Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Удмуртский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть 1. Основные задачи векторной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2015

Размер:

829.55 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

торов и направляющий угол. Требуется вычислить координату k. Возможны два случая, смотрите рисунки 41 и 42:


L		e			a
L	•
	•
	A
		Рис. 41.

	a			e
	a		•	e		L
						L

A Рис. 42.

Из равенства a = k e и из определения умножения вектора на число следует, что

| k | =

| a |

| e |

а знак числа k зависит от направляющего угла α.

Если α = 0 , то

↑↑

и k > 0 , если α = π, то

↑↓

k < 0 . Отсюда следует, что k = |

| cos α.

| e |

= k

•

Рис. 43.

= k

•

A Рис. 44.

Ответ: рисунки 43, 44 ( k = || ae || , k = −|| ae || соответственно).

Замечание. Координату k вектора a относительно базиса

{e} можно получить с использованием скалярного произведения.

Умножим вектор e скалярно на обе части равенства a = k e . Получаем

e a = e (k e) = k (e e) = k | e |2 .

Мы воспользовались здесь свойствами скалярного произведения. Так как

e a =| e | | a | cos α,

то, отсюда получаем | e | | a | cos α = k | e |2 . Выражаем k:

k = || ae || cos α.

Пример. Разложить вектор a по базису {e} , если | е|= 2 ,

| a |= 3 и α = (a ^ e) = π.

Решение. Отложим данные векторы от какой-нибудь точки:

= k

•

Рис. 45.

3 .

Так как

↑↓

, то k = −

= −

| e |

Ответ: рисунок 45,

= − 3

Задача 49. Построить разложение вектора по произвольному базису на плоскости и вычислить его координаты.

Определение. Базисом на плоскости называется любая

упорядоченная пара неколлинеарных векторов {e1 , e2 }, ле-

жащих на данной плоскости или на плоскостях, параллельных данной.

Определение. Разложением вектора a по базису {e1 , e2 } называется равенство

a = k1 e1 + k2 e2 ,

где упорядоченная пара скаляров (k1 , k2 ) называется ко-

ординатами вектора a относительно базиса {e1 , e2 }.

Теорема. Любой вектор плоскости может быть разложен по базису этой плоскости и притом единственным образом.

Определение. Углы между данным вектором a и базис-

ными векторами e1 и e2 называются направляющими уг-

лами вектора a и обозначаются

(a ^ e1 ) = α , (a ^ e2 ) =β.

Косинусы этих углов называются направляющими косину-

сами вектора a .

Рис. 46.

Решение. Пусть на плоскости дан произвольный базис

{e1 , e2 } и произвольный вектор a , отложенные от произ-

вольной точки А (рисунок 46).

Мы полагаем, что нам известны модули базисных векторов e1 , e2 и угол между ними (e1 ^ e2 ) = ϕ, а также мо-

дуль вектора a и его направляющие углы α и β. а) Построение разложения вектора по базису.

Построим четыре прямые. Проведем прямую L1 , на ко-

торой лежит вектор e1 , прямую L2 , на которой лежит вектор e2 . Через конец вектора a проведем прямую парал-

лельную вектору e1 и прямую параллельную вектору e2 . Эти четыре прямые высекают параллелограмм (смотрите

рисунок 47). По правилу параллелограмма a = a1 + a2 , где

e1 || a1 || L1 и e2 || a2 || L2 , {e1} – базис L1 , {e2 } – базис L2 .

Вектор

= k1

1 можно разложить по базису {e

1}:

1 ,

а вектор

можно разложить по базису {e

2 }:

2 = k2

2 ,

откуда мы

получаем

разложение

вектора

по

базису

1 +

2 = k1

1 + k2

1 , e2 }:

2 .

a1 = k1 e1

2 = k2

= k1

1 + k2

Рис. 47.

Ответ: рисунок 47.

б) Вычисление координат (k1 , k2 ) вектора a геометри-

ческим способом (на примере рисунка 47).

Для вычисления координат, как в задаче 48, нам необ-

ходимо найти модули | a1 | и | a2 | , зная которые легко на-

ходим координаты. Так, например, из рисунка 47 мы видим, что


k1 =	\| a1 \|	, k2	= −	\| a2	\| .

	\| e1 \|			\| e2
	\| e1 \|			\| e2	\|

Для вычисления модулей необходимо решить треугольник, в котором известны все углы и одна сторона. Следующий рисунок выполнен на основе предыдущего:

| a1 | ϕ

α π−β


				\| a2 \|
	\| a \|			\| a2 \|
	\| a \|
				Рис. 48.

По теореме синусов

ходим

| a1 | = | asin| sinϕβ ,

Ответ: рисунок 48,

| a |

| a1 |

| a2 |

, откуда на-

sin ϕ

sin (π−β)

sin α

| a2 | = | a | sin α , sin ϕ

k2	= −	\|	a	\| sin α	.


		\| e2 \| sin ϕ

k1 =	\|	a	\| sin β	,

	\| e1 \| sin ϕ
	\| e1 \| sin ϕ

(k1 , k2 ) –

координаты

вектора

относительно базиса

k1 =

| sin β

, k

2 = −

| sin α

1 , e2 }, где

| e1 | sin ϕ

| e2

| sin ϕ

в) Вычисление координат (k1 , k2 ) вектора a алгебраи-

ческим способом.

Умножим вектор e1 скалярно на обе части равенства a = k1 e1 + k2 e2 :

e1 a = e1 (k1 e1 + k2 e2 ) = k1 (e1 e1 ) + k2 (e1 e2 ) .

Здесь мы воспользовались свойством линейности скалярного произведения. Обозначим для удобства записи:

e1 a =| e1 | | a | cos α = b1 , e1 e1 =| e1 |2 = a11 , e1 e2 =| e1 | | e2 | cos ϕ= a12 .

Тогда получаем: b1 = k1a11 + k2 a12 , или, в более привычном

виде:

a11k1 + a12 k2 = b1 .

Аналогичное уравнение получаем при умножении вектора e2 скалярно на уравнение a = k1 e1 + k2 e2 :

a21k1 + a22 k2 = b2 ,

где обозначено

e2 a =| e2 | | a | cosβ = b2 , e2 e1 =| e2 | | e1 | cos ϕ = a21 ,

e2 e2 =| e2 |2 = a22 .

В результате мы получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными k1 , k2 :

a11k1 +a12k2 = b1a21k1 +a22k2 = b2

с известными коэффициентами a11 , a12 = a21 , a22 и известными свободными членами b1 , b2 .

Решая полученную систему, например, по формулам Крамера, находим координаты k1 , k2 вектора a относи-

тельно базиса {e1 , e2 } и получаем ответ.

Ответ: a = k1 e1 + k2 e2 , где (k1 , k2 ) – координаты вектора

a относительно базиса {e1 , e2 }:

a12

a11

k1 =

a22

k2 =

a21

a11

a12

a11

a12

a21

a22

a21

a22

Пример. Разложить вектор

по базису {e

1 , e2 } и найти его

координаты, если

1 | =|

| =1,|

| = 4 ,

1 ^

2 ) = ϕ =

5π

α = (a

^ e1 ) = β = (a ^ e2 ) =

Решение. а) Отложим все три вектора от одной точки и построим геометрическое разложение данного вектора по данному базису:

1 = k1

= k1

1 + k2

2 = k2

Рис. 49.

б) Координаты k1 и k2

находим как в задаче 48, учитывая,

что

1 ↑↓

1 и

2 ↑↓

k1 = −|

1 | = −

1 | ,

= −

= − |

2 | .

| e2

| e1 |

Модули векторов a1 и a2 можно найти, решив простую геометрическую задачу. Из условий задачи следует, что параллелограмм разложения является ромбом с острым

60o . Действительно,

π .

^ a1 ) = π−(a ^ e1 ) = π−β =

и (a

^ a2 ) = π−β =

Следовательно, диагональ параллелограмма является биссектрисой, а поэтому параллелограмм является ромбом со

стороной равной | a1 |, и k1 = k2 = − | a1 |. Осталось найти боковую сторону равнобедренного треугольника с углом при вершине в 120o .

| a1 |

30o

Рис. 50.

Из прямоугольного треугольника находим

4 3

1 | cos30o , |

1 |

2cos30o

= − 4 3

1 −

4 3

2 .

в) Вычислим координаты k1 и k

2 алгебраическим способом.

Умножаем поочередно векторы e1 и e2 скалярно на обе части равенства a = k1 e1 + k2 e2 :

e1 a = e1 (k1 e1 + k2 e2 ) = k1 (e1 e1 ) + k2 (e1 e2 ) ,

e2 a = e2 (k1 e1 + k2 e2 ) = k1 (e2 e1 ) + k2 (e2 e2 ) .

Вычисляем скалярные произведения:

5π

e1 e1 =

| e1 |

=1, e1 a =| e1 | | a | cos α =1 4 cos

= −2 3 ,

2 | |

| cosβ = −2

3 ,

2 |2 =1,

1 =

2 =|

1 | |

2 | cos ϕ = cos π =

1 .

Подставляем в систему

k1 +

2 k2

= −2 3

= k1 (e

e1 ) +k2

(e1

e2 )

e2 a = k

(e2

e1 ) +k

(e2 e2 )

+k2

= −2 3

Умножим второе уравнение системы на –2 и сложим:

1 k

− 2k

= 2

3 или k

= − 4

, откуда k

= − 4 3 .

Ответ:

= −

4 3

1 − 4

2 .

Задача 50. Построить разложение вектора по произвольному базису пространства и вычислить его координаты.

Определение. Базисом в пространстве называется любая упорядоченнаятройканекомпланарных векторов {e1 , e2 , e3 }.

Определение. Разложением вектора a

по

базису

1 , e2 , e3 } называется равенство

= k1

1 + k2

+ k3

3 ,

где упорядоченная тройка скаляров (k1 , k2 , k3 )

называется

координатами вектора a относительно базиса {e1 , e2 , e3 }.

Теорема. Любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Определение. Углы между данным вектором a и базисными векторами e1 , e2 и e3 называются направляющими

углами вектора a и обозначаются

(a ^ e1 ) = α , (a ^ e2 ) =β, (a ^ e3 ) = γ.

Косинусы этих углов называются направляющими косину-

сами вектора a .

Решение. Пусть {e1 , e2 , e3 }– произвольный базис про-

странства векторов, и пусть a произвольный вектор. Мы полагаем, что нам известны модули базисных векторов

{e1 , e2 , e3 }, все попарные углы между ними, а также мо-

дуль вектора a и его направляющие углы.

а) Построение разложения вектора по базису. a = a1 + a2 + a3

a1 + a2

e2 e1 a1

Рис. 51.

Проведем следующие геометрические построения. Отло-

жим все три базисных вектора e1 , e2 , e3 и вектор a от одной точки и построим шесть плоскостей: плоскость, в ко-

торой лежат базисные векторы e1 , e2 , плоскость e1 , e3 и

плоскость e2 , e3 . Далее, через конец вектора a проведем

три плоскости параллельные соответствующим, только что построенным, трем плоскостям. Эти шесть плоскостей высекают параллелепипед:

По правилу сложения векторов a = a1 + a2 + a3 . По по-

строению a1 || e1 , следовательно, вектор

можно разло-

| .

1 = k1

где k1 = ±

жить по базису {e

1}:

1 ,

| e1

Аналогично,

2 = k2

2 и

3 = k3

3 , где

k2 = ± |

k3 = ±

| .

| e3

| e2

Отсюда, a = k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 .

Ответ: рисунок 51.

б) Вычисление координат (k1 , k2 , k3 ) геометрическим

способом. Эту задачу можно решить чисто геометрически, решая соответствующие треугольники и находя модули

векторов a1 , a2 , a3 . Однако, в силу того, что существует гораздо более простой алгебраический способ вычисления координат (k1 , k2 , k3 ) с помощью скалярного произведе-

ния (см. ниже следующий пункт), то мы не будем здесь этим заниматься.

в) Вычисление координат (k1 , k2 , k3 ) алгебраическим способом. Умножим последовательно базисные векторы

e1 , e2 , e3 на обе части равенства

a = k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 .

Тогда, применяя свойство линейности скалярного произведения, получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными k1 , k2 , k3 :

= k1 (e

1 e1 ) +k2 (e1 e2 ) +k3 (e1 e3 )

e2 a = k1 (e2 e1 ) +k2 (e2 e2 ) +k3 (e2 e3 ) .

= k1 (e

1 ) +k2 (e

3 e2 ) +k3 (e3 e3 )

Вычисляя скалярные произведения, находим коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы. Решая систему, например, по формулам Крамера, находим неизвестные координаты (k1 , k2 , k3 ) и получаем ответ.

Ответ: a = k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 , где

					e			1			a							e				1			e					2						e					1								e						3																																							e						1						e							1							e			1			a							e				1		e					3
							2														2											2								2																		3																																									2																							2														2										3
					e		2						a			e					2						e					2			e					2											e							3																																		e							2									e										e				2						a			e					2					e					3
	=						3														3										2									3																	3																																										3															1								3														3									3
k1				e								a					e									e									e															e																				, k2 =																							e														e												e								a					e								e									,
				e								a					e									e									e															e																																											e														e												e								a					e								e

			e1 e1																	e1 e2																		e1 e3																																																			e1 e1																												e1 e2																		e1 e3
						2									1								2											2											2																		3																																			2														1									2									2								2										3
			e			2				e					1				e				2						e					2			e								2								e										3																										e									2							e							1				e					2				e					2				e				2					e					3
						3								1									3										2												3																	3																																				3													1										3								2									3									3
		e				3			e					1						e			3					e					2					e							3							e										3																												e								3						e							1						e				3			e					2						e			3				e					3
																																																1																		1										1								2														1
																																												e				1											e							1							e			1			e					2							e							1					a
																																															2																					1							2											2										2
																																											e				2														e							1			e				2						e					2			e							2									a
																								k3 =																							3																				1								3										2												3
																																										e																		e												e								e										e														a											.
																																										e																		e												e								e										e														a

																																							e1 e1																															e1 e2																		e1 e3
																																							e1 e1																															e1 e2																		e1 e3
																																														2																			1									2									2												2															3
																																							e							2										e									1				e					2				e					2				e								2							e								3
																																														3																		1										3								2													3														3
																																						e								3								e										1						e				3			e					2						e							3						e								3

Пример. Разложить вектор a

по базису {e1 , e2 , e3 }, если

1 | =|

2 | =|

3 | =1, |

2 ) = π ,

1 ,

2 ,

| = 3 , (e

угол между вектором

и базисными векторами одинако-

вый и равен 60o .

Решение. Умножим последовательно базисные

векторы

1 ,

2 ,

3 на обе части равенства

= k1

1 + k2

+ k3

3 :

= k1 (e

1 e1 ) +k2 (e1 e2 ) +k3 (e1 e3 )

e2 a = k1 (e2 e1 ) +k2 (e2 e2 ) +k3 (e2 e3 ) .

3 )

= k1 (e

1 ) +k2 (e

2 ) +k3 (e

Вычисляем скалярные произведения:

ei ei =| ei |

=1, i =1, 2, 3, e3 ej = 0 , j =1, 2 , e1 e2 = 2 ,

3 ,

i =1, 2, 3.

Подставляя эти результаты в систему, получаем:

k1 +

k3 =

Решая полученную систему, получаем

k1 = k2 =1,

k3 = 3 .

Ответ: a = e1 + e2 + 32 e3 .

Глава 8. Линейные операции с векторами в произвольном базисе

Задача 51. Линейные операции с векторами в координатнойформеотносительнопроизвольногобазисанапрямой.

Решение. Пусть {e} – произвольный базис прямой L и векторы a и b лежат на прямой L. Пусть a = k1 e , b = k2 e , α R – произвольное число. Тогда

a + b = k1 e + k2 e = (k1 + k2 )e и αa = (αk1 )e .

Аналогично, получаем:

α,β R , αa +βb = (αk1 +βk2 )e .

Если векторы записать в координатной форме, то и операции сложения и умножения на число можно записать в ко-

ординатной форме. Пусть a = k1 e = (k1 ) , b = k2 e = (k2 ) , α R – произвольное число. Тогда

a + b = (k1 ) + (k2 ) = (k1 + k2 ) и αa = α (k1 ) = (αk1 ) .

Аналогично,

α,β R , αa +βb = α(k1 ) +β(k2 ) = (αk1 +βk2 ) .

Ответ: при сложении векторов их координаты относительно одного и того же базиса складываются, а при умножении вектора на число его координата умножается на это число.

Пример. Пусть a = −3e , b = 7e , c = −5e . Представить век-

тор c в виде линейной комбинации векторов a и b . Решение. Задача заключается в вычислении коэффициентов х и у, для которых будет верным равенство

xa + yb = c .

Равные векторы имеют равные координаты относительно одного и того же базиса. Находим координаты обоих векторов, стоящих в левой и в правой части этого равенства.

Так как по условию задачи a = −3e = (−3) , b = 7e = (7) , c = −5e = (−5) , то xa + yb = x(−3) + y(7) = (−3x + 7y) и

приравнивая координаты векторов xa + yb и c , получаем −3x + 7y = −5 . Это уравнение имеет бесконечно много решений, например, x = 4, y =1.

Ответ: c = 4a + b .

Задача52. Линейныеоперациисвекторамивкоординатной формеотносительнопроизвольногобазисанаплоскости.

Решение. Пусть {e1 , e2 } – произвольный базис какойнибудь плоскости σ и векторы a и b лежат на ней. Пусть

a = a1 e1 + a2 e2 , b = b1 e1 + b2 e2 , α R – произвольное число. Тогда

a + b = (a1 e1 + a2 e2 ) + (b1 e1 + b2 e2 ) =

= (a1 + b1 )e1 + (a2 + b2 )e2 и αa = (αa1 )e1 + (αa2 )e2 .

Аналогично, получаем: α,β R ,

αa +βb = (αa1 +βb1 )e1 + (αa2 +βb2 )e2 .

Если векторы записать в координатной форме, то и операции сложения и умножения на число можно записать в координатной форме. Пусть

a = a1 e1 + a2 e2 = (a1 , a2 ) , b = b1 e1 + b2 e2 = (b1 , b2 ) , α R .

Тогда

a + b = (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ) ,

αa = α (a1 , a2 ) = (αa1 , αa2 ) .

Аналогично, α,β R ,

αa +βb = α(a1 , a2 ) +β(b1 , b2 ) = (αa1 +βb1 , αa2 +βb2 ) .

Замечание. Линейные операции с векторами в координатной форме удобнее производить, когда упорядоченная пара координат вектора записывается в виде столбца:

+ b

a + b =

1 + 1

αa = α

a2 b2

a2 + b2

+β

αa

+βb

αa +βb = α

αa2 +βb2

αa1 ,αa2

Ответ: при сложении векторов их соответствующие координаты, относительно одного и того же базиса, складываются, а при умножении вектора на число обе его координаты умножаются на это число.

Пример. Пусть a = −2e1 +9e2 = (−2, 9) ,

b = 3e1 −14e2 = (3, −14) , c = −5e1 −19e2 = (−5, −19) . Найти координаты вектора a + 2b −3c относительнобазиса {e1 , e2 }. Решение.

−2

+ 2

−3

−5

−2

+ 6

+15 19

a + 2b −3c =

−14

−19

− 28

+57

Ответ:

+ 2b

−3c = (19, 38) .

Задача53. Линейныеоперациисвекторамивкоординатной формеотносительнопроизвольногобазисапространства.

Решение. Пусть {e1 , e2 , e3 } – произвольный базис, a и

b – произвольные векторы, α R – произвольное число. Пусть, далее,

a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 , b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 .

Тогда

a + b = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) + (b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 ) = = (a1 + b1 )e1 + (a2 + b2 )e2 + (a3 + b3 )e3 ,

αa = α(a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) = (αa1 )e1 + (αa2 )e2 + (αa3 )e3 .

Если векторы записать в координатной форме, то и операции сложения и умножения на число можно записать в координатной форме. При этом, линейные операции с векторами в координатной форме удобнее производить, когда упорядоченная тройка координат вектора записывается в виде столбца:

	a1			b1
	= a2	,		= b2	,
a	= a2	,	b	= b2	,

	a3			b3

	a		b	a		1	+ b					a	1			αa	1
		1	1			1	1						1				1
		1	1					,								αa2		,
a + b = a		2	+ b2	= a		2	+ b2	,	αa = α a				2		=	αa2		,
																αa3
	a	3	b3	a3			+ b3					a3				αa3
				a	1		b			αa	1	+βb
					1			1			1		1
										αa2 +βb2
	αa +βb = α a				2		+β b2		=	αa2 +βb2				.
										αa3 +βb3
				a3			b3			αa3 +βb3

Ответ: при сложении векторов их соответствующие координаты относительно одного и того же базиса, складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Пример. Пусть

	1			−1
	−2	,		4

a = e1 − 2e2 +5e3 =			b = −e1 + 4e2 − 2e3 =		.
	5			−2
	5			−2

Найти координаты вектора 3a − 2b относительно базиса

{e1 , e2 , e3 }.

Решение.

−1

3 + 2

3a − 2b = 3

−2

− 2

−6 −8

−14

−2

15 + 4

Ответ: a + 2b = (5, −14, 19) .

Глава9. Координатывекторавортонормированномбазисе

Задача 54. Построить нормированный базис на прямой и найти координату вектора данной прямой относительно построенного базиса.

Определение. Нормированным базисом на прямой называется любой вектор единичной длины,, лежащий на данной прямой.

Решение. Согласно определению, для построения нормированного базиса данной прямой достаточно отложить от любой ее точки вектор единичной длины, так, чтобы его конец также лежал на этой прямой:


•	e	L
		L

Рис. 52.

Здесь, | e | =1 , {e} – нормированный базис прямой L.

Пусть теперь a – произвольный вектор этой прямой.

Отложим его от точки О и найдем координату вектора a

относительно данного базиса {e} : a = k e ,

где | k | = || ae || =| a |. Таким образом, координата k вектора a

относительно нормированного базиса {e} по абсолютной величине равна модулю вектора a и k > 0 , если вектор a

сонаправлен с базисным вектором e , и k < 0 в противном случае.

Определение. Вектор единичной длины, сонаправленный с координатной осью Ох называется ортом оси Ох и обо-

значается i .

Как правило, вектор i откладывают от начала координат:

•	i	x



O
Рис. 53.

Очень важным является тот факт, что координата любого вектора относительно нормированного базиса { i} совпадает с его декартовой координатой на этой оси, т.е. если a = k i , то ax = прx a = k и координатная запись вектора

a = (k) является также и сокращением записи a = k i .

Пример. Пусть А(29), В(–7) – точки на координатной оси Ох. Найдите координату вектора AB относительно нормированного базиса этой прямой: а) { i }; б) {−i} .

Решение. Находим декартовую координату вектора AB : AB = (xB − xA ) = (−36) . Следовательно, AB = (−36) i .

Ответ: а) AB = (−36) i и координата вектора AB относи-

тельно базиса { i } равна –36;

б) AB = 36 (−i) и координата вектора AB относительно базиса {−i} равна 36.

Задача 55. Построить ортонормированный базис плоскости и найти координаты вектора плоскости относительно построенного базиса.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.05.201549.2 Кб7Ципулина.docx
#
13.05.2015798.21 Кб136Цифровая схемотехника.doc
#
20.08.201933.3 Mб39ЦНС.doc
#
13.05.20151.97 Mб44Цой_Практ_конфликтология.doc
#
13.05.20156.03 Mб188Цыганков Международные отношения.pdf
#
13.05.2015829.55 Кб36Часть 1. Основные задачи векторной алгебры.pdf
#
17.03.2016187.73 Кб18Часть 1.docx
#
13.05.201575.78 Кб26часть 2 юнит 4,5.doc
#
13.05.2015417.7 Кб136Часть 3. Комплексные числа.pdf
#
13.05.2015459.46 Кб20Часть 4. Матрицы, определители, системы.pdf
#
25.11.201974.24 Кб1Часть_описания.doc