АГ-1 МП ПЗ 1-27 Теорминимум 1-й семестр

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

летворять этому сравнению:

a(x0 tm) b (mod m) .

Отсюда следует вывод, что решением сравнения является не отдельное число x0 , а класс вычетов по данному модулю x x0 (mod m) , что

позволяет ввести следующее определение.

Определение. Решением сравнения ax b (mod m) называется класс вычетов x x0 (mod m) , удовлетворяющий данному сравнению.

Теорема. Сравнение ax 1(mod m) разрешимо тогда и только тогда, когда D(a,m) 1. Если это сравнение разрешимо, то оно имеет единственное решение x x0 (mod m) .

Теорема. Если D(a,m) 1, то для любого целого числа b сравнение ax b (mod m) имеет единственное решение x b x0 (mod m) , где x x0 (mod m) – решение сравнения ax 1(mod m) .

Теорема. Сравнение ax b (mod m) разрешимо тогда и только тогда, когда D | b , где D D(a,m) . Если сравнение разрешимо, то оно имеет точно D решений:

x x0 mD k (mod m), k 0,1,...,D 1,

где x x0 (mod mD ) – решение сравнения Da x Db (mod mD ) .

п.4.6 Методы решения сравнений 1-й степени

Как следует из теорем предыдущего пункта, достаточно научиться решать сравнения вида

ax 1(mod m), D(a,m) 1 .

В основном применяется один из следующих трех методов.

1-й метод. Применяется в случаях, когда модуль m является небольшим натуральным числом. По сути, это метод перебора. Так как решением сравнения является один из классов вычетов по модулю m, то выписываем стандартную полную систему вычетов по этому модулю

{0,1,...,m 1}

21

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

и последовательно подставляем в сравнение ax 1(mod m) вместо не-

известной х числа 0, 1, …, m 1 . Так как сравнение разрешимо и имеет единственное решение, то только одно из этих чисел будет удовлетворять сравнению. Таким образом, решением сравнения будет класс вычетов x x0 (mod m) , где x0 одно из чисел множества {0,1,...,m 1},

для которого сравнение ax0 1(mod m) оказывается верным.

2-й метод. Используем теорему Эйлера

a (m) 1(mod m) .

Умножим обе части сравнения ax 1(mod m) на число равное a (m) 1 : a (m) 1 ax a (m) 1 (mod m) ,

отсюда, в силу теоремы Эйлера, получаем решение сравнения: x a (m) 1 (mod m) .

Замечание. Формально решение сравнения найдено, но принято находить в классе вычетов наименьший неотрицательный вычет

a (m) 1 r (mod m), r {0,1,...,m 1},

и записывать ответ в виде x r (mod m) .

3-й метод. Используется алгоритм Евклида, с помощью которого можно найти линейное представление НОД. Исходное сравнение ax 1(mod m) равносильно уравнению

ax tm 1

с двумя неизвестными х и t. Так как D(a,m) 1, то существуют такие целые числа x x0 и t t0 , что ax0 mt0 1. Метод вычисления этих чисел описан ранее в ПЗ 1. Тогда класс вычетов x x0 (mod m) будет искомым.

22

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Практическое занятие 5. Комплексные числа – 1 п.5.1 Основные определения

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел (a, b).

Определение. Два комплексных числа называются равными, если они равны как упорядоченные пары действительных чисел:

df

(a,b) (c,d) (a c) & (b d) .

На множестве комплексных чисел определяются две внутренние алгебраические операции – сложение и умножение:

(a,b) (c,d) (a c, b d), (a,b) (c,d) (ac bd, ad bc) .

Теорема. (Об алгебраической структуре множества комплексных чисел.) Множество комплексных чисел является полем.

Определение. Комплексное число (0; 1) называется мнимой единицей и обозначается

i (0;1) .

Если комплексное число вида (а; 0) отождествить с действительным числом а, т.е. положить по определению

a (a,0) ,

то в этих обозначениях справедлива следующая теорема.

Теорема. (Об алгебраической форме записи комплексного числа.) Любое комплексное число (а, b) можно записать в виде

(a, b) a bi ,

где мнимая единица i удовлетворяет равенству i2 1.

Обозначение. Поле комплексных чисел обозначается буквой :

{a bi | a,b R} ,

асами комплексные числа часто обозначаются буквой z:

z a bi .

23

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Определение. Запись комплексного числа в виде z a bi называется алгебраической формой записи. Действительное число а называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается Re z a . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im z b .

Определение. Комплексное число, вещественная часть которого равна нулю, называется чисто мнимым: z bi .

п.5.2 Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме записи

Из определения сложения и умножения комплексных чисел и алгебраической формы записи комплексного числа следуют правила сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме записи. Пусть x a bi, y c di – произвольные комплексные числа. Тогда

x y (a bi) (c di) (a c) (b d)i , xy (a bi)(c di) (ac bd) (ad dc)i .

Замечание. Из определений следует, что два комплексных числа равны, если равны их вещественные и мнимые части, т.е.

a bi c di (a c) & (b d) .

Из определений вытекает также, что R C , т.е. любое действительное число есть комплексное число с нулевой мнимой частью. Любое комплексное число можно рассматривать как результат сложения двух комплексных чисел, одно из которых является действительным числом (его мнимая часть равна нулю), другое – чисто мнимое:

z a bi (a 0 i) (0 b i) .

Число 0 0 0 i является нулевым элементом относительно операции сложения, а число 1 1 0 i – единичным элементом относительно умножения комплексных чисел.

п.5.3 Комплексно сопряженные числа и их свойства

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

плексно сопряженным числу a bi , т.е. такие числа, которые отличаются друг от друга лишь знаком мнимой части являются комплексно сопряженными друг другу.

Обозначение. Если z a bi , то комплексно сопряженное к нему число обозначается

z a bi a bi .

Теорема. (Свойства комплексно сопряженных чисел.)

1.z C, z z ;

2.z1 ,z2 C, z1 z2 z1 z2 ;

3.z1 , z2 , ..., zn C, z1 z2 ... zn z1 z2 ... zn ;

4.z1 ,z2 C, z1 z2 z1 z2 ;

5.z1 , z2 , ..., zn C, z1 z2 ... zn z1 z2 ... zn ;

6.z C, k N, zk (z)k ;

7.a R, a a ;

8.z C, a R, a z a z ;

9.Для любого многочлена f (z) R[z] с действительными коэффици-

ентами от комплексной переменной z f (z) f (z) .

п.5.4 Вычитание и деление комплексных чисел в алгебраической форме записи

является обратным ненулевому комплексному числу z a b i .

Определим операцию вычитания, как сложение с противоположным: (a bi) (c di) (a bi) ( c di) (a c) (b d)i .

Определим операцию деления, как умножение на обратный элемент.

x a bi 0, y c di C , полагаем:

25

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

xy y x 1 (c di)(a bi) 1 .

Однако, на практике удобнее пользоваться не этой формулой, а следующим правилом.

Правило деления комплексных чисел

Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексно сопряженное знаменателю:

Практическое занятие 6. Комплексные числа – 2 п.6.1 Понятие корня натуральной степени из комплексного числа

Определение. Пусть n N – произвольное натуральное число. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что n z .

Теорема. (О существовании и количестве корней n-й степени из комплексного числа.)

Существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа.

Замечание. Для обозначения корней n-й степени из комплексного числа применяют обычный знак радикала. Но есть одно существенное отличие.

Если а – положительное действительное число, то n a по определению обозначает положительный корень n-й степени, его называют арифметическим корнем.

Если n – нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого действительного числа а. При a 0 этот единст-

венный корень n a является по определению арифметическим, при

a 0 этот единственный корень n a не является арифметическим, но может быть выражен через арифметический корень из противополож-

26

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

ного числа: n a n a , где n a является арифметическим, т.к.

a 0 .

Если n – четное число, то существует ровно два действительных корня n-й степени из положительного числа и они являются противоположными числами, поэтому один из них положительный, его и обо-

значают n a и называют его арифметическим, а второй будет отрицательным, противоположным арифметическому и его обозначают

n a .

Влюбом случае, знак n a обозначает (при условии, что это выражение имеет смысл) только одно число, один корень.

Вслучае же, если z C – комплексное число, то для любого нату-

рального числа n выражение n z всегда имеет смысл и обозначает все множество корней n-й степени из комплексного числа z:

n z { o , 1 , ..., n 1} ,

где o , 1 , ..., n 1 – все n корней n-й степени из комплексного числа z, так что по определению k {0,1, ..., n 1}, nk z .

В частности, при n 2 существуют ровно два корня из комплексного числа z и легко видеть, что, если – квадратный корень из ком-

плексного числа z, то 2 ( )2 z , т.е. оба корня и являются противоположными комплексными числами, поэтому вместо записи z { , } применяют запись z .

п.6.2 Извлечение квадратного корня из комплексного числа Определение. Пусть х – действительная переменная. Функция, определенная правилом:

называется знаком числа х и читается "сигнум икс".

Теорема. Пусть z a bi C – произвольное комплексное число. Тогда

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

где квадратные корни в правой части равенства являются арифметическими квадратными корнями из неотрицательных чисел.

Замечание. Можно не запоминать эту формулу ввиду ее громоздкости, а при решении использовать алгоритм доказательства теоремы. Смотрите 2-й способ решения в примере 1.

Замечание. В частности, последняя формула дает равенство:

1 i .

Это верное равенство, т.е. 1 по определению есть множество всех

корней из числа –1, в то время как равенство 1 i неверное, с этой точки зрения! Именно поэтому нельзя переносить свойства корней из действительных чисел на корни из комплексных чисел, как показывает следующий простой контрпример:

1 1 ( 1)( 1) 1 1 i i i2 1.

С другой стороны, легко доказать следующую теорему.

Теорема. (О вынесении действительного множителя из под знака корня.) Пустьz C, a R, a 0 , n – произвольное натуральное число.

Тогда

n a z n a n z ,

где n a есть обычный арифметический корень из положительного числа.

п.6.3 Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел Теорема. Пусть a,b,c C, a 0 , z – комплексная переменная. Тогда

квадратное уравнение az2 bz c 0 имеет ровно два корня (они могут быть равными), которые можно найти по формуле:

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Практическое занятие 7. Линейные операции с векторами п.7.1 Функция расстояния

Мы полагаем, что нам известно понятие расстояния между двумя точками, как длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Расстояние между точками А и В обозначается АВ или rAB или r(A,B) и является

функцией двух переменных (аргументов), определенная на множестве точек прямой, плоскости или пространства.

Свойства функции расстояния. 1) Свойство неотрицательности. Для любых точек А и В:

AB 0 .

2) Свойство симметричности.

Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А:

AB BA .

3) Неравенство треугольника.

Для любых точек А, В, С справедливо неравенство: AB AC CB ,

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда точки лежат на одной прямой и точка С находится на отрезке АВ, т.е. между точками А и В.

п.7.2 Определение вектора как направленного отрезка Определение. Вектором, как направленным отрезком, называется

упорядоченная пара точек (А, В) и обозначается AB . Первая точка А

называется началом вектора AB , вторая – точка В, называется концом

вектора AB .

Геометрически вектор изображается отрезком прямой, соединяющим точки А и В и стрелкой в точке В:

Определение. Модулем вектора AB называется длина отрезка АВ, т.е. расстояние между точками А и В, и обозначается

| AB | AB .

29

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называет-

ся нулевым вектором, и обозначается 0 .

Из определения очевидно следует, что модуль вектора равен нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

п.7.3 Коллинеарные и сонаправленные векторы, ось Определение. Если на прямой выбран один (из двух возможных) порядок следования точек, то говорят, что на прямой выбрано положительное направление.

Определение. Прямая, на которой выбрано положительное направление называется осью.

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

Обозначение: AB || CD – векторы AB и CD коллинеарные, AB || CD –

векторы AB и CD неколлинеарные.

Определение. Вектор называется коллинеарным прямой (оси), если он лежит на ней или на параллельной прямой.

Обозначение: AB || L – вектор AB коллинеарный прямой или оси L.

Определение. Вектор, лежащий на оси, называется сонаправленным с осью, если его начало предшествует его концу (конец вектора следует за его началом). В противном случае говорят, что вектор и ось имеют противоположные направления. (Смотрите рисунки 2 и 3.)

A B L

Рис. 2

A B L

Рис. 3

30

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Обозначения: AB L – вектор AB сонаправлен с осью L, AB L –

вектор AB и ось L имеют противоположные направления.

Определение. Вектор AB , лежащий на оси L, называется правоориентированным, если AB L и называется левоориентированным, если AB L .

Определение. Два вектора, лежащие на одной прямой называются сонаправленными, если при любом выборе положительного направления на этой прямой оба вектора будут иметь одинаковую ориентацию. В противном случае векторы называются противоположно направленными.

Обозначение: AB CD – векторы AB и CD сонаправленные,

AB CD – векторы AB и CD имеют противоположные направления (противоположно направленные).

Пусть теперь два вектора AB и CD лежат на параллельных прямых. Тогда обе прямые лежат в одной плоскости. Через начала векторов проведем секущую АС. При этом возможны два случая. См. ри-

D С

Рис. 5

Секущая АС, проведенная через начала обоих векторов делит плоскость, в которой лежат обе параллельные прямые а и b, на две полу-

31

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

плоскости. В первом случае (смотрите рисунок 4) концы векторов лежат в одной полуплоскости, а во втором случае (рисунок 5) – в разных полуплоскостях.

Определение. Два вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными, если их концы лежат в одной полуплоскости относительно прямой, проведенной через их начала. В противном случае говорят, что векторы имеют противоположные направления (противоположно направленные).

Определение. Пусть а и b две параллельные оси. На каждой оси возьмем по одному правоориентированному вектору. Если эти векторы сонаправленные, то данные оси называются сонаправленными. В противном случае говорят, что оси имеют противоположные направления.

п.7.4 Свободные векторы Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули:

df

AB CD (AB CD) & (| AB | | CD |) .

Замечание. Пусть AB – произвольный вектор. Все векторы, равные данному вектору можно обозначить одной буквой с чертой: a . Тогда про вектор AB a можно сказать, что это вектор a , отложенный от точки А, которая называется точкой приложения вектора a . Множество всех различных (не равных) векторов будем обозначать VS , где

буквой S обозначается множество всех точек пространства. Элементы множества VS называются свободными векторами (не имеющими оп-

ределенной точки приложения), и обозначать одной буквой с чертой.

п.7.5 Сложение векторов и его свойства

Определение. Пусть a,b VS – два произвольных вектора. Отложим

вектор a , от какой-нибудь точки А и обозначим его конец буквой В, так что AB a . Вектор b отложим от точки В (от конца первого вектора) и обозначим его конец буквой С, так что b BC . Тогда вектор AC называется суммой векторов a и b и обозначается a b .

32

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

C

Рис. 6

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Определение. Вектор b называется противоположным вектору a , если a b и | a | | b | , и обозначается a .

Из определения следует, что a a и | a | | a | , и если a AB , то

a BA .

Существует еще одно правило сложения векторов, которое называется правилом параллелограмма и дает точно такой же результат.

Оба вектора a и b отложим от одной точки А и обозначим через В

конец вектора a , через D – конец вектора b . Достраиваем до параллелограмма. Через точку D проводим прямую параллельную АВ, через точку В – прямую параллельную AD, точку пересечения построенных прямых обозначим буквой С. Тогда ABCD – параллелограмм.

Вектор AC a b .

Равенство AC a b следует из равенства векторов b AD BC и из определения, т.е. из правила треугольника сложения векторов.

33

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Теорема. (Свойства сложения векторов.)

1. Сложение векторов подчиняется закону ассоциативности:

a, b, c VS , (a b) c a (b c) .

2.Нулевой вектор является нулевым элементом относительно сложения векторов:

a VS , a 0 0 a a .

3.Для любого вектора a VS существует противоположный ему вектор a VS , такой, что

a( a) ( a) a 0 .

4.Сложение векторов подчиняется закону коммутативности:

называется вектор, который обозначается a , и удовлетворяет следующим двум условиям:

1)| a | | | | a | ;

2)a a , если 0 и a a , если 0 .

Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)

1. Умножение вектора на число подчиняется закону ассоциативности:

2.Умножение вектора на число подчиняется закону дистрибутивности умножения относительно сложения чисел:

, R, a VS , ( ) a a a .

3.Умножение вектора на число подчиняется закону дистрибутивности умножения относительно сложения векторов:

R, a, b VS , (a b) a b . 4. Верно равенство:

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Следствие. Множество всех векторов VS как направленных отрезков в пространстветочекS являетсявещественнымвекторнымпространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторного пространства.)

1)Ввекторномпространствесуществуетединственныйнулевойвектор.

2)В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3)Произведение скаляра на вектор равно нулевому вектору тогда и

только тогда, когда либо скаляр нулевой, либо вектор нулевой:

K, x V : x 0 0 или x 0 .

4)Произведение вектора на минус единицу равно противоположному

Определение. Пусть a и b два произвольных вектора. Если верно равенство b a , где R , то говорят, что вектор b линейно вы-

ражается через вектор a .

Замечание. По определению полагают, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.) Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них линейно выражался через другой.

Определение. Пусть a, b и c – произвольные векторы. Если верно равенство c a b , где , R , то говорят, что вектор c линей-

но выражается через векторы a и b .

Практическое занятие 8 Декартовая система координат на прямой

п.8.1 Проекция вектора на ось и её вычисление

Определение. Пусть А и В – произвольные точки пространства, L – произвольная ось, A и B – проекции точек А и В на ось L. Проекци-

ей вектора AB на ось L называется действительное число, которое

обозначается прL AB и определяется равенством

35

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

где A B обозначает длину отрезка A B оси L. (Смотрите рисунок 1.)

Рис. 1

Рассмотрим случай, когда проектируемый вектор коллинеарен оси. Смотрите рисунки 2 и 3.

ВА

Рис. 3

В обоих случаях, по определению проекции вектора на ось, мы имеем равенство

AB A B ,

и проекция вектора AB на ось L равна его модулю, взятому со знаком

36

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

плюс, если вектор правоориентированный на оси L, и со знаком минус, в противном случае:

п.8.2 Координата вектора оси Определение. Координатой вектора оси называется его проекция на эту ось.

Обозначим координату вектора а оси L через aL . Если а AB , то ко-

ординату вектора AB на оси L будем обозначать, по определению, прL AB .

Теорема. (О знаке координаты вектора оси.) Координата вектора оси неотрицательна и равна его модулю, если вектор правоориентирован на оси. Координата вектора отрицательна и противоположна его модулю, если вектор левоориентирован на оси.

Следствие. (О модуле координаты вектора оси.) Модуль координаты вектора оси равен модулю этого вектора: | aL | | a | .

Следствие. (О координатах противоположных векторов оси.) Координаты противоположных векторов – противоположны, т.е.

b a bL aL .

п.8.3 Свойства проекции вектора на ось

Теорема. (Свойства проекции.) Для любых векторов a,b , для любого действительного числа k и любой оси L выполняются равенства:

1) прL (a b) прL a прL b ; 2) прL k a k прL a .

Коротко формулировка: проекция суммы равна сумме проекций и скалярный множитель можно выносить за знак проекции.

37

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Обозначим через VL множество всех векторов, коллинеарных прямой L. Нетрудно видеть, что множество VL является вещественным векторным пространством.

Следствие. (Линейные операции с векторами оси в координатной форме.) Пусть L – произвольная ось и a, b, c VL – произвольные век-

торы этой оси. Пусть k R – произвольное действительное число. Тогда:

1)если c a b , то cL aL bL ;

2)если b k a , то bL k aL .

Другими словами можно сказать, что при сложении векторов оси их координаты складываются, а при умножении вектора на действительное число его координата умножается на это число.

Замечание. Вектор оси можно отождествить с его координатой: a (aL ) . Это так называемая координатная форма записи вектора оси.

Теорема. (О равенстве векторов.) Два вектора оси равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

п.8.4 Декартовая система координат на прямой

Определение. Вектор OA , где О – начало координат, называется ра- диус-вектором точки А, и часто обозначается

rA OA .

Определение. Координатой точки оси называется координата её ра- диус-вектора.

Обозначение: Пусть А – точка оси Ох, xA – её координата. Тогда, по определению:

xA прx OA .

Это же определение можно дать, не используя понятие радиусвектора точки.

38

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Определение. Координатой точки А оси Ох называется действительное число xA , определяемое следующим равенством:

где ОА – расстояние от начала координат до точки А.

Смотрите следующие рисунки. На рисунке 4: xA OA 0 , на рисунке

5: xA OA 0 .

О А х

0 xA

Рис. 4

xA 0

Рис. 5

Определение. Прямая, на которой выбрано положительное направление, начало координат, масштаб и для каждой точки которой определена её координата, называется координатной прямой или числовой осью. Говорят также, что на прямой определена декартовая система координат.

Теорема. Между множеством точек координатной оси Ох и множеством действительных чисел R существует взаимно однозначное соответствие (биекция).

Замечание. В силу этой теоремы, мы можем отождествить точку числовой оси и число, которое равно ее координате. Поэтому после буквы обозначающей точку в круглых скобках пишут ее координату: A(xA ) . Более

того, из определения координаты точки следует, что точка с положительной координатой лежит справа от начала координат на расстоянии, равном её координате, а точка с отрицательной координатой лежит слева от началакоординатнарасстоянии, равноммодулюеёкоординаты.

39

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Определение. Положительной полуосью называется та часть координатной оси, все точки которой имеют положительные координаты (эти точки следуют за началом координат). Отрицательной полуосью называется та часть координатной оси, все точки которой имеют отрицательные координаты (эти точки предшествуют началу координат).

п.8.5 Расстояние между двумя точками числовой оси Теорема. (О вычислении координаты вектора и расстоянии между

точками числовой оси.) Пусть Ох координатная ось, А, В – две её произвольные точки, xA , xB – их координаты. Тогда:

1) прx AB xB xA ; 2) AB | xB xA | .

Другими словами:

1)для того, чтобы найти координату вектора на числовой оси, нужно из координаты его конца вычесть координату его начала;

2)расстояние между двумя точками числовой оси равно модулю разности их координат.

п.8.6 Деление отрезка в данном отношении

Определение. Пусть L – произвольная прямая, A, B, C L – её произ-

вольные точки, причем A B . Отношением в котором точка С делит отрезок АВ считая от точки А называется действительное число, ко-

торое обозначается CAB и определяется равенством

AC CAB CB .

Замечание. Из определения следует, что C B и CAB 1.

Возможны два принципиально различных случая расположения точки С на прямой относительно отрезка АВ, смотрите рисунки 6 и 7.

1) Точка С находится на отрезке АВ:

L

2) Точка С находится вне отрезка АВ:

40