METODA

y2 = 2 pz

x = 0

вокруг оси Оz..

Подставляя в уравнение F(Y, Z ) =Y 2 −2 pZ = 0 значения

Y = ± x2 + y2 , Z = z ,

получаем уравнение поверхности вращения (x2 + y2 )−2 pz = 0 , откуда окончательно

2 pz = x2 + y2 .

Отметим, что даная поверхность называется параболоидом вращения.

10.5.Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой специально выбранной декартовой прямоугольной системе координат задается уравнением

(10.4)

Уравнение (10.4) называют каноническим уравнением эллипсоида, а параметры a,b,c – полуосями эллипсоида. Исследуем форму эллипсоида. Из уравнения (10.4), включающего только четные степени координат, следует, что эллипсоид имеет три плоскости симметрии, совпадающие с координатными плоскостями при сделанном выборе системы координат.

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями параллельными координатной плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей задается уравнением z = ε , а линия, которая получается в сечении определяется системой уравнений

Этот эллипс расположен симметрично относительно плоскостей Оxz и Оzy. Величины aε и bε имеют наибольшее значение при ε = 0 . В этом случае

bε =b . Т.е. самый крупный эллипс получается при сечении координатной плоскостью z=0.

64

сэллипсоидом.

Совершенно аналогичная картина получается при исследовании эллипсоида с

помощью сечений x =ε, y =ε . Отметим только, что сама плоскость Оyz (т.е. x=0) пересекает эллипсоид по эллипсу

а плоскость Оxy по

Рис.10.6

При a = b эллипсоид можно рассматривать как поверхность вращения образованную вращением эллипса вокруг оси Оz.

Если a=b=c, то эллипсоид является сферой.

10.6. Гиперболоиды

Существует два типа гиперболоидов: однополостный и двуполостный. При соответственном выборе системы координат они определяются следующими уравнениями:

Очевидно оба гиперболоида имеют три взаимно-перпендикулярные плоскости симметрии, совпадающие с координатными плоскостями.

65

Исследуем их форму с помощью метода сечений. Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида координатными плоскостями Оxz и Oyz. В первом случае в сечении получится гипербола

координатной плоскостью z=0 (этот эллипс называют горловым эллипсом однополостного гиперболоида).

Очевидно, что при возрастании ε размеры эллипсов

получаемых в сечении возрастают. Таким образом, однополостный гиперболоид представляет собой что-то вроде бесконечной трубки (рис.10.7), расширяющейся в обе стороны от горлового эллипса. Числа a,b,c – полуоси гиперболоида. Если a = b, то гиперболоид является поверхностью вращения, полученной вращением гиперболы вокруг оси Оz.

Рис.10.7

Совершенно аналогично исследуется форма двуполостного гиперболоида. При сечении его плоскостями x = 0 и y = 0 получается соответственно следующие линии сечения:

66

Т.е., это гиперболы с действительной осью Оz.

Теперь рассмотрим сечения, параллельные плоскости Оxy ( z =ε )

При | ε |< c эти уравнения ничего не задают, т.е. секущая плоскость не пересекает гиперболоид.

При ε = ±c секущая плоскость касается гиперболоида в точках (0,0,±c) .

Полуоси этого эллипса при возрастании | ε | все время возрастают. На

основании всего сказанного делаем вывод: двуполостный гиперболоид состоит из двух частей (полостей, каждая из которых имеет вид выпуклой чаши (рис.10.8).

Рис.10.8

10.7. Параболоиды

Существует два параболоида: эллиптический и гиперболический. При соответственном выборе системы координат эллиптический и гиперболический параболоиды определяются следующими каноническими уравнениями:

2z = x2 + y2 - эллиптический (p,q > 0), p q

67

2z = x2 − y2 - гиперболический (p,q > 0). p q

Параболоиды имеют две взаимно-пересекающиеся плоскости симметрии. Исследуем параболоиды методом сечений.

В сечении эллиптического параболоида координатными плоскостями х = 0 и у = 0 получаются соответственно параболы

Обе параболы симметричны относительно оси Ox с вершинами в начале координат.

Рассмотрим теперь сечения эллиптического параболоида плоскостями параллельными координатным плоскости Oxy :( т.е. z =ε ):

В частности, при ε =0 в сечении получается одна точка (0,0,0), при ε <0 секущая плоскость не пересекается с параболоидом. Таким образом, эллиптический параболоид имеет вид бесконечной выпуклой чаши.

Рис.10.9

Рассмотрим сечения гиперболического параболоида плоскостью Оxy Это

Сечение гиперболического параболоида плоскостью x =ε даст нисходящую

68

Все эти параболы имеют одинаковый параметр q, следовательно отличаются только положением в пространстве. Таким образом, гиперболический параболоид

Рис.10.10

Рассмотрим сечение гиперболического параболоида плоскостью z =ε . Кривая лежащая в сечении задается уравнениями

При ε >0 это гипербола с действительной осью параллельной оси Оx. При ε <0 это гипербола с действительной осью параллельной оси Оy. При ε =0 получается

69

Рис.10.11

10.8. Линейчатость поверхностей второго порядка

Коническая и цилиндрическая поверхности являются линейчатыми, т.е. составленными из прямых (не из отрезков, а из прямых!). Кроме цилиндра и конуса, линейчатыми являются однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Рассмотрим однополостный гиперболоид. Его каноническое уравнение перепишем в виде

где α, β - некоторые числа не равные одновременно нулю.

Уравнения (10.7) задают пару плоскостей, которые очевидно пересекаются (поскольку коэффициенты при переменных не прапорцианальны и, слкедовательно, условие параллельности не выполнено). Значит, при каждом наборе пары чисел (α, β ) уравнения (10.7) определяют некоторую прямую Lαβ .

Пусть оба числа α, β отличны от нуля. Перемножим уравнения (10.7) . После сокращения на αβ получается уравнение гиперболоида (10.6), т.е. координаты всех точек прямой Lαβ удовлетворяют уравнению однополостного гиперболоида

(10.6). Следовательно, эта прямая целиком лежит на однополостном гиперболоиде.

Если α = 0, β ≠ 0 , тогда (10.7) имеет вид

Для точек, удовлетворяющих такому уравнению, очевидно, выполняется и уравнение гиперболоиды (10.6).

Таким образом, все семейство прямых {Zαβ }лежит на гиперболоиде. Докажем обратно, что через любую точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) однополостного гиперболоида

проходит некоторая прямая этого семейства. Т.е. надо доказать, что для точки М0 найдутся числа α, β одновременно не равные нулю такие, что координаты этой точки удовлетворят (10.7). В итоге мы получаем систему уравнений

70