Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist
.pdfРис. 3.6. Алгоритм поиска неподвижной точки
Паутинная диаграмма строится так: начинаем в точке (xo,a;i), перемещаемся в точку (ii,zi), затем в (хь^г) и т. д. Вообще, на кадом шаге перемещаемся из точки (xn_i,xn) в (хп,хп), а затем в {хп,хп+\)- Отображая эти шаги на экране, получаем графическое представление процесса сходимости при п —• сю.
Алгоритм 3.3.1. (ПАУТИННАЯ ДИАГРАММА)
Назначение: строит паутинную диаграмму для функции у = f(x), i<x<b.
Вход:
а (левая граница) Ь (правая граница)
хо (начальная точка) iter (число итераций)
Знешняя функция:
('& • Iлава 3 I множества и отооражения
Выход:
графическое окно с паутинной диаграммой для функции у = f(x).
Инициализация:
графический экран с окном [a,b] x [а, Ь].
Шаги:
построить график у = /(ж),а < х < b
построить график у = х, а<х<Ь
*(1) = /(*„)
провести линию из точки (XQ,X(1)) В точку (ж(1),ж(1)) for n = 2 to n = г£ег
х(п) = /(ж(п - 1))
провести линию из (х(п — 1),ж(п - 1)) в (х(п — 1),х(п))
провести линию из (х(п — 1),х(п)) в (х(п),х(п)) end for
Конечно, наглядное представление возможно только в частном случае действительной функции. Тем не менее, в точности те же аналитические результаты замечательным образом сохраняются и для любого сжимающего отображения, определенного на полном метрическом пространстве.
Лемма 3.3.1. Пусть (X,d) — метрическое пространство, Т : X—* X — сжимающее отображение с коэффициентом сжатия s, причем 0 < s < I, XQ E X — произвольная начальная точка, Xk = _i), к = 1,2,3,... Тогдадля всех к имеет место неравенство:
d ( ) |
(3.9) |
1 —s
Доказательство. Многократно применяя неравенство треу-
гольника, получим: |
|
|
|
d(xQ, хк) < d(xQ, xi) + d(xi, x2) + d(x2, x3) H |
h d(xk-i,xk). |
||
Для каждого члена d(xt,xl+i) |
в правой части имеем: |
||
d(xt,xt+1) |
= |
d(T(xt-i),T(xt)) |
|
<sd(xt-i,xt)
|
3.3 Сжимающие отображения• 73 |
||
Подставим этиоценки в правую часть неравенства: |
|
||
d(xo,xk) < |
d(xQ,xi) + sd(xo,xi) |
+ s2d(xo,xi)-\ |
h slc~1d(x0,Xi) |
= |
d(xo,xi)(l+s + s2 |
H + sk~1) |
|
=d(xo,xi)1-s
Следующая теорема использует условие полноты метрического пространства (X, d). Это понятие подробно изложено в прил. А.1. Пока же ограничимся достаточным условием полноты, а именно, если X совпадает с Rn или его замкнутым подмножеством и d — евклидова метрика, то (X,d) — полное метрическое пространство.
Теорема 3.3.3. Пусть (X,d) — полное метрическое пространство, Т : X —> X — сжимающее отображение.Тогда отображение Т(х) имеет в точности одну неподвижную точку, то есть существует такая точка xj € X, что:
T(xf) = xf. Кроме того, метод итераций:
где хо — произвольная точка из X, сходится к неподвижной точке Xf. Toесть:
xf = lim xn. |
(3.10) |
п—+оо |
|
• Доказательство. Единственность. Докажем сначала, что если неподвижная точка существует, то она единственна. Пусть s — коэффициент сжатия Т(х). Если Т(х)имеет двенеподвижные точки, xh nxh, то:
d(xh,xh) = d(T(xh),T(xh)) < sd(xfl,xh).
Так какs < 1, неравенство выполняется только при xjx = Xf2. Существованиеи сходимость. Эта часть доказательства исполь-
зует критерий Коши сходимости последовательностей в полныхметрических пространствах (см. прил. А.1). Именно, последовательность {хп}^=1 сходится к пределу х € X в полном метрическом пространстве (X,d) тогда и только тогда, когда:
74 |
• Глава3 / Множества и отображения |
|
||
|
для каждого е > 0 существует такой номер N (зависящий от |
|||
|
г), что при п,т> |
N выполняется неравенство d(xn,xm) |
< e. |
|
Заметим, что: |
|
|
|
|
|
d(xm,xn) |
< smd(x0,xn-m), |
при п>т, |
(3.11) |
так |
как |
|
|
|
d(xm,xn) = d(T(xm-i),T(xn-i))
<sd(xm-i,xn-i)
Из неравенств (3.11) и(3.9)следует: |
|
||
d(xm,xn) < |
sm |
d(xo,xi), |
при п>т. |
|
1 — s |
|
|
Зафиксируем е > 0. Выберем номер N, удовлетворяющий условию: |
|||
sm |
|
|
|
1 —sd(xo,xi) <e, |
m>N. |
||
Это можно сделать всегда, так как s < |
1, а значит sm —> 0 при |
||
т —*оо. Таким образом, критерий Коши выполняется и предел
lim xn
п—юо
существует в полном метрическом пространстве (X, d). Обозначим его через xj. Так как Г непрерывно, то учитывая (3.7) имеем:
Т(хЛ = Т( lim хп) = lim Т{хп) = lim хп+1 = xf.
Следовательно, предел х/ из (3.10) действительно является неподвижной точкой Т. Тем самым теорема доказана. •
Стоит еще раз отметить тот замечательный факт, что согласно доказанной теореме, последовательность {xn}%Li сходится к единственной неподвижной точке х/ независимо от выбора начальной точки XQ € X.
3.3 Сжимающие отображения • 75
Упражнения 3.3.
1.Пусть f(x) — дифференцируемое действительное отображение, причем \f'(x)\ < s < оо длявсех х € R. Показать, чтоf(x) есть отображение Липшица с постоянной s такой, что:
для всех х\, xi € R.
2.Пусть f(x) =cos(ar) наотрезке [0,тг/2].
а) Показать, что f(x) есть отображение Липшица с постоянной1, а значит не является сжимающим отображением на указанном интервале.
б) Показать, что длялюбого а, удовлетворяющего неравенству
О < а < 7г/2, f(x) — сжимающее отображение на[0, а].
3.Пусть f(x) непрерывна на отрезке [о,Ь] иа < f(x) < b].Используя теорему о среднем значении, доказать, чтоf(x) имеет неподвижную точку на [а,Ь]. Указание: рассмотреть д(х) = f(x) — х.
4.Используя доказательство теоремы осжимающих отображениях, вывести выражение для оценки погрешности после п итераций:
d(xn,xf) < |
d(xo,xi). |
X |
S |
5.Применим теорему о сжимающих отображениях к ограниченному метрическому пространству X. Показать, что выражение для оценки погрешности после п итераций выглядит следующим образом:
d(xn,xf)<sn6(X),
где 6(Х) — диаметр X.
6.Доказать теорему о сходимости метода Ньютона нахождения нуля /(ж). Пусть /(с) = 0 и /'(с) ф 0. Предположим, что f(x) дважды непрерывно дифференцируема на некотором открытом интервале, содержащем с. Пусть Хо — начальное приближениек точке с. Положим:
хп+\ —хп- " , п = 0,1,2,3,...
7 b • Глава 3 / Множества и отображения
Тогда существует такой интервал, содержащий с, что если XQ принадлежит этому интервалу, то:
lim xn = с.
п—>оо
Указание: Применить теорему о сжимающих отображениях к g{x)=x-f{x)/f(x).
7. Пусть (Xi,di) и (Хг,^) — метрические пространства. Рассмотрим сжимающие отображения
и
/2 :Хг —> Х2
с коэффициентами сжатия S\ и S2, соответственно. Определим X = Xi х Х2 и dна X следующим образом:
Определим / на X: f(x, у) = (/i(ar),/2(y)).
а) Доказать, что (X,d) — метрическое пространство.
б) Доказать, что / — сжимающее отображение скоэффициентом сжатия s = max{si,S2}.
3.4. Аффинные преобразования
Линейное преобразование вместе споследующим преобразованием сдвига составляют аффинноепреобразование пространства Rn . Несмотря на то, что впримерах мыограничимся преобразованиями на плоскости, то есть из R в R ,всерезультаты легко обобщаются на случай n-мерного пространства.
Отображение L называется линейным преобразованием пространства Rn впространство R m , если:
ЦАх + цу) = AL(x)+ нЦу) |
(3.12) |
для всех х, у G Rnипроизвольных скаляров А,/х. Примерлинейного преобразования плоскости:
i -4хг), xi,x2 € R.
|
|
3.4 Аффинные преобразования |
• 77 |
|
Матричная запись этого преобразования: |
|
|||
w F a r i L |
[ 2 |
31 |
|
|
служит примером следующей теоремы. |
|
|||
Теорема 3.4.4. Пусть L — линейное преобразование из R n |
в R m . |
|||
Тогда существует такая матрица А размера т х п, что: |
|
|||
|
L(x) = Ах, |
х € Rn . |
(3.13) |
|
Доказательство. |
Рассмотрим стандартный базис в Rn : |
|
||
• 1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
, е2 = |
0 |
|
(3.14) |
0 |
|
0 |
|
|
и вектор х € Rn : |
|
|
|
|
|
|
|
XI |
|
X ^
Тогда
х = ariei + ж2е2 Ч \- хпеп,
и с использованием условия линейности (3.12) получим:
L(x) = X\L(e{) + X2L(e2) 4 |
h xnL(en). |
Векторы L(e\), //(ег),...,L(en) представляют собой столбцы размера т х 1, так как область значений L есть пространство R m . Составим из этих столбцов т х n-матрицу А. Раскрывая матричное произведение:
Ах = \Цех) Це2) ...
убеждаемся в том, что L(x) = Ах.
78 • Глава 3 / Множества и отображения
Рис. 3.7. Сдвиг Г(х) = х + а
Основное свойство линейного преобразования заключается в том, что оно переводит отрезки в отрезки. Чтобы удостовериться в этом, рассмотрим векторнозначную функцию:
S(t) = ty + (1 - *)х, |
0 < t < 1, |
которая пробегает отрезок от х до у. Пусть L — линейное преобразование. По определению линейного преобразования:
Следовательно, L преобразует отрезок [х,у] в отрезок [Z(x),Z,(y)]. Более того, левая часть оригинала [х, у] отображается в левую часть изображения [Z,(x),£(y)]. Суммируя все это, заключаем, что линейное преобразование плоскости L отображает треугольную область с вершинами х, у и z на треугольную область с вершинами -L(x), L(y) и -L(z), причем внутренность первого треугольника отображается на внутренность второго. Другие свойства линейного преобразования вынесены в упражнения.
Отображение Г называется преобразованием сдвигапространства
R n (рис. 3.7), если: |
|
Г(х) = х + а, |
х е Rn , |
где а — постоянный вектор. Эффект применения Т к произвольной кофигурации из Rn заключается в сдвиге всей конфигурации на вектор а.
3.4 Аффинные преобразования |
79 |
Рис. 3.8. Аффинные преобразования для ковра Серпинского
Таким образом, любое аффинное преобразование Т пространства Rn можно представить вматричной форме:
Т(х) =Ах + а, х € Rn,
В случае R 2 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
Г( |
) = |
ai |
Hi |
|
7i |
(3.15) |
|
OL2 |
fa |
X2 |
72 |
||||
|
|
|
Мы будем пользоваться аффинными преобразованиями при построении фракталов с помощью алгоритмов систем итерированных функций (глава 4). Аффинные преобразования для ковра Серпинского показаны на рис. 3.8. Вматричной форме они имеют следующий вид:
|
Xl |
\ |
|
1/2 |
0 |
Xl |
|
0 |
|
X2 |
) |
— |
0 |
1/2 |
X2 |
|
|
|
Xl |
' |
|
1/2 |
0 |
Xl |
|
"1/2" |
|
X2 |
|
|
0 |
1/2 |
X2 |
|
0 |
Ы |
Xl |
|
|
1/2 |
0 |
Xl |
' |
' 1/4 1 |
X2 |
) |
— |
0 |
1/2 |
X2 |
+ |
VS/4 |
Изометрия. Очевидно, такие преобразования, как сдвиг, поворот и отражение относительно оси, сохраняют расстояния. Все они есть
частный случай изометприи. Формально, преобразование Т : Rn —• Rn называется изометприей (в евклидовой метрике), если:
||Г(х)-Г(у)||2 = ||х- |
x,y€Rn. |
80 • Глава 3 I Множества и отображения
Как мы убедимся позднее, изометрия пространства Rn в действительности всегда является аффинным отображением, хотя это и не следует впрямую из приведенного определения.
Напомним, что скалярное произведение двух векторов х, у € Rn задается следующим образом (п. 3.1):
п
(х,у) =хх т у =
1=1
и что ненулевые векторы х и у перпендикулярны, или ортогональны, тогда и только тогда, когда (х, у) = 0. Набор из п попарно ортогональных векторов единичной длины называется ортонормированным базисом. Ясно, что столбцы квадратной матрицы Q порядка п образуют ортонормированный базис, если:
QTQ = QQT = I,
где / — единичная матрица порядка п {I3k = 1 при j = к, Ijk —О П РИ j Ф к). Матрица Q называется ортогональной матрицей.
Лемма 3.4.2. Если 0 — неподвижная точка изометрии Т пространства R n (Т(0) = О), mo T сохраняет скалярное произведение:
(Г(х),Г(у)) = (х,у), x , y € R n .
Доказательство. Из определения изометрии и выражения (3.2)
следует: |
|
(Т(х),Г(у)) = |(||Г(х) - Г(0)||2 + ||Г(у) - Т(0)\\1 - |
* |
Теорема 3.4.5. Изометрия Т : Rn —> R n |
является аффинным |
преобразованием и может быть представленав виде: |
|
T(x) = Qx + b, |
(3.16) |
где Q — ортогональнаяматрица, Ъ —вектор-столбец.