Тема 1

количеством k разрядов дробной части, при двоичной системе счисления машинный эпсилон равен 2−k [9] и округленное и точное число связаны соотношением ~x = x(1 + ε). В системах с многократной точностью промежуточные вычисления проводят с увеличенной значностью чисел и округлению до k разрядов подвергают лишь окончательный результат вычислений, поэтому считают, что выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность ε ≤ 2−k , т.е. fl(a •b)= a •b(1 + ε), где • – арифметиче-

ская операция ( , , Ө, Ø). Например, следует вычислить сумму трех положительных чисел z = x1 + x2 + x3 . Тогда z1 = fl(x1 x2)=(x1 + x2)(1 + ε1), где

грешностями округления, эквивалентен результату точного суммирования других исходных данных – ~x1, ~x 2 , ~x3, причем, результирующая погрешность зависит от порядка проведения операции.

Установлено [1], что при осуществлении операции перемножения n вещественных чисел x j (j =1,n)по рекуррентной формуле z0 =1, z j = z j−1x j

в предположении того, что в процессе умножения не возникает чисел меньших значения машинного нуля ( N0 ) и больших значения машинной бесконечности ( N∞ ), относительная погрешность результата δzn вследствие округления не превышает величины nε. В то же время при осуществлении операции суммирования n положительных чисел x j (j =1,n) по рекуррентной формуле z0 = 0 , z j = z j−1 + x j (значения слагаемых превышают N0 ) относи-

тельная погрешность результата δzn оценивается примерно как n2ε. Указанные примеры показывают, что при организации вычислительных алгоритмов для уменьшения итоговой погрешности следует каким-либо образом сокращать необходимое количество арифметических операций, варьировать их порядком или выбирать те операции, которые ведут к меньшему накоплению погрешности. Например, в системах телекоммуникаций при цифровой обработке сигналов вместо дискретного преобразования Фурье (дискретной свертки) используют различные варианты алгоритмов быстрого преобразования Фурье, позволяющие сократить количество операций умножения и

сложения, что в конечном итоге способствует не только уменьшению итоговой погрешности расчетов, но и упрощению в дальнейшем аппаратной реализации цифровых устройств.

Важнейшим вопросом при применении такого метода исследования как ВЭ является оценка степени достоверности получаемого решения, особенно в случае, когда отсутствует возможность сравнения с результатом физического эксперимента. Поскольку результирующая погрешность зависит от погрешности ММ, погрешности численного метода и вычислительной погрешности, важно, как должны эти погрешности соотноситься между собой для получения достоверного решения. Однозначных рекомендаций нет, но необходимо согласовать эти погрешности по отношению друг к другу. В общем случае следует стремиться к тому, чтобы они имели один и тот же порядок [12]. Как известно, источником неустранимой погрешности являются исходные данные задачи и принятая для описания ММ, поэтому рекомендуется, чтобы все исходные данные были примерно одинаковой точности, ибо сильное уточнение одних исходных данных при наличии больших погрешностей в других не приведет к повышению точности решения задачи. При выборе ММ для описания рассматриваемого процесса или явления важно правильно учесть область ее применимости, иначе возможна существенная погрешность полученных результатов. Погрешность численного метода регулируема изменением некоторого параметра h и может быть уменьшена до любого разумного значения, однако этот вид погрешности рекомендуется доводить до величины в несколько раз меньшей погрешности исходных данных, поскольку дальнейшее уменьшение последней не приведет к повышению точности решения, а только необоснованно увеличит объем вычислений. Для построения устойчивого алгоритма, когда погрешность округления растет незначительно, следует обращать внимание на правильную его организацию, исключающую случаи резкого возрастания погрешностей округления и проведения арифметических операций.

При выборе численного метода решения некоторой задачи следует учитывать следующие требования [10]:

1.требование точности;

2.требование реализуемости на ЭВМ;

3.требование экономичности;

4.требование отсутствия аварийного останова.

Требование точности означает, что ВА должен давать решение исходной задачи с заданной точностью εm за конечное число действий Q(εm ). Речь идет об адекватности ДМ исходной математической задаче. Для определения

точности используют такие критерии как сходимость численного метода и корректность численного метода.

Под сходимостью ЧМР понимают близость получаемого численного

решения задачи и ее истинного решения (т.е. ~ 0 ). Трактовка поня-

Χ − Χ →

тия сходимости в прикладной математике двояка. Первый подход к определению сходимости ЧМР следует из дискретизации задачи – перевода ММ в ДМ. В этом случае сходимость не что иное, как стремление значений решения дискретной модели задачи к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к нулю параметра дискретизации h (т. е.

асимптотическая оценка εh ≈O(h p )→0 при h →0 ). Другой подход к понятию сходимости вводят при рассмотрении итерационных методов решения [10, 13]. Последние основаны на том, что при решении задачи численным методом осуществляют построение сходящейся к точному решению Χ бесконечной рекуррентной последовательности Χ0 , Χ1 , …, Χk , … элементов той

же структуры (числа, векторы, матрицы, функции), т.е. при lim Χk = Χ име-

k→∞

ем сходящийся численный метод. Итерационные методы бывают одношаговыми и многошаговыми ( m -шаговыми). В одношаговом итерационном методе каждый следующий член бесконечной рекуррентной последовательности выражается через предыдущий по некоторому правилу

Согласно (1.27) и (1.28) для реализации итерационного метода требуется задать начальное приближение: в одношаговом методе Χ0 , а в m -шаговом {Χ0 , Χ1,K, Χm−1}. Процесс получения следующего k -го члена последовательности называется итерацией. Итерации выполняются до тех пор, пока оче-

Поскольку точное значение Χ заранее, как правило, неизвестно, то сходимость определяется близостью двух соседних членов последовательности

Условие сходимости бесконечной рекуррентной последовательности при одношаговом итерационном методе определяется выполнением неравенства

Причем, чем ближе G к нулю, тем быстрее сходится рекуррентная последо-

вательность к точному решению и для получения решения с заданной точностью требуется меньшее количество итераций.

При рассмотрении сходимости вводят понятия вид сходимости (в зависимости от используемого нормированного пространства), порядок сходимости (содержится в асимптотической оценке погрешности метода) и другие характеристики. Сходимость численного метода тесно связана с корректностью численного метода [10]. Задача называется корректно поставленной, если для любых значений исходных данных ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным. Под устойчивостью задачи по исходным данным понимают непрерывную зависимость решения от изменения исходных данных, когда малое приращение исходных данных приводит к малому приращению решения. В некорректно поставленных задачах возникающие в расчетах погрешности округления сильно возрастают, что приводит к значительному искажению результата. Чаще всего некорректность задачи является следствием ее неправильной математической постановки. В настоящее время для решения некоторых некорректно поставленных задач применяются методы регуляризации, основанные на замене исходной задачи корректно поставленной задачей, содержащей некоторый параметр, при стремлении которого к нулю решение этой задачи переходит в решение исходной задачи.

Для получения решения задачи с заданной точностью εm за конечное число действий Q(εm ) ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.

Требование реализуемости ЧМР на ЭВМ означает, что ВА дает решение за допустимое число действий (машинное время). Принципиально алгоритм должен давать возможность получить решение задачи с любой точностью, выбор конкретного значения εm осуществляют из расчета возможности реализации алгоритма на конкретной ЭВМ.

Требование экономичности означает, что из всех альтернативных ВА, дающих одинаковую по порядку точность εm > 0 , выбирается тот, которым получают решение за меньшее число действий Q(εm ).

И, наконец, требование отсутствия аварийного останова означает, что в процессе вычислений не должно нарушаться условие ~x < N∞ . Вероятность

останова, как правило, устраняют правильной организацией алгоритма, изменяя порядок действий.

В классической математике решение задачи заключается в доказательстве существования решения и предложении процесса, сходящегося к решению. В прикладной математике помимо этих двух условий при решении задачи дополнительно необходимо предложить такой процесс получения решения, который не требует больших затрат памяти и времени счета, а полученный результат является устойчивым относительно возмущений исходных данных и округлений при вычислениях.