![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
umm_2001
.pdf![](/html/2706/429/html_0D8sD2gsKP.srg3/htmlconvd-MU7u6d51x1.jpg)
|
β |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
′ |
′ |
|
′ |
dt , |
|||
∫ f (x; y; z)dl = ∫ f (x(t); y(t); z(t)) (x (t)) |
|
+(y (t)) |
|
+(z (t)) |
|
|||
AB |
α |
|
|
|
|
|
|
|
где f (x; y; z) – |
непрерывная функция вдоль кривой АВ, |
а функции x = x(t) , |
||||||
y = y(t) , z = z(t) |
– непрерывно дифференцируемые функции на некотором от- |
|||||||
резке [α,β]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Если кривая АВ задана в явном виде уравнением y = φ(x), x [a;b], где
φ(x) – непрерывно дифференцируемая функция, тогда
∫ f (x; y)dl = ∫b |
f (x;φ(x)) 1+ ( y′x )2 dx . |
|
AB |
a |
|
С помощью криволинейного интеграла I рода можно вычислить длину l
кривой АВ плоской или пространственной линии по формуле l = ∫ dl .
AB
Пример 1
Вычислите криволинейный интеграл ∫xy2dl , где L – отрезок прямой
L
между точками О(0;0) и A(4;3).
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение прямой ОА есть |
|
y −0 |
|
= |
x −0 |
или |
y = 3 x, |
|
0 ≤ x ≤ 4 . Вычис- |
||||||||||||||||||
|
3 −0 |
4 −0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
′ 2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|||
лим значение выражения |
1+ ( y′x ) |
2 |
= |
1 |
+ |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
4 |
x |
1+ |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда интеграл равен ∫xy2dl = ∫4 |
x ( 3 x)2 |
5 dx = |
45 |
∫4 |
x3dx = |
45 x4 |
|
|
04 = 45. |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
L |
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
64 |
0 |
|
|
|
|
64 4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислите криволинейный интеграл I рода |
∫(5z − 2 |
|
x2 + y2 )dl , где L – |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дуга кривой, |
которая |
задана параметрическими |
уравнениями |
|
|
x =t cost , |
|||||||||||||||||||||
y =t sin t , z =t , |
0 ≤t ≤ π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
![](/html/2706/429/html_0D8sD2gsKP.srg3/htmlconvd-MU7u6d52x1.jpg)
dl =
=
=
Решение
Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t:
5z − 2 x2 + y2 =5t − 2 |
t2 (cos2 t +sin2 t) = 3t , так как t > 0 . |
Выразим дифференциал dl через t: |
|
(x′)2 +(y′)2 +(z′)2 dt = |
(cost −t sin t )2 +(sin t +t cost )2 +1 dt = |
(cos2 t − 2t sin t cost +t2 sin2 t )+(sin2 t + 2t sin t cost +t2 cos2 t )+1 dt =
(cos2 t +sin2 t )+t2 (sin2 t + cos2 t )+1 dt = |
2 +t2 dt. |
||
Вычислим криволинейный интеграл I рода: |
|||
|
π |
π |
|
∫(5z − 2 x2 + y2 dl = ∫3t 2 + t2 dt = ∫ 3 |
2 + t2 d (2 + t2 ) = (2 + t2 ) 0π = |
||
L |
0 |
0 2 |
|
= (2 + π2 )3 − 2
2 .
6. Криволинейный интеграл II рода
Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая АВ и в каждой точке дуги определена вектор-функция fr = P(x, y)ri +Q(x, y)rj , т. е. в каждой точке этой дуги определены функции P(x; y) и Q(x; y) . Разобьем эту дугу на n эле-
ментарных дуг точками A = M0 , M1, M2 ,..., Mn = B . Выберем на каждой из дуг произвольную точку M i (αi ;βi ) и найдем значения функций в этой точке
P(αi ;βi ) и Q(αi ;βi ) .
|
n |
Составим |
интегральную сумму ∑[P(αi ;βi ) xi +Q(αi ;βi ) yi ], где |
|
i=1 |
xi = xi − xi−1 , |
yi = yi − yi−1 . Если существует предел интегральной суммы при |
условии, что длины всех элементарных дуг стремятся к нулю и этот предел не зависит ни от способа разбиения дуги АВ на элементарные дуги, ни от способа выбора точек Mi на каждой из них, то он называется криволинейным интегралом
52
![](/html/2706/429/html_0D8sD2gsKP.srg3/htmlconvd-MU7u6d53x1.jpg)
от функцииurf = P(x, y)ri +Q(x, y)rj по координатам x и y дуги АВ в направлении
от точки А к точке В или криволинейным интегралом II рода |
|
||||||
|
|
|
r |
uur |
|
r |
|
|
∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫ f |
ds , |
где ds = dx i + dy j . |
|
|||
|
AB |
|
AB |
|
|
|
|
|
Пусть в некоторой области трехмерного пространства задана непрерыв- |
||||||
ная |
кривая |
L |
(дуга |
АВ) |
и |
вектор-функция |
|
ur |
r |
|
r |
r |
|
|
|
Ф = P(x; y; z)i +Q(x; y; z) j + R(x; y; z)k , определенная в каждой точке данной
кривой. Разобьем дугу АВ на n элементарных дуг, на каждой из которых выберем произвольную точкуМi (αi ;βi ; γi ) (см. рис. 14).
Рис. 14. Разбиение кривой интегрирования АВ на элементарные дуги
Составим интегральную сумму:
n
∑[P(αi ;βi ; γi ) xi +Q(αi ;βi ;γi ) yi + R(α ;βi ;γi ) zi ].
i=1
Если существует предел этой интегральной суммы при условии, что длины всех элементарных дуг стремятся к нулю и этот предел не зависит ни от способа разбиения дуги АВ на элементарные дуги, ни от способа выбора точек
Mi на каждой из них, то он называется криволинейным интегралом от функ-
ur |
r |
r |
r |
по координатам x, y, z дуги АВ в |
ции Ф = P(x; y; z)i |
+Q(x; y; z) j + R(x; y; z)k |
направлении от точки А к точке В или криволинейным интегралом II рода
и обозначается
∫ |
P(x; y; z)dx +Q(x; y; z)dy + R(x; y; z)dz = ∫ |
r |
uur |
Ф(x; y; z)ds . |
|||
AB |
AB |
|
|
53
Если кривая АВ гладкая, а функции Р(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) непрерывные на кривой АВ, то криволинейный интеграл II рода существует. Отметим некоторые свойства криволинейного интеграла II рода:
1. При изменении направления интегрирования интеграл изменяет свой
знак на противоположный ∫ Pdx +Qdy = −∫ Pdx +Qdy .
АВ ВА
2. Если кривая АВ разбита точкой С на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям
∫ Pdx +Qdy = ∫ Pdx +Qdy + ∫ Pdx +Qdy .
АВ |
АС |
СВ |
3. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления.
Рассмотрим два случая вычисления криволинейного интеграла II рода. Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) ,
где α ≤t ≤β, то криволинейный интеграл II рода определяется по формуле
∫ |
β |
|
′ |
′ |
|
P(x; y)dx +Q(x; y)dy = ∫(P(x(t); y(t))x (t) +Q(x(t); y(t)) y (t))dt . |
||
AB |
α |
|
Если кривая АВ задана уравнением y = φ(x), x [a,b], где функция φ(x) и |
′ |
непрерывны на отрезке [a,b], то криволинейный интеграл |
ее производная φ (x) |
|
II рода определяется по формуле |
|
|
b |
|
′ |
∫(P(x; y)dx +Q(x; y)dy) = ∫(P(x;φ(x)) +Q(x;φ(x))φ (x))dx . |
|
AB |
a |
Криволинейный интеграл II рода позволяет вычислить работу А пере- |
|
ur |
ur |
менной силы F(P(x, y);Q(x, y)) или Ф(P(x; y; z),Q(x; y; z), R(x; y; z)) на криволи-
нейном участке АВ соответственно по формулам
|
A = ∫ |
ur |
uur |
|
F |
(x; y)ds = ∫ P(x; y)dx +Q(x; y)dy или |
|
|
AB |
|
AB |
A = ∫ |
ur |
uur |
|
Ф(x; y; z)ds = ∫ P(x; y; z)dx +Q(x; y; z)dy + R(x; y; z)dz . |
|||
AB |
|
|
AB |
54
![](/html/2706/429/html_0D8sD2gsKP.srg3/htmlconvd-MU7u6d55x1.jpg)
Пример 1
Вычислите криволинейный интеграл II рода ∫(x − y)2 dx + (x + y)2 dy , где
L
L – ломаная ОАВ, имеющая следующие координаты точек О(0,0), А(2,0), В(4,2).
Решение
Ломаную ОАВ можно представить как сумму двух отрезков ОА и АВ, следовательно, криволинейный интеграл II рода вдоль нее есть сумма криволи-
нейных интегралов вдоль отмеченных выше отрезков ∫ |
= ∫ |
+ ∫ (см. рис.15). |
L |
OA |
AB |
Рис.15. Кривая интегрирования ОАВ
Составим уравнения отрезков ОА и АВ соответственно: y = 0, 0 ≤ x ≤ 2 и
x −2 |
= |
y −0 |
y = x − 2, 2 ≤ x ≤ 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 −0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Вычислим криволинейный интеграл II рода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∫(x − y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
dx + (x + y) |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
+(2x − 2) |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
dy = ∫ (x −0) |
|
+ 0 dx +∫ |
2 |
|
|
1 dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x3 |
|
|
2 |
+ 4x |
|
4 |
+ |
1 |
|
(2x −2)3 |
|
4 |
= |
8 |
+ |
(16 − |
8) + |
1 |
(216 −8) = |
136 |
= 25 |
1 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
0 |
|
2 |
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
3 |
6 |
3 |
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Пример 2 |
|
|
|
|
|
|
|
ur |
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (x2 |
|
|
|
|
|
вдоль отрезка прямой |
||||||||||||
|
Найти работу силы F |
= y2 i |
+ z) j |
+ (x + y + z)k |
в пространстве от точки А(1;0;2) до точки В(3;1;4).
55
![](/html/2706/429/html_0D8sD2gsKP.srg3/htmlconvd-MU7u6d56x1.jpg)
Решение
Составим канонические уравнения прямой, проходящей через точки А и В: 3x −−11 = 1y−−00 = 4z −−22 x 2−1 = 1y = z −2 2 =t , которые позволяют перейти к параметрической форме x = 2t +1, y =t, z = 2t + 2 .
Определим дифференциалы функций x = x(t), y = y(t) , z = z(t) : dx = 2dt, dy = dt, dz = 2dt .
Установим интервал изменения параметра t :
x=1 1 = 2t +1 t1 = 0 ,
x=3 3 = 2t +1 t2 =1.
Найдем работу переменной силы вдоль отрезка прямой
|
|
2 |
dx + (x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = ∫ y |
|
|
+ z)dy + (x + y + z)dz |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
2 |
2 + ((2t +1) |
2 |
+ (2t + 2)) 1+ (2t +1+t |
+ 2t + |
|
|
|||||||||||||
(t) |
|
|
|
2) 2 dt = |
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫1 |
(14 t |
2 + 28 t +13) dt =14 t3 |
|
1 |
+ |
28 t2 |
|
+13 t |
|
1 |
= |
95 |
=31 |
2 . |
||||||||
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
0 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для контрольной работы № 9
441 – 455. С помощью двойного интеграла вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Сделайте чертеж.
441. |
y = x2 , |
x = y2 . |
|||
442. |
y = |
x2 |
, |
y = 4 |
− 2 x2 . |
|
|||||
|
3 |
|
|
3 |
|
443. |
y = 2x − x2 , |
y = x2 . |
|||
444. |
y = x2 −3x, y = 4 −3x . |
||||
445. |
2 y = x2 , |
x = y . |
56
446. |
y =3 − x2 , y =1− x . |
447. |
4 y = x2 − 4x, x − y −3 = 0 . |
448.y = 4 − x2 , y = x2 − 2x .
449.y = x2 , y =5x2 −4 .
450.y = (x −1)2 , y2 = x −1.
451 – 460. Вычислите с помощью двойного интеграла в полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в декартовых координатах. Сделайте чертеж.
451.(x2 + y2 )2 = 2xy .
452.(x2 + y2 )3 = (x2 − y2 )2 .
453.(x2 + y2 )2 + 2xy = (x2 + y2 ).
454.(x2 + y2 )3 = (x4 − y4 ) .
455.(x2 + y2 )3 = 4xy(x2 − y2 ).
456.(x2 + y2 )3 =16x2 .
457.(x2 + y2 )3 =81x4 .
458.(x2 + y2 )2 = 2xy .
459.(x2 + y2 )3 =16 y2 .
460.(x2 + y2 )3 = x2 y2 .
461 – 470. Вычислите с помощью двойного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями. Сделайте чертеж.
461. |
z = x2 |
+ y2 , |
x = 0, |
y = 0, |
z = 0, x + y =1. |
||
462. |
z = x2 |
+ y2 , |
z = 0, |
y =1, |
y = 2x, y = 6 − x . |
||
463. |
z = x2 |
+ y2 |
, |
y = x2 , |
y =1, |
z = 0 . |
|
464. |
z = 64 − x2 |
− y2 , |
z = 0 . |
|
|||
465. |
z = x2 |
+ y2 |
+ 4, |
z =8. |
|
||
466. |
x + y + z = 6, |
x = 0, |
z = 0, |
x + 2 y = 4 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
57 |
![](/html/2706/429/html_0D8sD2gsKP.srg3/htmlconvd-MU7u6d58x1.jpg)
467. |
x − y + z = 6, |
x + y = 2, |
x = y, |
y = 0, |
z = 0 . |
||||||||
468. |
x + y + z = 6, |
x = y, |
y = 0, x =3, |
z = 0 . |
|||||||||
469. |
3x + y = 6, 3x + 2 y =12, |
x + y + z = 6, |
y = 0, z = 0 . |
||||||||||
470. |
z = 0, |
x = 0, |
y = 2, |
y = x − 2, z = 4 − y2 . |
|||||||||
471 – 480. Вычислите криволинейный интеграл I рода. |
|||||||||||||
471. |
∫(x2 + y2 )dl , где L – отрезок прямой y |
= 1 x − 2 , соединяющий точки |
|||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
А(0; –2) и В(4;0). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
472. |
∫xdl , где L – дуга параболы |
y = 1 x2 , соединяющая точки А(0; 0) и |
|||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
В(2;2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
473. |
∫ |
y2 |
dl , где L – дуга параболы y2 = 2x , соединяющая точки А(1; 2 ) |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
L |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
и В(2;2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
474. |
∫ |
dl |
|
, где L – отрезок прямой y = |
1 x −2 , соединяющий точки А(0; |
||||||||
x − y |
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
–2) и В(4;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
475. |
∫x2dl , |
где L – дуга кривой |
y = ln x , |
соединяющая точки А(1,0) и |
|||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В(3,ln 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
476. |
∫ |
x2 + y2 dl , где L – дуга кривой, заданной параметрическими урав- |
|||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нениями x = cost +t sin t, y = sin t −t cost, 0 ≤ t ≤ 2π. |
|
||||||||||||
477. |
∫(x2 + y2 )2 dl , где L – дуга окружности x = 2cost и y = 2sin t , распо- |
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ложенная в первой координатной четверти. |
|
|
|||||||||||
478. |
∫xydl , где L – дуга эллипса |
x = cost |
и y =3sin t , расположенная в |
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первой координатной четверти.
58
479. |
∫(x2 + y2 )3 dl , где L – дуга окружности x = cost и y =sin t , располо- |
|
L |
женная в первой координатной четверти. |
|
480. |
∫xydl , где L – дуга эллипса x = 4cost и y =sin t , расположенная в |
|
L |
первой координатной четверти.
481 – 490. Вычислите криволинейный интеграл II рода.
481. ∫x2 ydx + xy2dy , где L – кривая, заданная параметрическими уравне-
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ниями x =t, y =t3 , 0 ≤t ≤1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
482. |
∫(x + y)dx +(x − y)dy , где L – часть окружности, заданная парамет- |
|||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
рическими уравнениями x = 2cost, y = 2sin t, 0 ≤t ≤ π / 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
483. |
∫(x2 − y2 )dx +(x2 + y2 )dy , где L – эллипс, заданный параметриче- |
|||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
скими уравнениями x = cost, y = 2sin t, 0 ≤t ≤ π / 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
484. |
∫ |
|
−y2 |
|
|
|
dx + |
x2 |
|
|
dy , где L – дуга кривой x = cos |
3 |
t , y =sin |
3 |
t от |
|||||
5 |
5 |
|
5 |
5 |
|
|
||||||||||||||
|
L x3 + y3 |
x3 + y3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
точки (1;0) до точки (0;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
485. |
∫L |
y2 |
|
|
dx + |
|
−x2 |
|
dy , где L – полуокружность |
x = cost , |
y =sin t |
|||||||||
x2 + y2 |
x2 + y2 |
|||||||||||||||||||
от t1 = 0 до t2 = π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
486. |
∫L |
|
|
y |
|
dx + |
|
|
x |
dy , где L – отрезок прямой y |
= x , где 1 ≤ x ≤ 2 . |
|||||||||
x2 + y2 |
|
x2 + y2 |
||||||||||||||||||
487. |
∫(−xcos y)dx + ysin xdy , где L – отрезок прямой от точки (0;0) до |
|||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точки (π;2π ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
488. |
∫(x2 + y2 )dx + xydy , где L – дуга кривой y = ex от точки (0;1) до точ- |
|||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки (1;е).
59
489. ∫(x3 − y2 )dx + xydy , где L – дуга кривой y = 2x от точки (0;1) до точ-
L
ки (1; 2).
490. ∫xydx +( y − x)dy , где L – дуга кривой y2 = x от точки (0;0) до точки
L
(1;1).
Вопросы к экзамену
1.Понятие функции двух переменных, ее область определения, график функции, линии уровня.
2.Определение частных производных первого порядка функции двух переменных.
3.Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
4.Понятие производной по направлению и градиента, формулы для их вычисления.
5.Экстремум функции двух переменных, необходимые и достаточные условия экстремума.
6.Понятие ряда, числовые и степенные ряды. Сходимость ряда, необходимый признак сходимости.
7.Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости.
8.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
9.Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Определение и методы ее нахождения.
10.Ряд Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов при решении дифференциальных уравнений и вычислении определенных интегралов.
11.Понятие двойного интеграла и методы его вычисления.
12.Геометрические приложения двойного интеграла.
13.Понятие криволинейного интеграла I рода и методы его вычисления.
14.Понятие криволинейного интеграла II рода и методы его вычисления.
15.Приложения криволинейного интеграла I рода.
60