zav
.pdf
Решение. Результаты предварительных вычислений внесем в таблицу (табл. 3).
|
|
|
|
Т а б л и ц а 3 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
xk |
yk |
xk yk |
|
x2 |
|
|
|
|
|
k |
0 |
1 |
2,2 |
2,2 |
|
1 |
1 |
2 |
1,7 |
3,4 |
|
4 |
2 |
3 |
3,7 |
11,1 |
|
9 |
3 |
4 |
5,2 |
20,8 |
|
16 |
4 |
5 |
4,2 |
21 |
|
25 |
å |
15 |
17 |
58,5 |
|
55 |
Нормальная система уравнений (4) в данном случае принимает вид
ì55a +15b = 58,5, |
или |
ì 10a = 7,5, |
|
í |
15a + 5b =17, |
í |
|
î |
|
î3a + b = 3,4. |
|
Отсюда находим: a = 0,75, |
b = 1,15. |
Следовательно, |
искомая |
|||||||||||
эмпирическая формула есть y = 0,75x +1,15 (рис. 1). |
|
|||||||||||||
|
6 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
y = 0,75x +1,15. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Задание |
4. Вычислите |
интеграл |
1+ x3 dx с |
помощью |
||||||||||
ò |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 час- тей. Вычисления производите с округлением до четвертого деся- тичного знака.
Решение. Нужно определить значения подынтегральной
функции при h = b - a = 0,1 для следующих значений аргумента: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = 0; x1 = 0,1; x2 = 0,2; x3 = 0,3; |
x4 = 0,4; x5 = 0,5; x6 = 0,6; |
|||||||||||||||||||||||||||
x7 = 0,7; x8 = 0,8; x9 = 0,9; |
|
|
x10 =1. |
Находим соответствующие |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значения функции |
f (x) = |
|
1+ x3 : |
y =1; |
y = |
|
|
|
|
|
|
»1,0005; |
||||||||||||||||
1,001 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 = |
|
|
|
|
|
|
»1,0040; |
y3 = |
|
|
|
»1,0134; |
y4 = |
|
|
|
»1,0315; |
|||||||||||
1,008 |
1,027 |
1,064 |
||||||||||||||||||||||||||
y5 = |
|
|
|
»1,0607; |
y6 = |
|
|
|
»1,1027; |
y7 = |
|
|
|
|
»1,1589; |
|||||||||||||
1,125 |
1,216 |
1,343 |
||||||||||||||||||||||||||
y8 = |
|
|
»1,2296; |
y9 = |
|
|
»1,3149; |
y10 = |
|
»1,4142. |
||||||||||||||||||
1,512 |
1,729 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
Тогда по формуле (7) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ò |
|
|
1+ x3 dx » 0,1[1+1,4142 + 4(1,0005 +1,0134 +1,0607 + |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+1,1589 +1,3149) + 2(1,0040 +1,0315 +1,1027 +1,2296)] = = 1,11144... ≈ 1,111.
1
Ответ: ò 
1+ x3 dx »1,111.
0
Задание 5. Отделите корни уравнения 4x3 + x2 - 21x + 3 = 0
аналитически и уточните больший из них методом Ньютона с
точностью до D =10−3.
Решение. Отделим корни данного уравнения аналитически. Находим:
f (x) = 4x |
3 |
+ x |
2 |
- 21x + |
3, f |
¢ |
=12x |
2 |
+ 2x - 21; |
||||||||
|
|
(x) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
-1± |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
f ′(x) = 0, |
|
x1, 2 |
253 |
x1 = -1,4088..., |
x2 =1,2421.... |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
||||
Составим таблицу знаков функции |
(табл. 4). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
х |
|
|
−∞ |
|
–1,4 |
|
|
|
1,2 |
|
+∞ |
||||||
signf (x) |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
– |
|
+ |
Итак, уравнение имеет три действительных корня: |
|||||||||||||||||
ξ1 Î(-¥, |
-1,4); ξ2 Î(-1,4, 1,2); ξ3 Î(1,2, |
+ ¥). |
|||||||||||||||
20 |
21 |
Уменьшим |
отрезки, |
содержащие корни, |
до длины, |
равной 1 |
||||
(табл. 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
–3 |
–2 |
0 |
|
1 |
2 |
|
3 |
signf ( x) |
– |
+ |
+ |
|
– |
– |
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
[ |
−3, |
− 2 |
] |
; ξ |
2 |
|
[ |
|
|
] |
|
ξ |
3 |
|
[ |
2, |
] |
|
|
|
|
||||||||||
Значит, ξ |
|
|
|
|
|
0, 1 ; |
|
|
3 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Уточним больший корень ξ3 заданного уравнения методом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ньютона. Имеем |
|
f ′(x) =12x2 + 2x − 21 > 0, |
f ′′(x) = 24x + 2 > 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
при |
|
x [2, |
3], поэтому, |
|
чтобы воспользоваться методом Нью- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
тона, следует выбрать |
x0 = 3. |
Вычисления будем вести по фор- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
муле (8), где |
|
f (3) = 57, |
|
f ′(3) = 93. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Сведем вычисления в следующую таблицу (табл. 6). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
k |
|
|
xk |
|
|
f ( xk ) |
|
|
|
|
f ′( xk ) |
|
|
|
|
|
|
f ( xk ) |
|
xk +1 |
= xk − |
f (xk ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(xk ) |
f ′(xk ) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
93 |
|
|
|
|
|
0,613 |
|
|
2,387 |
|
|||||||||||
|
1 |
|
2,387 |
|
|
12,9731 |
|
|
|
52,1472 |
|
|
|
0,249 |
|
|
2,138 |
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
2,138 |
|
|
1,7646 |
|
|
|
38,1285 |
|
|
|
0,046 |
|
|
2,092 |
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
2,092 |
|
|
0,0667 |
|
|
|
35,7016 |
|
|
|
0,002 |
|
|
2,090 |
|
|||||||||||||||||||
|
4 |
|
2,090 |
|
|
–0,0046 |
|
|
|
35,5972 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2,090 |
|
||||||||||||||
|
|
|
Из таблицы видно, что искомый корень ξ3 ≈ 2,090. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
[ |
−3, − |
2 |
] |
; ξ |
2 |
|
[ |
|
|
|
|
] |
|
ξ |
3 |
≈ 2,090. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Ответ: ξ |
|
|
|
|
0, 1 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Задание 6. Используя метод Эйлера, составьте таблицу при- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ближенных |
значений решения |
|
дифференциального уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
3y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= |
|
|
+ |
|
, |
|
удовлетворяющего начальному условию y(1) = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
на отрезке [1; 1,05] |
с шагом |
h = 0,01. |
Вычисления ведите с че- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
тырьмя знаками после запятой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Находим последовательные значения аргумента: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x0 = 1, x1 =1,01, |
|
x2 = 0,02, |
x3 = 0,03, |
|
x4 = 0,04, |
x5 = 0,05. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Воспользуемся формулой (9). Обозначим |
|
f (x, |
y) = |
|
3y |
+ |
1 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для удобства вычислений составим таблицу (табл. 7). |
|
x |
|
|
x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 7 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k |
|
|
xk |
|
|
yk |
|
f (xk , yk ) |
yk +1 = yk + hf (xk , yk ) |
||||||||||||||
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
1,01 |
|
0,01 |
|
1,0100 |
|
|
0,0201 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
1,02 |
|
0,0201 |
|
1,0203 |
|
|
0,0303 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
1,03 |
|
0,0303 |
|
1,0308 |
|
|
0,0406 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
1,04 |
|
0,0406 |
|
1,0417 |
|
|
0,0510 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
1,05 |
|
0,0510 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, имеем следующую таблицу (табл. 8). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 8 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
х |
|
1 |
|
1,01 |
1,02 |
|
1,03 |
|
1,04 |
|
|
|
|
1,05 |
|
|
||||||
|
у |
|
0 |
|
0,01 |
0,0201 |
|
0,0303 |
|
0,0406 |
|
|
0,0510 |
|
|
||||||||
|
З а м е ч а н и е. Точное решение уравнения |
y′ = |
3y |
+ |
1 |
|
, |
удовле- |
|||||||||||||||
|
x |
x2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
творяющее условию y (1) = 0, выражается формулой y = 0,25(x3 − x−1 ),
следовательно, y (1,05) = 0,25(1,053 −1,05−1 ) = 0,05131....
Ответ: таблица 8.
6. Вопросы для самоконтроля
РАЗДЕЛ 1. Элементы теории погрешностей
1.1.Что представляет собой математическая модель физическо- го явления?
1.2.Какие существуют виды погрешностей?
1.3.Как определяется абсолютная погрешность приближенного значения числа?
1.4.Что называется относительной погрешностью приближен- ного значения числа?
22 |
23 |
1.5.Какие цифры числа называются значащими?
1.6.Какие цифры приближенного значения числа называются верными значащими в узком и какие в широком смысле?
1.7.Какие цифры называются сомнительными?
1.8.С чем связана необходимость округления числа?
1.9.Назовите правила округления чисел.
1.10.Чему равна абсолютная погрешность алгебраической сум- мы приближенных значений чисел?
1.11.Чему равны относительные погрешности произведения и частного приближенных значений чисел?
1.12.Как изменяется относительная погрешность приближенно- го значения числа при возведении его в степень и при из- влечении из него корня?
1.13.В чем заключаются правила подсчета верных цифр и при каких предположениях они могут применяться?
РАЗДЕЛ 2. Аппроксимация функций
2.1.Что означает процесс аппроксимации функции?
2.2.Назовите известные вам виды аппроксимации.
2.3.Какой способ аппроксимации называется интерполирова- нием (или интерполяцией)?
2.4.Какие точки называются узлами интерполяции?
2.5.Что такое интерполяционный многочлен и каков его гео- метрический смысл?
2.6.Что называется остаточным членом интерполяционного многочлена?
2.7.Чем отличается локальная интерполяция от глобальной?
2.8.Что называется сплайном?
2.9.Как можно сформулировать задачу глобальной интерполя- ции функции на отрезке?
2.10.Запишите формулу интерполяционного многочлена Ла- гранжа.
2.11.Какова оценка остаточного члена интерполяционного мно- гочлена Лагранжа?
2.12.Что такое конечные разности k-го порядка функции f (x)?
2.13.Запишите формулы первого и второго интерполяционных многочленов Ньютона.
2.14.В чем суть метода наименьших квадратов?
РАЗДЕЛ 3. Численное интегрирование
3.1.В каких случаях возникает необходимость в приближенном вычислении определенного интеграла?
3.2.В чем заключается задача численного интегрирования?
3.3.Что называется остаточным членом квадратурной формулы?
3.4.Из каких частей складывается полная абсолютная погреш- ность приближенного значения интеграла?
3.5.Какие квадратурные формулы вам известны?
3.6.В чем сходство и различие рассматриваемых квадратурных формул?
3.7.Какой порядок интерполяции подынтегральной функции применяется в квадратурных формулах?
3.8.Выведите формулы прямоугольников и дайте оценку их погрешностей.
3.9.Выведите формулу трапеций и дайте оценку ее погрешности.
3.10.Какой вид имеет формула Симпсона и оценка ее погреш- ности?
3.11.Что с геометрической точки зрения означает замена точно- го значения интеграла значением, вычисленным по одной из формул: прямоугольников, трапеций, Симпсона?
3.12.Как можно на практике оценить погрешность интегрирова- ния, если теоретической оценкой нельзя воспользоваться?
РАЗДЕЛ 4. Методы решения нелинейных уравнений
4.1.Что означает выражение «отделить корни уравнения»?
4.2.Какие существуют методы отделения корней?
4.3.Как следует понимать утверждение «корень вычислен с точностью до »?
4.4.В чем состоит идея метода половинного деления?
4.5.Какое свойство непрерывной функции используется в ме- тоде половинного деления?
4.6.Выполнение какого условия приводит к окончанию реали- зации метода половинного деления?
4.7.В чем суть метода хорд?
4.8.Что принимается за приближенное значение корня в методе хорд?
4.9.Как определяется оценка погрешности приближения в ме- тоде хорд?
4.10.В чем суть метода Ньютона?
24 |
25 |
4.11. Какое условие определяет выбор начального приближения |
|
Рекомендуемая литература |
|
||
корня в методе Ньютона? |
|
|
|
|
|
4.12. Как находятся последующие приближенные значения кор- |
1. |
Воробьева, Г. Н. Практикум по вычислительной математике / |
|||
ня в методе Ньютона? |
|
|
Г. Н. Воробьева, А. Н. Данилова. – М. : Высш. шк., 1990. – 208 с. |
||
4.13. Какое неравенство гарантирует |
достижение требуемой |
2. |
Вычислительная математика : учеб. пособие для техникумов / |
||
точности в методе Ньютона? |
|
|
Н. И. Данилина [и др.]. – М. : Высш. шк., 1985. – 472 с. |
|
|
4.14. В чем состоит сущность метода простой итерации? |
3. |
Жевняк, Р. М. Высшая математика : в 5 ч. Ч. 5 / Р. М. Жевняк, |
|||
4.15. Каковы условия сходимости метода простой итерации? |
|
А. А. Карпук. – Мн. : Выш. шк., 1988. – 253 с. |
|
||
4.16. Какие два неравенства могут применяться для проверки |
4. |
Копченова, Н. В. Вычислительная математика в примерах и |
|||
достижения точности в методе итераций? |
|
задачах / Н. В. Копченова, И. А. Марон. – М. : Наука, 1972. – |
|||
РАЗДЕЛ 5. Численное решение обыкновенных |
|
368 с. |
|
||
5. |
Турчак, Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак. – М. : |
||||
дифференциальных уравнений |
|
Наука, 1987. – 320 с. |
|
||
5.1. Что представляет собой задача Коши для дифференциально- |
|
|
|
||
го уравнения y′ = f (x, y)? |
|
|
|
|
|
5.2. В чем суть численных методов решения обыкновенного |
|
|
|
||
дифференциального уравнения? Что называют шагом интег- |
|
|
|
||
рирования и узлами в таких методах? |
|
|
|
||
5.3. По каким формулам вычисляются значения решения диффе- |
|
|
|
||
ренциального уравнения в методе Эйлера? |
|
Содержание |
|
||
5.4. Каков геометрический смысл метода Эйлера? |
|
|
|||
5.5. По каким формулам проводятся вычисления приближенного |
|
Предисловие |
3 |
||
решения дифференциального уравнения в методе Рунге– |
|
||||
Кутта? |
|
1. |
Учебная программа |
4 |
|
5.6. В чем преимущество метода Рунге–Кутта перед другими |
|||||
|
1.1. Тематический план предмета |
4 |
|||
методами, решающими аналогичные задачи? |
|
||||
|
1.2. Содержание предмета |
4 |
|||
5.7. Как в методе Рунге–Кутта можно выбрать шаг интегрирова- |
|
||||
|
|
|
|||
ния при заданной степени точности |
? |
2. |
Общие методические указания по выполнению |
|
|
5.8. В чем суть двойного пересчета для метода Рунге–Кутта? |
|
||||
|
и оформлению контрольной работы |
5 |
|||
|
|
|
|||
|
|
3. |
Краткие теоретические сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
|
|
|
4. |
Контрольная работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
|
|
|
5. |
Методические рекомендации по выполнению |
|
|
|
|
|
контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
|
|
|
6. |
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
23 |
|
|
|
|
Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
|
26 |
27 |
Учебное издание
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебная программа, методические указания
и контрольные задания
для учащихся безотрывной формы обучения специальности 2-40 01 01
«Программное обеспечение информационных технологий»
Составитель Жавнерчик Валерий Эдуардович
Зав. ред.-издат. отд. О. П. Козельская Редактор Г. Л. Говор Компьютерная верстка А. П. Пучек
План издания 2007 г. (поз. 8)
Изд. лиц. № 02330/0131735 от 17.02.2004.
Подписано в печать 01.02.2007. Формат 60×84 1/16. Бумага писчая. Гарнитура Таймс. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 0,67. Тираж 70 экз. Заказ 25.
Издатель и полиграфическое исполнение Учреждение образования «Минский государственный высший радиотехнический колледж» 220005, г. Минск, пр-т Независимости, 62.
28