпадает с горизонтальной проекцией призмы А1В1С1.
2.С помощью линий треугольника DEF (23 и К4) определяем фронтальные
проекции точек пересечения ребер призмы M2, N2, K2 с секущей плоскостью. Соединяя эти точки прямыми линиями, получаем фронтальную проекцию сечения – треугольник M2N2K2.
3.Определяем видимость линий с помощью конкурирующих точек.
4.Способом замены плоскости проекций П2 на П3 сечение преобразуем во фронтално-проецирующую плоскость M3N3K3, которая выразится в виде прямой линии (K3M3N3). Второй заменой плоскости проекций П1 на П4 сечение
67
преобразуем в горизонтальную плоскость M4N4K4, которая будет являться натуральной величиной.
Примечание: ось проекций Х1 при первой замене проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали сечения (Х1 M111), а при второй замене ось проекций Х2 проводится параллельно M3N3K3.
Пересечение поверхности плоскостью
Линия пересечения кривой поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую, которая может распадаться и на прямые линии, в случае пересечения плоскости с линейчатой поверхностью, по ее образующим. Построение этой линии производят по ее отдельным точкам. Среди этих точек выделяются экстремальные точки и точки видимости. Экстремальными точками являются высшая и низшая точки линии сечения, а также самая близкая, самая дальняя, самая левая и самая правая точки сечения (по отношению к наблюдателю, стоящему лицом к плоскости проекций П2).
Точками видимости являются точки, которые расположены на контурной линии поверхности. Точки видимости разграничивают линию пересечения на видимую и невидимую части.
Экстремальные точки и точки видимости относятся к числу опорных точек. Остальные точки называются случайными.
Построение линии пересечения всегда начинается с определения экстремальных точек и точек видимости линии пересечения, а уже затем строятся случайные точки.
Основным способом построения линии пересечения поверхности с плоскостью является способ вспомогательных секущих плоскостей – обычно проецирующих. Каждая из секущих плоскостей пересекает поверхность по некоторой линии, а данную плоскость – по прямой. И там, где эти линии пересекаются между собой, содержатся общие точки для данной поверхности и плоскости, т.е. точки принадлежащие линии пересечения.
Вспомогательная секущая плоскость выбирается так, чтобы она пересекала поверхности по графически простым линиям, т.е. прямым или окружностям.
68
![](/html/2706/429/html_aM3YjrOXgp.H9YX/htmlconvd-oiUQ0770x1.jpg)
|
|
|
|
Конические сечения |
|
|
|||
При пересечении такого конуса плоскостью образуются следующие линии |
|||||||||
1. Окружность – секу- |
2. Эллипс – секущая |
3. Парабола – секущая |
|||||||
щая плоскость перпен- |
плоскость пересекает |
плоскость пересекает конус |
|||||||
дикулярна оси вращения все образующие |
параллельно одной |
||||||||
конуса. |
S2 |
|
|
конуса. |
S2 |
образующей SK. |
|||
|
|
|
|
|
|
S2 |
РП2 |
||
|
|
|
|
|
|
PП2 |
|
|
А2 |
РП2 |
|
|
|
|
|
В2 |
|
|
|
|
R |
|
|
A2 |
С2≡D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
К2 |
|
|
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
B2≡ C2 |
|
|
|
R |
|
|
|
A1 |
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
||
|
S1 |
|
|
|
D1 |
S1 |
К1 |
S1 |
A1 |
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
Рис. 125. Окружность |
|
Рис.126. Эллипс |
Рис.127. Парабола |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
4. Гипербола – секущая плоскость |
5. Две прямые (образующие) – секущая |
||||||||
пересекает конус параллельно |
плоскость проходит через вершину |
||||||||
двум образующим SK и SL. |
|
конуса. |
|
РП2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
S2 |
РП2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
B2≡C2 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
A2≡B2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
K2≡L2 |
B1 |
|
|
|
A1 |
|
|
||
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
S1 |
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L1 |
C1 |
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 128. Гипербола |
|
Рис.129. Две прямые (образующие) |
||||||
|
|
|
|
|
|
69 |
|
|
|