RGTA
.pdf§2. Координатные линии. Локальный базис. |
51 |
Пример. В примере 1 §1 координатными линиями являются окружности: ρ = c, ϕ = t и лучи ρ = t, ϕ = const. Вектор ∂1(M) равен
cosu2e1 + sinu2e2, а вектор ∂2(M) равен −u1sinu2e1 + u1sinu2e2.
Во втором примере мы имеем: ρ = t, ϕ = c1, z = c2 – окружности, ρ = c1, ϕ = t, z = c2 и ρ = c1, ϕ = c2, z = t – прямые линии. В этом примере можно также получить уравнения координатных поверхностей ρ = c, ϕ = t, z = r – цилиндрическая поверхность, ρ = t, ϕ = δ, z = c и ρ = t, ϕ = c, z = r – полуплоскости. Свое название эти координаты получили вследствие того, что одно из семейств координатных поверхностей есть семейство цилиндров. Локальный базис:
∂1 = cosu2e1 + sinu2e2, ∂2 = −u1sinu2e1 + u1cosu2e2, ∂3 = e3
2.2.5. Определение Пусть G и W – две открытые области во вспо-
могательном евклидовом пространстве En, а f и h – их координатные отображения в En, и G = f(G), W = h(W ). В области G0 = G T W каждая точка M имеет два набора координат: (u1, u2, ..., un) и ((u1)′, (u2)′, ..., (un)′). Координаты (u1, u2, ..., un) точки M принято называть старыми координатами точки M, а координаты
((u1)′, (u2)′, ..., (un)′) принято называть новыми координатами точки
M. Для новых координат ((u1)′, (u2)′, ..., (un)′) точки M часто используются такие обозначения: (u1)′ = u1′ , (u2)′ = u2′ , ..., (un)′ = un′ , или, кратко, (ui)′ = ui′ , i = 1, ..., n.
2.2.6. Связь между старыми и новыми координатами одной и той же точки M .
Обозначим через G1 = f−1(G0), а через G2 = h−1(G0). Тогда отображение ϕ = (h)−1 ◦ f : G1 → G2 дает искомую связь между старыми и новыми координатами. В подробно записи отображение ϕ записывается в следующей форме:
|
|
(u1)′ = u1′ = (u1)′(x1 |
(u1, ..., uk), ..., xn(u1, ..., uk)), |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ : |
|
(u2)′ = u2′ |
= (u2)′(x1 |
(u1, ..., uk), ..., xn(u1, ..., uk)), |
(4.1) |
|||||||||||||||||
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
1 |
|
1 |
|
k |
|
n |
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
(u |
)′ = u |
|
= (u |
(u |
, ..., u |
), ..., x |
(u |
, ..., u |
)). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
)′(x |
|
|
|
|
|
|
|
где xk = xk(u1, ..., un), k = 1, ..., n – отображение f, а ui′ = ui′ (x1, ..., xn)
– отображение f−1. В краткой записи ϕ : uj′ = uj′ (xk(ur)), j, k, ..., n.
2.2.7. Замечание. Отображение ϕ имеет обратное
ϕ−1 = f−1 ◦ h : G2 → G1,
52 |
Глава II. |
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ |
|
ϕ−1 : ur = ur(xk(ui′ )), r, k |
= 1, ..., n. |
Пример:
Пусть на плоскости E2 заданы две криволинейные системы координат. Одна полярная система координат ρ, ϕ, а другая – параболическая система координат, заданная отображением:
|
x1 = ((u1)′)2 − ((u2)′)2, |
|
|||
|
x2 = 2(u1)′(u2)′ |
|
|
||
Тогда отображение ϕ запишется так: |
|
|
|
||
ϕ : ( |
(u1)′ = |
√u1cos u22 |
= |
√p cos ϕ2 , |
|
(u2)′ = |
√u1sin u22 |
= |
√p sin ϕ2 . |
(4.2) |
2.2.8. Закон преобразования локальных базисов.
Пусть M - произвольная точка области G0 En. Тогда в этой точке мы имеем два локальных базиса: {∂i} и {(∂k)′ = ∂k′ }. Найдем матрицу перехода от базиса {∂i} к базису {∂k′ }. Из определения ло-
кального базиса мы имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂xk |
∂xk ∂up |
∂up ∂xk |
∂up |
|
||||||||
∂i′ = |
|
ek = |
|
|
|
ek = |
|
|
|
ek = |
|
∂p. |
(4.3) |
∂ui′ |
∂up |
∂ui′ |
∂ui′ |
∂up |
∂ui′ |
Таким образом, мы видим, что матрица перехода от базиса {∂p} к базису ∂i′ совпадает с матрицей Якоби отображения ϕ−1. Аналогично можно показать, что матрица перехода от базиса {∂i′ } к базису {∂p} определяется матрицей Якоби отображения ϕ:
|
∂ui′ |
|
∂p = |
∂up ∂i′ . |
(4.4) |
Напоминаем, что все производные вычислены в точке M.
§3 Векторные и тензорные поля в евклидовом пространстве
2.3.1. Определение Мы будем говорить, что в евклидовом пространстве En задано векторное (ковекторное) поле, если в каждой точке M задан вектор λ(M) (ковектор µ(M)) . Если {e1, ..., en} – базис в En, то
§3. Векторные и тензорные поля в евклидовом пространстве |
53 |
λ(M) = λi(M)ei = λi(x1, ..., xn)ei µ(M) = µi(M)ei = µi(x1, ..., xn)ei
Следствие. Задание векторного поля эквивалентно заданию n функций от n переменных.
Пример 1. Поле параллельных векторов (ковекторов). В этом случае в каждой точке задан один и тот же вектор λ = λiei и функции λi(M) суть постоянные функции, не зависящие от точки.
Пример 2. Радиальное поле векторов.
В каждой точке M : (x1, ..., xn) задан вектор λ(M) с координатами
λ1 = x1, ..., λn = xn.
Пример 3. Если в некоторой области G En введена криволинейная система координат, то она индуцирует n векторных полей
∂i(M), i = 1, 2, ..., n.
2.3.2. Замечание: При переходе от одного базиса {e1, ..., en} к другому базису {e′1, ..., e′n} координаты векторного поля и ковекторного поля изменяются по обычному закону µi′ = Cikµk, (λi′ ) = λkBki , где матрица ||Cik|| – есть матрица перехода от первого базиса ко второму, а ||Bik|| – матрица, обратная к матрице ||Cik|| и транспонированная. Заметим, что элементы матрицы ||Cik|| не зависят от точки.
Тензоры, которые мы определили в параграфе 3 первой части - это свободные тензоры. Действительно, их компоненты - это массивы, связанные с базисами,а любой базис - это тройка свободных векторов, не связанных с какой либо точкой пространства, значит и тензоры, расматриваемые выше также не связаны с какой-либо точкой. Теперь предположим, что мы хотим связать наш тензор с некоторой точкой в пространстве а другой тензор с другой точкой - и т.д. Сделав это, мы можем заполнить все пространство тензорами - по одному в каждую точку. В таком случае мы скажем, что имеется тензорное поле. Чтобы отметить точку M, с которой связан конкретный тензор нашего тензорного поля, мы должны записать M как аргумент:
A = A(M)
Пусть все тензоры имеют тип (p, q). Тогда если мы выберем некоторый базис e1, e2, e3, мы сможем представить любой тензор нашего
54 |
Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ |
тензорного поля как массив Aj1 ,...,jq с p + q индексами:
i1 ,...,ip
Aj1 ,...,jq = Aj1 ,...,jq (M)
i1 ,...,ip i1 ,...,ip
Таким образом, тензорное поле - это тензорнозначная функция с аргументом M, являющимся точкой в трехмерном евклидовом пространстве E3, а это представление в базисе.
Если мы зафиксируем некоторую точку О как начало координат, то мы получим декартову систему координат в пространстве и, следовательно, можем представить M через ее радиус-вектор и через координаты этого радиус-вектора (x1, x2, x3):
Aj1 ,...,jq = Aj1 ,...,jq (x1, x2, x3)
i1 ,...,ip i1 ,...,ip
Таким образом, тензорные поля, в отличие от свободных тензоров, связаны не с базисами,а с целыми системами координат(включающими начало координат). В каждой системе координат они представлены функциональными массивами, т.е. массивами из функций.
Таким образом, дадим следующее определение:
2.3.2. Определение Будем говорить, что в En задано тензорное поле строения (p, q), если в каждой точке M : (x1, ..., xn) задан тензор
j1 ,...,jq |
строения (p, q), зависящий от точки M,то есть координаты |
Ai1 ,...,ip |
тензора Aj1 ,...,jq – суть функции от координат x1, ..., xn точки M. Ес-
i1 ,...,ip
ли это гладкие функции класса Ck, то тензорное поле называется
гладким полем этого класса. Если Aj1 ,...,jq = const, то тензорное поле
i1 ,...,ip
называется постоянным.
Пример. |
n |
q = 2 имеем t |
x |
(y, u, v). Если |
{ |
0, e |
i} |
– декар- |
|
При p = 1, |
|
|
|
тов репер в A , то
tx = tijk(x1, ..., xn)yiuj vk
Здесь функции tijk(x), заданные в области u, есть координаты тензорного поля.
2.3.3. Замечание. Преобразование координат тензорного поля происходит по обычному тензорному закону.
j1′ ,...,jq′ |
s1 ,...,sq |
1 |
n |
)C |
r1 |
...C |
rp |
B |
j1 |
...B |
jq |
, |
||
A ′ |
′ |
= A |
r1,...,rp |
(x , ..., x |
|
i1 |
ip |
s1 |
sq |
|||||
i |
,...,i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где аргументы x1, ..., xn координат Asr11 ,,......,s,rqp тензора нужно заменить их выражениями через координаты (x1)′, ..., (xn)′.
§3. Векторные и тензорные поля в евклидовом пространстве |
55 |
Рассмотренные ранее алгебрические операции с тензорами естественным образом переносятся на тензорные поля - они производятся поточечно. Но появляется новая операция - дифференцирование - ее мы рассмотрим позже.
2.3.4. Случай криволинейных координат
В этом случае в каждой точке M области G существует базис {∂1, ..., ∂n} и взаимный к нему базис {∂1, ..., ∂n}. Поэтому, если в области G задано векторное поле λ(M), то координаты λi(M) этого векторного поля принято определять относительно базиса {∂1, ..., ∂n}:
λ(M) = λi(u1, ..., un)∂i(u1, ..., un). |
(3.1) |
Аналогично и для поля ковекторов:
µ(M) = µi(u1, ..., un)∂i(u1, ..., un). |
(3.2) |
и вообще, координаты тензорных полей Aj1 ,...,jq также определены ло-
i1 ,...,ip
кальным базисом {∂1, ..., ∂n} и сопряженным к нему базисом {∂1, ..., ∂n}.
2.3.5. Преобразование координат тензорного поля при замене криволинейных координат.
Пусть в области G евклидова пространства En даны две криволинейные системы координат (u1, ..., un) и (u1′ , ..., un′ ) и тензорное поле
|
|
j1 ,...,jq |
|
j1′ ,...,jq′ |
|
|
|
|||||
A(M) с координатами Ai1 ,...,ip (u1, ..., un) и Ai′ ,...,i′ (u1′ , ..., un′ ). Вспо- |
||||||||||||
миная определение тензора, мы получаем |
1 |
|
p |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
j′ |
,...,j′ |
s1 |
,...,sq |
|
∂ur1 |
|
∂urp ∂uj1′ |
|
∂ujq′ |
|||
1 |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ai1′ ,...,ip′ |
(u1′ , ..., un′ ) = Ar1 |
,...,rp |
(u1, ..., un) |
|
... |
|
|
|
... |
|
, |
|
∂ui1′ |
∂uip′ |
∂us1 |
∂usq |
(3.3)
где ur = u(ui′ ) и uj′ = uj′ (us) - функции перехода от новых координат
к старым и от старых к новым соответственно; и в аргументы функций Asr11 ,,......,s,rqp (u1, ..., un) нужно подставить выражения для ur через ui′ .
2.3.6. Замечание. Иногда равенство (3.3) сразу берется как определение тензора, так как формула (3.3) при линейных преобразованиях переходит в формулу (2.12).
Примеры:
1. Поле метрического тензора.
Если в области G задана некоторая криволинейная система координат (u1, ..., un), то ее задание индуцирует в каждой точке M G базис
{∂1(M), ∂2(M), ..., ∂n(M)}. Введем обозначение gij (u1, ..., un) = (∂i, ∂j ).
56 |
Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ |
Этот набор чисел gij , i, j = 1, ..., n является дважды ковариантным тензором в любой точке M G, так как gij суть координаты полилинейной функции (a, b). Этот тензор (тензорное поле) называется метрическим тензором (полем метрического тензора).
2.Обозначим через gij (u1, ..., un) - элементы матрицы, обратной к матрице ||gij ||. Тогда числа gij , i, j = 1, ..., n образуют дважды контравариантный тензор в каждой точке. Доказать!
3.Тензор напряжения.
Пусть G - область трехмерного евклидова пространства, заполненная некоторой сплошной средой (жидкостью или газом) или G – просто некое упругое тело, которое подверглось некоторой деформации и в нем появились упругие напряжения. Это означает следующее.
Рассмотрим какую-нибудь плоскую площадку, мысленно внесенную нами внутрь упругого тела и там как-либо установленную. Проведем нормаль к этой площадке и выберем какое-либо из двух направлений на нормали за положительное. Площадку мы в этом случае будем называть ориентированной.
Вблизи данной ориентированной площадки упругое тело будет ею рассечено на две части: одна из них расположена с положительной стороны площадки (т.е. в сторону положительного направления нормали), другая – с отрицательной стороны.
Наличие в теле напряжений означает, что первая из этих частей действует на вторую через отделяющую их площадку с известной силой. Эту силу мы будем называть силой напряжения, действующей на данную ориентированную площадку. Разумеется, вторая часть также действует на на первую ( по закону равенства действия и противодействия), но чтобы при подсчете силы напряжения не сбиваться в знаке, мы условимся рассматривать действие именно первой части на вторую.
Охарактеризовать напряжения, существующие в теле, значит уметь установить силу напряжения для любой ориентированной площадки, указанной в теле.
В каждой точке M(u1, u2, u3) сила давления, действующая на площадку S, ортогональную единичному вектору n(M), вычисляется по формуле SP (n), где P (n) - линейный оператор с матрицей ||Pji||. Тензор Pji (поле тензора Pji)называется тензором напряжения. Если
n = ni∂i, то (P (n))j = niPij . В случае применимости закона Паскаля (однородная жидкость) Pji = δji p(M), где p(M) - число, называемое давлением в данной точке M(u1, u2, u3).
§3. Векторные и тензорные поля в евклидовом пространстве |
57 |
4. Тензор деформации.
Пусть, как и в предыдущем примере, область G заполнена сплошной средой. Мы будем говорить, что в области G задана деформация, определенная векторным полем Z : (Zi(x1, x2, x3)), если каждая точка M(x1, x2, x3) D переходит в точку M(x1 + Z1, x2 + Z2, x3 + Z3). Здесь x1, x2, x3 - декартовы прямоугольные координаты. Обозначим через (Δl)2 квадрат расстояния между точкой M(x1, x2, x3) и бесконечно близкой к ней точкой N(x1 + x1, x2 + x2, x3 + x3), а через (Δl)2 – квадрат расстояния между точками M(x1 +Z1, x2 +Z2, x3 +Z3)
и точкой N(x1 + x1 +Z1(xi + xi), x2 + x2 +Z2(xi + xi), x3 + x3 +
Z3i(xi + xi)). Тогда, если деформация мала, то есть, если мал |Z| и |
|||||||||||||||||
|
∂Z |
, |
i, j = 1, 2, 3 малы и мы можем пренебречь величинами второ- |
||||||||||||||
|
k |
||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Zi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сравнению с |
| |
Z |
| |
и |
|
|
|
2 |
2 = |
||||
|
|
|
∂xk , то (Δl) |
||||||||||||||
го порядка малости по i |
|
j |
|
|
|
|
− (Δl) |
||||||||||
ηij |
xi xj , где ηij = |
∂Z |
+ |
∂Z |
– есть тензор второго ранга, кото- |
||||||||||||
∂xj |
∂xi |
рый называется тензором малой деформации. Отметим, что в этом примере мы ограничиваемся только декартовыми прямоугольными системами координат и величины ηij преобразуются по тензорному закону только тогда, когда мы переходим от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой декартовой прямоугольной системе координат.
5. Закон Гука.
Малая деформация среды вызывает напряжение, линейно зависящее от деформации. Поэтому между тензорами напряжения и деформации должна быть линейная связь P = Ui(η). Эта линейная связь определяется тензором четвертого ранга uiklj ;
Pji = uiklj ηkl
Тензор uiklj в трехмерном пространстве имеет 81 компоненту. Однако если среда однородна (изотропна), то он должен быть инвариантным при любых вращениях вокруг рассматриваемой точки, и тогда справедлива такая формула:
uijkl = λδikδji + µδij δkl + γδilδjk,
58 |
Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ |
||
где δik – символ Кронекера – δij = |
0 приi 6= j, и мы получим |
||
|
|
1 |
приi = j; |
|
Pij = ληij + µ(Spη)δij , |
где Spη = ηi. |
|
|
|
|
i |
Окончательно мы получим, что в изотропной среде связь между тензором напряжения и тензором малой деформации описывается тензором, зависящим только от двух констант (функций).
§4 Дифференцирование векторных и тензорных полей в криволинейных координатах
2.4.1. Определение. Если в области G задано векторное поле X = Xiei и в некоторой точке M вектор Z = Ziei, то производная Z X векторного поля X в направлении вектора Z, как это следует из определения производной по направлению, вычисляется по формуле
Z X = |
∂Xi |
|
∂xk Zkei. |
(4.1) |
2.4.2. Формула для вычисления производной векторного поля в направлении вектора.
Найдем формулу для вычисления производной векторного поля X в направлении вектора Z, когда в области G введена криволинейная система координат (u1, u2, ..., un). Векторное поле X и вектор Z разложим по базису {∂1, ∂2, ..., ∂n}.
X = λi∂i, Z = µi∂i |
(4.2) |
Связь между векторами ∂i и ei и координатами Xi и λi, Zi и µi выражается формулами
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
i |
|
||||||
|
∂i = |
∂x |
er, er |
= |
∂u |
∂i, |
(4.3) |
|||||||||||
|
i |
r |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂x |
|
||||||||
|
|
i |
|
|
r ∂xi |
k |
|
|
|
r ∂xk |
|
|||||||
X |
|
= λ |
|
, Z |
|
= µ |
|
|
|
, |
(4.4) |
|||||||
|
∂ur |
|
∂ur |
|||||||||||||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2xr |
|
|||||||
|
|
(∂i) = ∂i,k = |
|
|
er. |
(4.5) |
||||||||||||
|
∂uk |
∂uk∂ui |
§4. Дифференцирование векторных и тензорных полей в |
|
криволинейных координатах |
59 |
Подставим выражение для Xi и Zk в (4.1) и учтем (4.3) и (4.5). Получим
Z X = |
∂ |
|
r ∂xi |
|
|
|
α ∂xk |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
r ∂xi |
|
|
|
∂uβ ∂xk |
α |
|
||||||||||||||
|
|
(λ |
|
|
|
)µ |
|
|
|
|
ei = |
|
|
|
|
(λ |
|
|
|
) |
|
|
|
µ |
|
ei = |
||||||||||
∂xk |
∂ur |
|
|
∂uα |
|
∂uβ |
∂ur |
∂xk |
∂uα |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂ |
|
|
r |
∂xi |
|
β |
|
α |
|
|
∂ |
|
|
|
r |
∂xi |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
|
|
(λ |
|
|
|
|
|
)δαµ |
|
= |
|
|
|
|
(λ |
|
|
)µ |
|
ei = |
|
|
|||||||||||
|
∂uα |
∂ur |
|
∂uα |
∂ur |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∂λr |
|
|
∂xi |
|
|
α |
|
|
r |
α ∂2xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
( |
|
|
|
ei)µ |
|
|
+ λ µ |
|
|
|
|
ei = |
|
(4.6) |
|||||||||||||||||||
|
∂uα |
|
∂ur |
|
|
|
|
∂uα∂ur |
|
=∂λr µα∂r + ∂ (∂r)λr µα ∂uα ∂uα
Вектор ∂u∂α (∂r) = ∂r,α разложим по тому же базису ∂1, ∂2, ..., ∂n и коэффициенты разложения обозначим через:
∂r,α = rαβ ∂β |
(4.7) |
В первом слагаемом формулы (4.6) индекс суммирования r заменим на β. Тогда получим
|
∂λβ |
|
∂λβ |
|
||
Z X = ( |
|
µα + rαβ |
λrµα)∂β = ( |
|
+ rαβ λr)µα∂β |
(4.8) |
∂uα |
∂uα |
Остается найти выражения для величин rki. Мы найдем формулыrki, выражающие величины через компоненты метрического тензора gij . Напоминаем, что gij = (∂i, ∂j ).
Продифференцируем равенство gij = (∂i, ∂j ) по uk:
∂gij |
= (∂i,k, ∂j ) + (∂i, ∂j,k) = ( kir ∂r, ∂j ) + (∂i, kjr |
∂r) = |
|
∂uk |
|||
|
|
||
|
= kir grj + kjr gri = ki,j + kj,i |
(4.9) |
где введем обозначение ki,j = grj rki. Из формулы (4.5) следует
ikr ∂r = kir ∂r |
(4.10) |
Умножая равенства (4.10) скалярно на ∂j , получим rikgrj = rkigrj, откуда следует симметричность величин ki,j по первым двум индексам. Перепишем теперь равенство (4.9):
∂gij |
= ki,j + kj,i |
(4.11) |
∂uk |
60 |
|
Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ |
|
и произведем в нем циклическую перестановку индексов i, j, k: |
|
||
|
∂gki |
= kj,i + ij,k |
(4.12) |
|
∂uj |
||
|
∂gik |
= ji,k + ik,j |
(4.13) |
|
∂uj |
Сложив равенства (4.11) и (4.12) и вычтя из суммы равенство (4.13), с учетом симметричности ik,j по первым двум индексам, получим:
|
∂gij |
+ |
∂gki |
− |
∂gik |
= ki,j + kj,i + kj,i + ij,k − ji,k − ik,j = 2 kj,i |
||||||||
|
∂uk |
∂uj |
∂ui |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.14) |
или |
|
|
|
|
|
1 |
|
∂gij |
|
∂gki |
|
∂gik |
|
|
|
|
|
|
|
|
kj,i = |
[ |
+ |
− |
] |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
∂uk |
∂uj |
∂ui |
2.4.3.Определение. Величины kj,i называются символами Кристоффеля первого рода, а величины ikj = kj,pgpi – символами Кристоффеля второго рода, и они выражены через компоненты метрического тензора и их первых производных.
2.4.4.Определение.Как видно из формулы (4.12), величины ∂u∂λkr +ki,r λi являются координатами билинейной функции и, следовательно, образуют тензор строения (1, 1). Координаты этого тензора мы
обозначим через (λr)k = λr,k и назовем ковариантной производной векторного поля λ.
2.4.5.Задача. Доказать, что
Z µ = ( |
∂µr |
− krp µp)zk∂r |
(4.15) |
∂uk |
2.4.6. Определение. Аналогично предыдущему, из (4.15) следует, что величины (µr)k = µr,k = − pkr µp являются компонентами дважды ковариантного тензора второго ранга, и этот тензор называется ковариантной производной ковекторного поля µ.
Пример 1. Рассмотрим теперь поле параллельных векторов λ(M). В этом случае производная этого векторного поля должна обращаться в нуль по любому направлению, а , следовательно, и ковариантная производная тоже должна обращаться в нуль.
∂λi |
+ jki |
λj = 0, i, k = 1, ..., n |
(4.16) |
|
∂uk |
||||
|
|
|