lineynaya_algebra_Yudina
.pdf
|
|
|
|
Частные случаи общего уравнения плоскости |
|
|
ка |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем общее уравнение плоскости Аx+By+Cz+D=0 в зависимости от |
||||||||||||||||
коэффициентов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
||||
I. Если А,В,С≠0, то плоскость называется общего положения (см.рис.1.2) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
о |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. 1) Если D=0, Аx+By+Cz=0; x=y=z=0 – т.е. точка О(0;0;0) начало координат |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
начало координат; |
||||
принадлежит плоскости, т.е. плоскость проходит черезл |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
(см.рис.1.3) |
||
2) Если С=0, Аx+By+D=0; =(A,B,0); ┴OZ; плоскость |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
н |
н |
ая |
┴OY, а плоскость |
|
OY (см.рис.1.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) Если B=0, =(A,0,C); Аx+Cz+D=0; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
┴OX, а плоскость |
|
OX (см.рис.1.5) |
|||||
4) Если А=0, =(0,B,C); Аx+Cz+D=0; |
|
||||||||||||||||
|
|
е |
к |
т |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
┴OZ; OZ . Плоскость проходит через |
|||||||||
III. 1) C=D=0; =(A,B,0); Аx+By=0; |
|||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
ось OZ, (см.рис.1.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) D=B=0; Ax+Cz=0; ┴OY; OY |
(см.рис.1.7). Плоскость проходит через |
||||||||||||||||
ось OY. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
е |
ка |
3) A=D=0; =(0,B,C); By+Cz=0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
┴OX; OX . Плоскость проходит через ось |
|||||||||||||||||||||
OX, (см.рис.1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
т |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
IV. A=B=0; =(0,0,C); Cz+D=0; |
OZ; OY; z= - |
|
. |
л |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
V. 1) D=A=B=0; Cz=0; z=0. Плоскость XOY; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) A≠0; Ax=0; x=0 – плоскость YOZ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) B≠0; By=0; y=0 – плоскость XOZ. |
|
и |
б |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Уравнение плоскости в отрезках |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях. Точки М1(а,0,0), |
|||||||||||||||||||||
М2(0,b,0), М3(0,0,с) – принадлежат плоскости α (см.рис.1.9) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Аx+By+Cz+D=0 |
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
о |
н |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
т чек М1, М2, М3 в общее уравнение плоскости. |
|||||||||||||||
Подставим коэффициенты |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
к |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
<=> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
y z=0, D≠0, если плоскость не проходит |
|||||||||||
Уравн ние плоскости будет x |
|||||||||||||||||||||
через нача о координат, поделив на ( –D), получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4) - уравнение плоскости в отрезках |
|
|
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Пусть заданы три точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), не лежащие на одной прямой. Через эти точки проходит единственная плоскость.
|
Возьмём произвольную точку М(x,y,z) на плоскости и составим три |
|||||||||||||||||
вектора , |
|
|
и |
|
(см.рис.1.10). =(x-x1;y-y1;z-z1), |
|
=(x2- |
|||||||||||
x1;y2-y1;z2-z1), =(x3-x1;y3-y1;z3-z1). |
|
|
|
|
|
|
т |
е |
ка |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (1.5) есть уравнение плоскости, проходящей через три точки. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
б |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормальное уравнение плоскости |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положение плоскости α в пространстве вполне определяется заданием |
|||||||||||||||||
нормального |
вектора |
|
. Пусть |
р сстояние от начала координат равно p |
||||||||||||||
(см.рис.1.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть нормальный вектор образует с осями координат углы α, β, γ, тогда |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор имеет координаты (cosα, cosβ. cosγ). При любом положении точки М |
||||||||||||||||||
на плоскости |
проекция вектора |
на направлении равно р. |
|
=р, то есть |
||||||||||||||
* =р. |
|
|
|
|
о |
н |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
* -р=0 (1.6) – нормальное уравнение плоскости в векторной форме |
|||||
Зная коэффициенты векторов |
|
|
|
|
ка |
и уравнение (1.6) перепишем в |
|||||
координатной форме: |
|
|
|
|
|
xcosα+ycosβ +zcosγ-p=0 (1.7) |
|
|
е |
|
|
Уравнение (1.7) называется нормальным уравнением плос ости в |
|||||
координатной форме. |
|
|
т |
|
|
§5.2. Основные задачи на плоскость |
о |
|
|
||
|
и |
|
|
|
|
Основными задачами на плоскость являются: нахождение угла между
двумя плоскостями, условия параллельности и перпенд кулярности плоскостей |
||||||||||||||||||||
и нахождение расстояния от точки до плоскости. |
б |
л |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ельности и |
|
|
|||
|
Угол между двумя плоскостями. Условия пара |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярности плоскостей |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть заданы две плоскости α и β уравнен ями: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α: A1x+B1y+C1z+D1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
β: A2x+B2y+C2z+D2=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Под углом между плоскостями α и β подразумевается один из меньших |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
к этим |
|
|
|
углов, образованных этими плоскостями или нормалями 1 и 2 |
|
|
||||||||||||||||||
плоскостям. Поэтому cosφ= |
|
|
|
|
(2.1) или cosφ= |
|
|
|
(2.2) |
|||||||||||
|
Если |
плоскости |
α и |
β перпендикулярны, то |
нормали |
1 и |
2 |
тоже |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
=0 (2.3) или |
|
|
|
|
|||
перпендикулярны, следователь о, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
=0 |
(2.4). |
Условия (2.3) |
и (2.4) |
есть |
условия |
||||||||
перпендикулярности |
плоскостейн |
. Если плоскости α и β параллельны, то |
||||||||||||||||||
параллельны будут и н рмали 1 и |
2. Условия коллинеарности векторов |
1 и |
||||||||||||||||||
2: |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5) – это и есть условие параллельности двух плоскостей. |
|
||||||||||||||||
|
|
к |
т |
|
Расстояние от точки до плоскости |
|
|
|
||||||||||||
Расстояние d от точки М0(x0,y0,z0) до плоскости вычисляется по формуле |
|
|||||||||||||||||||
Э |
л |
|
|
|
|
|
|
d= |
|
|
|
|
|
|
(2.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вывод этойе |
формулы аналогичен выводу формулы расстояния от точки до |
прямой.
Задача 2.1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;3;5), перпендикулярно вектору =(3;0;4). Найти расстояние от точки А(1;2;-7) до
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение: |
|
запишем |
каноническое |
уравнение |
|
плоскости |
||||||||||||
А( |
|
)+В( |
|
)+С( |
)=0, где координаты (x0,y0,z0) – координаты точ и М0, |
||||||||||||||
а A, B, C – координаты вектора . |
|
|
|
|
|
т |
е |
ка |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3(х+2)+0(у-3)+4(z-5)=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
||||||||
3x+6+4z-20=0 или 3x+4z-14=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Расстояние d= |
|
|
|
|
= |
|
= 3,4. |
|
|
|
и |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5.3. Уравнения прямой в пространстве |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное уравнение прямойл |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
Положение прямой в пространстве вполне определено, если задана какая- |
||||||||||||||||||
либо |
точка М0(x0,y0,z0) |
на прямой и |
вектор |
=(m,n,p), |
параллельный этой |
||||||||||||||
прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
о |
н |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вектор |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
называется направляющим вектором. На прямой l пусть задана |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка М0(x0,y0,z0) и =(m,n,p) – направляющий вектор. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Возьмём натпрямой l произвольную точку М(x,y,z). Обозначим радиус- |
||||||||||||||||||
векторы точ к М0 и М соответственно и . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
л |
|
|
= - |
|
|
=> |
+ |
|
(3.1). Вектор |
|
|
коллинеарен |
||||||
Э |
В ктор |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
|
|
|
|
|
|
|
||
вектору |
е, поэтому =t, где t R. = t* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Уравнение (3.1) можно переписать в виде |
|
|
(3.2). Полученное |
|||||||||||||||
уравнение называется векторным уравнением прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Канонические уравнения прямой |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Перепишем уравнение (3.2) в виде = t, и подставим координаты точки |
|||||||||||||||||||||||||||||
М0(x0,y0,z0) и вектора =(m,n,p), получим уравнение |
|
|
|
= |
|
|
= |
= t (3.3). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
Уравнения (3.3) называются каноническими уравнениями прямойка в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
пространстве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о форма |
|
|
|
Замечание. Если одна или две координаты вектора равны нулюе, |
|||||||||||||||||||||||||||||
записи сохранится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пусть m=0, |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
, это значит, что числитель х-х0=0, то есть |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
х=х0, вектор |
|
перпендикулярен оси ох. |
|
|
б |
л |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметрические уравнен я прямой |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Из уравнения |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= t найдём |
|
|
|
|
|
|
|
(3.4) |
|
|||||||
|
|
Уравнения (3.4) называются п р метрическими уравнениями прямой. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения прямой, проходящей через две точки |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть прямая l проходит через две точки М1(х1,у1,z1) |
и М2(х2,у2,z2). В |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
можно принять вектор , = =(х2- |
||||||||||||
качестве направляющего вектора |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x1; у2-y1; z2-z1). |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Поскольку прямая l проходит через М1, то в уравнение (3.3) подставим |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
р |
= |
|
|
|
|
|
(3.5). |
Уравнения (3.5) называются уравнениями |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
прямой, проходящей че ез две точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
к |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
Общие уравнения прямой |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим систему уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
|
|
|
|
|
|
|||
Э |
|
Каждоее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
уравнение системы определяет плоскость. Если плоскости не |
|||||||||||||||||||||||||||||
пара е ьны, |
|
то |
уравнения |
(3.6) |
называют общими |
уравнениями прямой в |
пространстве. Точку на прямой легко найти, приняв одну из координат, равной
нулю. Пусть, например, |
z=0, тогда система уравнений |
имеет единственное |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
решение. За направляющий вектор прямой можно принять вектор = N1 × N2 . |
|||||||||||||
Пример 3.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Написать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной |
|||||||||||||
системой уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
е |
|
Решение. 1) Найдём точку М0. Пусть z=0, |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решив эту систему найдём точку М0(-1;1;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) Найдём направляющий вектор . =(1;2;3), (1;-1;-1). |
|
|
|
|
|||||||||
= N1 × N2 = |
=(1;4;-3) |
|
|
|
|
л |
|
=и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) Канонические уравнения прямой будут: |
б |
|
; |
|
|
||||||||
= |
|
|
|
|
|
||||||||
4) Параметрические уравнения будут: |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Основные задачи на прямуюи |
в пространстве |
|
|
||||||||||
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основными задачами на прямую в пространстве являются: |
|
|
|
|
1) Нахождение угла между пр мыми. Под углом между прямыми l1и l2 в пространстве понимается наименьший из смежных углов, образованных
прямыми. Угол между прямыми можно найти как угол между направляющими |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
векторами cosφ = |
|
|
|
(3.7) или cosφ = |
|
|
|
(3.8) |
|||||
|
|
|
|
р |
о |
н |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) Условия параллельностит |
и перпендикулярности прямых в пространстве: |
||||||||||||
- если прямые l1и l2 параллельны, то = λ или = |
= = λ (3.9) |
||||||||||||
|
л |
|
|
|
взаимно перпендикулярны, то |
|
=0 или |
||||||
- ес и прямые l1и l2 |
|
||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
(3.10) |
87 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5.4. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
Основными задачами на прямую и плоскость в пространстве являются: |
ка |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1) Нахождение угла между прямой и плоскостью; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)Угол между прямой и плоскостью. |
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Пусть |
прямая |
l |
задана |
|
уравнениями |
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
и плоскость |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
α:Ах+Ву+Сz+D=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
т |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Углом между прямой и плоскостью называется меньший из двух смежных |
||||||||||||||||||||||||||||||
углов между прямой и её проекцией на плоскость. |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos( |
|
|
|
|
|
)= , а cos( |
|
)=sinφ, тогда sinφ= |
(4.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sinφ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
простр нстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Если |
прямая |
l |
параллель а плоскости α, |
то |
|
|
|
|
|
и |
условие |
|||||||||||||||||||
параллельности прямой и плоскости будет: |
|
=0 или Am+Bn+Cp=0 (4.3) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Если прямая l перпе дикулярнан |
плоскости α, то Ý , отсюда |
|
= λ или |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
S |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
= λ (4.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Уравнение (4.4) есть условие перпендикулярности прямой и плоскости. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
е |
к |
т |
р |
§5.5. Цилиндрические поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяемые |
уравнениями |
|
второй |
степени |
|||||||||||||||
|
|
Рассмотрим линии, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
относительно текущих координат: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 (5.1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Э |
|
Коэффициенты уравнения - действительные числа, где А2+В2+С2≠0. Такие |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
называются |
|
|
|
|
|
88 |
|
второго |
порядка. |
|
|
Ниже будет |
||||||||||||||||
инии |
|
линиями (кривыми) |
|
|
|
установлено, что уравнение (5.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.
Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая К называется направляющей цилиндра, а прям я Д
– его образующей (см.рис.5.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие |
|||||||||
которых лежат |
в одной из |
координатных |
плоскостей, а образующие |
||||||
параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости. |
|
ка |
|
||||||
|
|
|
|||||||
Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия К, уравнение которой |
|||||||||
F(x;y)=0 (5.1) |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
Построим цилиндр с образующими параллельными оси Оz, и направляющейт |
К. |
||||||||
Теорема 1. Уравнение цилиндра, образующие котор го параллельны оси |
|||||||||
Oz, имеет вид F(x;y)=0, т.е. не содержит координаты z. |
л |
и |
о |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
б |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x;y)=0 есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси Оу, |
|||||||||
а F(у;z)=0 – с |
образующими, |
и |
оси Ох. Название цилиндра |
||||||
параллельными |
определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс |
|||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
=1 в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверхность |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
называется эллиптическим цилиндром (см.рис.5.2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
н |
н |
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
т |
р |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
е |
ка |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его |
||||||||||||
уравнение |
+ =R2. Уравнение |
=2pz определяет |
ов |
|
пространстве |
|||||||
параболический цилиндр (см. рис.5.3). |
|
|
б |
- |
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение |
|
|
=1 |
определяет в |
||||||||
пространстве |
гиперболический цилиндр |
(см.рис.5.4). Все |
эти |
|
поверхности |
|||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
есть уравнения |
|||
называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнениял |
||||||||||||
второй степени относительно текущих коорд нат x, y и z. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5.6. Поверхности вращения |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в её плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть
некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Поверхности вращения задаются |
|
|
н |
уравнениями второго порядка. |
|
По заданному урав е ию второго порядка определим его геометрический |
|
н |
|
вид. Для этого применим так азываемый метод сечений: исследование вида
поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения |
||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
данной поверхности с коорди атными плоскостями им параллельными. |
||||||||
|
|
|
|
р |
|
Эллипсоид |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
Исследуем пове хность, заданную уравнением |
|
+ + =1 (6.1). |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
к |
|
|
поверхности (6.1) с плоскостями, параллельными |
||
|
Рассмо рим сечения |
|||||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
плоскости Oxy.тУравнения таких плоскостей: z=h, где h – любое число. Линия, |
||||||||
получа мая в сечении, определяется двумя уравнениями: |
||||||||
Э |
л |
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.2) |
Исследуем уравнения (6.2):